2.1.4. Определение коэффициентов канонических уравнений

Определение коэффициент δ₁₁ и δ₂₂ сводится к умножению эпюр и самих на себя. Разобьем на фигуры с площадью w₁, w₂, w₃, w₄:

w₁ = ^. 1,44 ^. 1,44 = 1,037; w₂ = 1,44 ^. 2,4 = 3,456;

w₃ = ^. 1,44 ^. 2,4 = 1,728; w₄ = ^. 0,96 ^. 2,4 = 1,152;

Вычислим значения ординат , ,,. взятые в центре тяжести фигурw_i (i = 1, 2, 3, 4).

= ^. 1,44 = 0,96; = 1,44

= ^. 1,44 ^{. .} 0,96 = 0,64; = ^. 1,44 ^{. .} 0,64 = 0,16.

Тогда

δ₁₁ = Э^x Э = [w₁+w₂+w₃+w₄] =

=[1,037^. 0,96 + 3,456 ^. 1,728 ^. 0,64 + 1,152 ^. 0,16] = .

Разобьем эпюру Э на w₅ и w₆, определим положение центров тяжести C₅, C₆ и значения ординат, взятых в C₅, C₆. При этом

w₅ = ^. 2,4 ^. 2,4 = 2,88; w₆ = 2,4 ^. 2,4 = 5,76.

₅ = ^. 2,4 = 1,6; ₆ = 2,4.

тогда

δ₂₂ = Э₂ ^x Э₂ = [w_{5 5} + w₆₆] = [2,88^.1,6 + 5,76^.2,4] =

Вычислим побочные коэффициенты δ₁₂ = δ₂₁ путем перемножения эпюр Э₁ и Э₂.

δ₁₂ = δ₂₁ = Э₁ ^x Э₂ = = [w₂^. ₇ + w₃ ^. ₈ – w₄ ^. ₉];

где ₇ = ^. 2,4 = 1,2; ₈ = ₉ = 2,1.

Тогда δ₁₂ = δ₂₁ = [3,456^. 1,2 + 1,728 ^. 2,4 – 1,152 ^. 2,4] =

Определим свободные члены ∆_1P и ∆_2P путем перемножение эпюр Э_P на эпюры Э₁ и Э₂ соответственно.

∆_1P = Э_P ^x Э₁ =[–w₇ ^. ₁₀ ^. w₈ ^. ₁₁ – w₉ ^. ₂ – w₃ ^. ₁₂ + w₄^. ₁₃],

где w₇ = ^. 22 ^. 2,4 = 26,4; w₈ = ^. 36,4 ^. 2,4 = 43,68;

w₉ = – = –= -5,76;

₁₀ = ₁₁ = ₁₂ = 1,44; ₁₂ = 2,8 + (36,4 – 2,8) = 25,2;

₁₃ = 2,8 + (36,4 – 2,8) = 14.

Тогда

∆_1P =[–26,4^.1,44–1,44– 43,68^.1,44+5,76^.1,44–1,728^.25,2+1,152^.14]= –.

Вычислим

∆_2P = Э_P ^x Э₂ = [–w ₇ ^. ₁₄ – w₈ ^. ₅ – w ₉ ^. М₁₅],

где ₁₄ = ^. 2,4 = 0,8; М₁₅ = = 37,8.

Тогда

∆_2P = [– 26,4 ^. 0,8 – 43,68 ^. 1,6 + 5,76 ^. 1,2 – 5,76 ^. 37,8] = – .

Полученные коэффициенты и свободные члены подставим в систему канонических уравнений метода сил, получим

Решим систему уравнений

X₁ = ; X₂ = ,

где ∆ = = 103;

∆₁ = = 1122; 43; ∆₂ = = –766,6

x₁ = = 10,9 кН; x₂ = = 7,44 кН.

2.1.5. Построение суммарной эпюры изгибающих моментов

В силу упругости системы M_ = M_P+M_X1+M_X2 (ЭM_X1 = ₁ ^. X₁, M_X2 = ^. X₂). Построим эпюры ЭМ_X1 и ЭМ_X2 (рис. 2.3, а, б). Сложим эпюры ЭМ_P, ЭМ_X1 и ЭМ_X2, получим эпюру ЭM_ (рис. 2.3. в):

M = 0; M = ;

M =

В середине пролета CB: M_ (l/2)= - 25,6+15,7 + = – 0,95 кН^.м.

M = – 2,8 – 10,46 + 17,9 = 4,64 кН^.м.

2.2. Проверка раскрытия статической неопределимости.

2.2.1. Кинематическая проверка

Выберем новую основную систему (НОС) (рис. 2.3, г). Определим в опоре D угол поворота Θ_D, который по условию задачи равен нулю. Используем это для проверки правильности раскрытия статической неопределимости. Для определения Θ_D построим единичное состояния 3 (рис. 2.3, д), приложив в НОС в сечении D единичной момент. Построим эпюру Э₃ (рис. 2.3, е). Находим Θ_D путем перемножения эпюры ЭМ_∑ и Э₃. Применим правило Симпсона [1] к участкам.

а	б
в	г
д	е

Рис. 2.3

Θ_D = ЭМ_∑ ^. Э₃ = [M^. + 4M_∑() ^. () + M^.] +

+ [M + 4M_∑ ()^.₃()+M^.] = [2,8 ^. – 4 ^.0,95^. 0,5 + 0]+

+ [– 2,8 ^. 1 + 4^.0,87^.1 + 4,64^.1] = 2,088 – 1,96 = 0,128 /EI.

Таким образом, статическая неопределимость системы раскрыта верно. Ошибка расчета

∆ = ^. 100% = 6,13%,

что соответствует принятым допускам расчетов.