ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Ш.А. ЮЛДАШБАЕВ

ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ

Конспект лекций

Уфа 2006

УДК...

ББК...

П 3О

П 30 Юлдашбаев Ш.А. Теория оптимзации: Учеб. пособие / Ш.А. Юлдашбаев; Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. -Уфа: УГАТУ, 2006. -80 с. ISBN...

Пособие соответствует Региональному образовательному стандарту высшего профессионального образования по направлению подготовки дипломированного специалиста 551500 (200100) «Приборостроение» по специальности 190300 (200103) – «Авиационные приборы и измерительно-вычислительные комплексы».

В пособии рассмотрены методы оптимизации организационных систем и синтеза оптимальных систем автоматического управления.

Предназначено для студентов факультета аиационного приборостроения, изучающих дисциплину «Теория оптимизации и комплексирования». Может быть полезна студентам технических специальностей, изучающих теорию оптимизации и оптимальные системы автоматического управления.

Табл. 3. Ил. 5. Библиогр.: 23 назв.

Научный редактор Андреев В.Г.

Рецензенты: д-р техн. наук, проф. Агафонов Н.К.,

канд. техн. наук, доцент Антипов И.Л.

ISBN

ББК………

ISBN № 0-0000-0000-0

© Уфимский государственный авиационный

технический университет, 2006

© Юлдашбаев, 2006

СОДЕРЖАНИЕ

	Введение	4
1	Методы оптимизации	5
	1.1. Экстремум функции одной пере­менной	5
	1.2. Экстремум функции многих переменных	9
	1.3. Относительный экстремум. Метод множителей Лагранжа	13
2	Оптимальные системы управления	18
	2.1 Метод множителей Лагранжа	19
	2.2. Принцип максимума Понтрягина	21
	2.3. Метод динамического программирования	22
	2.4 . Управляемость и наблюдаемость. Наблюдатели	24
	2.5. Методы синтеза систем с обратной связью	25

Введение

В основу учебного пособия положен курс лекций по теории оптимиза­ции, который читается на протяжении нескольких лет для студентов специ­альности «Авиационные приборы и измерительно-вычислительные ком­плексы».

Задачи оптимизации в зависимости от объектов исследования можно разделить на два типа.

Во-первых, в организационных системах интересуются конечным, ус­тановившемся результатом управления, не исследуя эффективность процесса в переходном режиме. Объясняется это тем, что в таких системах потери в переходном режиме существенно не влияют на общую величину выигрыша в установившемся режиме, поскольку установившийся режим более длителен, чем переходной режим. Показатель эффективности в этом случае выражается одной или несколькими целевыми функциями параметров оптимизации, вы­ражающими количественно меру достижения цели оптимизации рассматри­ваемой задачи.

Методам оптимизации конечных состояний в организационных и эко­номических системах посвящены курсы методов оптимизации и исследова­ния операций. В первой части учебного пособия изложены некоторые ме­тоды оптимизации: задачи безусловной, условной оптимизации, задачи ли­нейного, выпуклого и нелинейного программирования, численные методы оптимизации.

Во-вторых, при управлении динамическими системами оптимизация существенна для переходных процессов, в которых показатель эффективно­сти зависит не только от текущих значений параметров, но и от характера изменения их в прошлом, настоящем и будущем. Показатель эффективности в этом случае выражается некоторым функционалом от переменных состоя­ния, управляющих воздействий, выходных переменных, их производных , может быть, и от времени.

Оптимизация процессами динамических систем излагаются в курсах теории оптимального управления системами автоматического управления. Методы оптимального управления на вариационном исчислении, и получили дальнейшее развитие в работах Л.С. Понтрягина, А.А. Красовского, А.М. Ле­това, В.Ф. Кротова, Р.Беллмана, Р. Калмана. В учебном пособии изложены методы оптимального управления, а также вопросы управляемости и на­блюдаемости систем автоматического управления.

Учебное пособие предназначено для студентов факультета авиацион­ного приборостроения, изучающих дисциплину «Теория оптимизации», а также для студентов изучающих теорию и методы оптимизации, теорию оп­тимальных систем управления.

1. Методы оптимизации

При решении многих задач, которые приходится решать человеку, встречаются ситуации, при которых надо выбрать наилучший вариант из возможных. Если выбор предусматривает количественный анализ ситуации путем сравнения различных вариантов с помощью количественной оценки этих вариантов, то решается задача оптимизации.

На практике приходится решать различные задачи оптимизации. За­дачи могут быть связаны с проектированием технических устройств и техно­логических процессов, с решением организационных и экономических задач. Если при решении этих задач исследователя интересует только конечные ре­зультаты, и не учитываются эффективность в переходном режиме, то в каче­стве критерия оптимальности рассматриваются одна или несколько функций, зависящих от параметров оптимизации. Такие функции называются целе­выми функциями. Каждую из таких функций называют целевой функцией. Если целевая функция единственная, то задачу конечномерной оптимизации называют задачей математического программирования. В реальных усло­виях на параметры оптимизации накладываются ограничения типа равенств или неравенств. Если ограничения имеют вид равенств, то решается задача условной или относительной оптимизации. Решение задач оптимизации вы­зывает большие трудности, связанные с необходимостью решения нелиней­ных систем уравнений, решения которых должны удовлетворят ограниче­ниям в виде равенств и неравенств. Для преодоления этих трудностей были разработаны численные методы решения задач оптимизации. Различные ме­тоды оптимизации основаны на теории оптимизации, разработанных в тру­дах Эйлера, Лагранжа, Ньютона, Вейерштрасса и многих других ученых.

В этом разделе учебного пособия рассмотрены основы теории оптими­зации, с тем уровнем математической строгости, которая доступна, с точки зрения автора, студентам технических высших учебных заведений. Необхо­димо отметить, что основополагающие результаты теории оптимизации при­водятся с доказательствами.