Лабораторная работа № 10. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом Чебышева

1. Постановка задачи

Явным методом Чебышева требуется найти приближённое решение уравнения

(1)

в квадрате с краевыми условиями

, (2)

где – граница квадрата.

Выбираем функцию, удовлетворяющую краевым условиям (2)

.

Вычислим

.

Возьмём по определению в качестве правой части уравнения (1)

,

тогда нам известно точное решение задачи (1), (2).

2. Теоретическая часть

От задачи (1), (2) перейдём к разностной. Вводим на плоскости прямоугольную сетку с шагомпо направлениюипо направлению. Получим,. Обозначим.

Обозначим через множество внутренних узлов сетки, то есть

,

а через – множество граничных узлов, то есть

.

Пусть далее

Рассмотрим конечномерное пространство функции , заданных на сетке. Здесьи будем обозначать. Обозначим

.

Тогда разностный оператор Лапласа записывается в виде

. (3)

Разностное выражение (3) называется пятиточечным разностным шаблоном, так как содержит значения функции в пяти точках сетки, а именно в точках(см. рис.). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора Лапласа.

Заменим исходную задачу разностной задачей. При этом будем считать, что , тогда. Разностная аппроксимация задачи (1), (2), принимает вид

, (4)

или более подробно

, (5)

.

Обозначим через пространство функций, заданных наи равных нулю на границесо скалярным произведением

. (6)

В пространстве определим оператор

. (7)

Тогда уравнение (5) можно записать в операторной форме

, (8)

где – функция, заданная на сеткеи. Сеточные функцииибудем рассматривать как вектора– мерного пространствас координатами.

Наименьшее и наибольшее собственные значения оператора равны

,

(9)

.

3. Метод решения

Разностную задачу (5) будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров, который выражается следующей формулой:

, (10)

где ,-заданное число итераций,

. (11)

4. Алгоритм

1. Задаём количество итераций, например, , полагаем, тогда шаг сетки=0,1.

2. По формулам (9), (11) вычисляем ,.

3. Вычисляем ипо формулам (11).

4. Полагая по формуле (10) находим.

5. Этап 4 повторяем, полагая

6. Итерационный процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях по циклам.

5. Оформление результатов работы.

Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две последние итерации и значения точного решения на сетке.