Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Полезные формулы QM
.pdf
Полезные формулы
квантовой механики
Коцевич Андрей, группа Б02-920с
5 семестр, 2022
1
Может быть полезно при подготовке к некоторому экзамену по квантовой механике.
1 Некоторые формулы
1. Радиус Бора:
aB=
me
2. Осцилляторные единицы:
r
~
q
3. Гамильтониан:
ˆ
H =
osc
=
2
ˆ
p
+ˆV (r) = −
, p
mω
2m
Лапласианы в различных системах координат (3D):
∆f =
∆f =
∂2f
2
∂r
∆f =
+
∂2f
∂x
1r∂f
1
2
r
∂r
∂
∂r
∂2f
+
2
∂y
1
+
2
r
2
∂2f
∂ϕ
+
2
∂2f
∂z
+
∂f
r
−
∂r
2
~
2
=√mω~ (2)
osc
2
~
∆ + V (r) (3)
2m
− декартовая (4)
2
∂2f
− цилиндрическая (5)
2
∂z
2
ˆ
l
− сферическая (6)
2
r
(1)
Оператор квадрата орбитального момента:
ˆ
l2= −
1
sin θ
r2sin θ∂∂θ
∂f
∂θ
−
r2sin θ
1
∂2f
2
∂ϕ
Для функции, зависящей только от r в n-мерном пространстве:
∆f =
d2f
dr
+
2
n − 1rdf
dr
4. Нестационарное уравнение Шрёдингера:
∂ |ψi
ih
=ˆH |ψi (9)
∂t
5. Стационарное уравнение Шрёдингера:
ˆ
H |ψi = E |ψi (10)
В центральном потенциале V (r), т.е. зависящем только от расстояния между частицами, полный набор наблюдаемых составляют энергия E, орбитальный момент l И его
проекция на ось z m. Волновая функция разделяется на радиальную и угловую:
(7)
(8)
hr|E, l, mi = R
2
E
(r)Ylm(θ, ϕ) (11)
l
Действиеˆl2на сферическую гармонику:
ˆ
l2Ylm(θ, ϕ) = l(l + 1)Ylm(θ, ϕ) (12)
Уравнение Шрёдингера для радиальной волновой функции:
−
~
2m
2
2
∂
∂r
2r∂
+
2
l(l + 1)
−
∂r
E
R
(r) + V (r)R
2
r
l
E
l
(r) = ER
E
(r) (13)
l
Подстановка R
E
(r) =
l
u(r)
приводит уравнение к виду:
r
~2l(l + 1)
2mr
2
−
~
2m
2
u00(r) +
+ V (r)u(r) = Eu(r) (14)
6. В задаче с потенциалом V (x) = −V0δ(x −a) в точке a присутствует скачок производной:
2mV
0
ψ(a) (15)
2
~
Часто V0=
ψ0(a + 0) −ψ0(a − 0) = −
~2κ
, тогда ψ0(a + 0) −ψ0(a − 0) = −2κψ(a).
m
7. Логарифмическая сшивка в точке x = a:
8. Теорема вириала:
0
ψ
(x)
1
ψ1(x)
=
x=a
0
ψ
(x)
2
ψ2(x)
(16)
x=a
∂V
2 hˆT i =r
(17)
∂r
Применив для кулоновского потенциала V (r) =
e
, получим
r
hr−1i =
an
2
9. Рекуррентные соотношения Крамерса:
1
s + 1
2
n
hr−1i =
hrsi − a(2s + 1) hr
an
1
2
, hri =
a
2
s−1
i +
(3n2− l(l + 1)), hr2i =
2
sa
((2l + 1)2− s2) hr
4
s−2
i = 0, s > −2l − 1 (19)
2
a2n
(5n2+ 1 − 3l(l + 1)) (20)
2
10. Соотношение Фейнмана-Гельмана для оператораˆf |ni = fn|ni:
∂f
∂λ
n
= hn|
∂ˆf
|ni (21)
∂λ
Приˆf =ˆH и λ = l оно переходит в
∂E
∂l
n
= hn|
∂ˆH
|ni (22)
∂l
Отсюда получим
2
hr−2i =
a2n3(2l + 1)
(18)
(23)
3
11. Движение электрона в электромагнитном поле:
e
ˆ
ˆ
H =
p2−
A
c
− µBˆσ ·B −eϕ (24)
2m
µB=
Матрицы Паули:
σx=
0 1
1 0
, σy=
12. Стационарная теория возмущений:
Решение невозмущённой задачи:
H0|ψ0i = E0|ψ0i (28)
Первая поправка к энергии:
13. Нестационарная теория возмущений:
14. Осцилляторное приближение.
Разложение по формуле Тейлора:
U(x) = U (x0) + U0(x0)(x − x0) +
e~
, B = rotA (25)
2mc
ˆ
H =ˆH0+ˆV (27)
0 −i
i 0
, σz=
1 0
0 −1
(26)
ˆ
1= hψ0|ˆV |ψ0i (29)
U00(x0)(x − x0)
2
(30)
2
Пусть x0– точка экстремума потенциала U0(x0) = 0, тогда
r
U00(x0)
U00(x0) = mω2→ ω =
m
Применимость осцилляторного приближения:
q
l (32)
osc
где l – характерный масштаб системы.
15. Правило квантования Бора-Зоммерфельда:
I
p(x)dx = 2π~ (n + γM) (33)
Индекс Маслова γM=
1
для обычных потенциалов, γM=
2
3
4
16. Количество состояний с энергией, меньше заданной E (3D):
Z
d3p
N(E) =Zd3r
(2π~)
θ(E − Ep), Ep=
3
Для сферически-симметричного потенциала:
Z
N(E) =
2(2m)
3/2
drr2(E − U(r))
3π~
для стенки.
2
p
2m
3/2
(31)
(34)
(35)
4
17. Формула Гамова:
Z
2
D = exp−
|p(x)|dx, p(x) =p2m(E − V (x)) (36)
~
Для потенциалов с разрывами равенство является приближённым.
Время вылета из запрещённого потенциала:
1
τ = #
ωD
где ω – частота потенциала в осцилляторном приближении.
(37)
18. Борновское приближение:
m
˜
f(n, n0) = −
2π~
В сферически-симметричном случае (|k − k0| = 2k sin
∞
Z
m
f(θ) = −
~2k sin
drr sin2kr sin
θ
2
0
dσ
= |f(n, n0)|
0
V
k−k
2
θ
):
2
θ
V (r) (39)
2
2
dΩ
2 Ответы к некоторым известным задачам
2.1 Гармонический осциллятор
2.1.1 Одномерный
• Гамильтониан:
• Уровни энергии:
ˆ
H =
En= ~ωn +
p
2m
2
x
+
mωx
2
2
1
, n ∈ N
2
0
(38)
(40)
(41)
(42)
• Собственные волновые функции:
ψn(x) =
Hn(x) = (−1)ne
2.1.2 Трёхмерный
• Гамильтониан:
• Уровни энергии:
E
nx,ny,n
z
• Собственные волновые функции:
√
1
2nn!
mω
π~
x
ˆ
H =
2
dx
1
4
exp−
n
d
e
n
ˆ
p
2m
2
mωx
2~
2
−x
− полиномы Эрмита (44)
2
mωr
2
+
2
H
r
mω
n
x
~
3
= E
+ E
n
x
+ E
n
y
= ~ωnx+ ny+ nz+
n
z
2
ψn(r) = ψn(x)ψn(y)ψn(z) (47)
5
(43)
(45)
(46)
2.2 Кулоновский потенциал в 3D
• Гамильтониан:
• Уровни энергии:
me
En= −
2n2~
• Собственные волновые функции:
ψ
s
2
s
L
(x) =
k
l
P
(x) = (1−x2)
m
Rnl(r) =
dsLk(x)
s
dx
m
dmPn(x)
2
R10(r) =
n2a
d
=
dx
Ylm(θ, ϕ) =
m
dx
s
2e
3
2
B
e
s
=
r
−
a
B
3
2
a
B
(n − l −1)!
(n + l)!
k
d
s
dx
e
√
(1 −x2)
, Y00(θ, ϕ) =
2
ˆ
p
ˆ
H =
2m
4
= −
2
(r) = Rnl(r)Ylm(θ, ϕ) (50)
nlm
e
2n2a
2
2
B
2r
3
na
(xke−x)− присоединённые полиномы Лаггера (52)
k
2
e
−
r
, n = nr+ l + 1 ∈ N (49)
exp−
B
na
r
L
B
2nl+1
n+l
2r
na
B
s
imϕ
2π
2ll!
(−1)
m
2
(2l + 1)(l − m)!
m
2(l + m)!
l+m
d
(x2−1)l−присоединённые полиномы Лагранжа
l+m
dx
r
4π
1
, ψ
100
P
(r) =
m
(cos θ) (53)
l
s
1
πa
r
−
a
B
e
3
B
(48)
(51)
(54)
3 Решение некоторых ДУ II порядка
3.1 Функции Бесселя
ψ00(z) +
+1 −
z
Общее решение:
ψ(z) = C1Jm(z) + C2Ym(z) (56)
Функция Бесселя Jmв нуле регулярна, а Неймана – сингулярна, поэтому часто C2= 0.
Асимптотика функции Бесселя при z 1:
r
2
ψ0(z)
Jm(z) ≈
cosz −
πz
n-ый нуль функции Бесселя Jm(z):
3π
µmn≈
+
4
6
2
m
ψ(z) = 0 (55)
2
z
πm
π
−
2
4
πm
+ πn (58)
2
(57)
3.2 Гипергеометрическая функция2F1(a, b; c; z)
z(1 − z)f00(z) + (c − (a + b + 1)z)f0(z) − abf (z) = 0, f (0) = 1 (59)
Общее решение (c 6= 1):
1−c
(b − c + 1, a − c + 1; 2 − c; z) (60)
2F1
Функция z
f(z) = C12F1(a, b; c; z) + C2z
1−c
может расходиться при z = 0, поэтому часто C2= 0.2F1не расходится при
z → ∞, если a или b – отрицательное целое число. При целых отрицательных c2F1не
определена.
3.3 Вырожденная гипергеометрическая функция1F1(a, b; z)
zf00(z) + (b − z)f0(z) − af (z) = 0, f (0) = 1 (61)
Общее решение (b 6= 1):
f(z) = C11F1(a; b; z) + C2z
При b → 1 второе решение можно построить как lim
1−b
(a − b + 1; 2 −b; z) (62)
1F1
1−b
z
b→1
(a−b+1;2−b;z)−1F1(a;b;z)
1F1
b−1
.1F1(a, b; z) не
расходится при целых отрицательных a, а при целых отрицательных b1F1(a, b; z) не определена.
3.4 Линейный потенциал
Функция Эйри возникает при решении уравнения Шрёдингера под действием постоянной
силы (потенциал U(x) = F x):
2
~
−
ψ00(x) + F xψ(x) = Eψ(x) (63)
2m
Подстановка z =
x−E/F
(~2/2mF )
приводит к уравнению Эйри:
1/3
ψ00(z) − zψ(z) = 0 (64)
Общее решение:
ψ(z) = C1Ai(z) + C2Bi(z) (65)
Функция Эйри II рода расходится на бесконечности, поэтому часто C2= 0. Асимптотика
функции Эйри при z → −∞:
n-ый нуль функции Эйри:
Ai(z) ≈
√
π(−z)
zn≈ −
1
1/4
3π
sin
2
(−z)
3
1
2
3
n −
2
4
3
π
2
+
(66)
4
(67)
7
Соседние файлы в предмете Квантовая механика