Теоретические основы информатики. Учебное пособие

единиц измерения могут использоваться символы, реквизиты, записи и т. д., а в качестве относительной – коэффициент содержательности. Например, для определения на семантическом уровне количества информации, полученной студентами на занятиях, в качестве единицы измерения может быть принят исходный балл (символ), характеризующий степень усвояемости ими нового учебного материала, на основе которого можно косвенно определить количество информации, полученное каждым студентом. Это количество информации будет выражено через соответствующий оценочный балл в принятом диапазоне оценок.

При семантическом подходе к оценке количества информации

ивыборе единицы измерения существенным является вид получаемой информации (сообщения). Например, данный подход к оценке количества экономической информации позволяет выявить её составную единицу, состоящую из совокупности других единиц информации, связанных между собой по смыслу. Элементарной составляющей единицей экономической информации является реквизит, т. е. информационная совокупность, которая не поддается дальнейшему делению на единицы информации на смысловом уровне. Деление реквизитов на символы приводит к потере их смыслового содержания. Каждый реквизит характеризуется именем, значением и типом. При этом под именем реквизита понимается его условное обозначение, под значением – величина, характеризующая свойства объекта или явления в определенных обстоятельствах, под типом – множество значений реквизита, объединенных определенными признаками и совокупностью допустимых преобразований. Реквизиты подразделяются на реквизиты-основания

иреквизиты-признаки.

Реквизиты-основания являются количественными характеристиками экономического объекта, процесса или явления, которые могут быть получены в результате вычислений, измерений, подсчета натуральных единиц и т. д. В экономических документах к ним можно отнести, например, цену товара, его количество, сумму и др. Реквизиты-основания чаще всего выражаются числами, над которыми могут выполняться математические операции.

Реквизиты-признаки отражают качественные свойства экономического объекта, процесса или явления. С их помощью сообщения приобретают индивидуальный характер. В экономических документах к ним можно отнести, например, номер документа, имя отправителя, дату составления документа, вид операции и т. п. Реквизиты-признаки позволяют осуществлять логическую обработку единиц количества информации на семантическом уровне: поиск, выборку, группировку, сортировку.

21

Отдельный реквизит-основание вместе с относящимися к нему ре- квизитами-признаками образует составную единицу экономической информации – показатель. Показатель – составная единица информации, которая включает один реквизит-основание и один или несколько реквизитов-признаков. Он имеет наименование, в состав которого входят термины, обозначающие измеряемый объект: себестоимость, затраты, мощность, прибыль и т. д. Кроме того, показатель содержит формальную характеристику и дополнительные признаки. К формальной характеристике показателя относятся числовые характеристики экономического объекта, такие как объем, сумма, прирост, процент, среднее значение и т. д. К дополнительным характеристикам относятся про- странственно-временные характеристики экономического объекта (местонахождение измеряемого объекта, время, к которому относится данный показатель) и метрологические (единицы измерения). Например, сообщение «пять пар женской обуви» является показателем, так как имеет экономический смысл. Оно состоит из реквизита-основания «пять» и трех реквизитов-признаков: «пара», «женская» и «обувь».

2.3. Прагматический уровень

На данном уровне информация рассматривается с точки зрения ее полезности (ценности) для достижения потребителем информации (человеком) поставленной практической цели. Причем одна и та же информация может иметь различную ценность для разных потребителей. Например, информация, имеющая несомненную ценность для биолога, для программиста будет иметь ценность, близкую к нулевой. Ценность информации с течением времени может уменьшаться в силу ее устаревания, следовательно, и количество информации в прагматическом смысле будет уменьшаться. Очевидно, например, что полезность прогноза погоды на текущий день уменьшается от утра к вечеру.

Прагматический подход к определению полезности информации основан на расчете приращения вероятности достижения поставленной цели до и после получения информации. Количество информации, определяющее ее ценность (полезность), находится из соотношения

P1/P0 = 2i,

т. е. по формуле

i = log2(P1/P0) = log2P1 – log2P0,

где P0, P1 – вероятность достижения цели, соответственно, до и после получения информации.

В качестве единицы измерения количества информации, определяющей ее ценность, может быть принят 1 бит (при основании лога-

22

рифма, равном 2), т. е. это такое количество полученной информации, при котором отношение вероятностей достижения цели равно двум.

Рассмотрим случаи, когда количество информации, определяющее ее ценность, принимает нулевое, положительное и отрицательное значения.

Количество информации равно нулю при Р0 = Р1, т. е. полученная информация не увеличивает и не уменьшает вероятность достижения цели, следовательно, такая информация бесполезна. Например, если цель состоит в доставке некоторого груза автомобилем из пункта A

впункт B, то информация об открытии новой школы в любом из этих пунктов никак не влияет на достижение цели, она бесполезна.

Значение количества информации является положительной вели-

чиной при P1 > P0, т. е. полученная информация уменьшает исходную неопределенность и увеличивает вероятность достижения цели. Например, при доставке груза водитель получил сообщение о перекрытии движения на определенном участке маршрута. Эта информация позволяет заранее выбрать другой маршрут, т. е. она способствует достижению цели.

Значение количества информации является отрицательной величи-

ной при P1 < P0, т. е. полученная информация увеличивает исходную неопределенность и уменьшает вероятность достижения цели. Такую информацию называют дезинформацией. Например, в результате сбоя

вработе автомобильного навигатора водитель получил указание совершить поворот в направлении, противоположном необходимому. Вероятность достижения пункта B уменьшилась из-за увеличения исходной неопределенности.

Максимальной ценностью обладает то количество информации, которое уменьшает исходную неопределенность при достижении поставленной цели до нуля.

Можно сказать, что в процессе возникновения информации и ее преобразований она проходит три этапа, которые определяют её семантический, синтаксический и прагматический уровень. Потребитель информации (человек), сначала накапливает факты об исследуемом объекте, которые отражаются в виде определённого набора данных в его сознании. Здесь проявляется синтаксический уровень. Затем, после осмысления этих данных человек формализует знания о составе и структуре этого объекта. Это семантический уровень измерения полученной информации. Затем полученные знания человек использует в практической деятельности, то есть для достижения поставленных целей, что отражает прагматический уровень количества информации.

23

3. НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Система счисления (СС) – совокупность приёмов и правил изображения чисел с помощью цифр. Системы счисления подразделяются на непозиционные и позиционные.

Непозиционная СС – система, в которой, значение символа не зависит от его положения в числе. Такие СС возникли раньше позиционных систем. Непозиционные СС возникли и использовались в древних цивилизациях в различных частях света. Рассмотрим примеры некоторых из них. Самая первая СС – единичная (унарная), состоящая из одного символа. Количество предметов изображалось таким же количеством черточек или зарубок.

3.1. Римская система счисления

Эта СС является примером непозиционной системы счисления, дошедшей до наших дней. Цифры в римской системе обозначаются различными буквами латинского алфавита: 1 – I; 3 – III; 5 – V; 10 – X; 50 – L; 100 – C; 500 – D; 1000 – M. Для записи всех других чисел используются следующие правила:

−меньший знак, стоящий справа от большего, прибавляется к его значению, а слева вычитается из него;

−цифры I, X, C и M могут следовать подряд не более трех раз каждая;

−цифры V, L и D используются в записи числа не более одного раза.

Например, IV = 4, VI = 6, LX = 60, XC = 90, XXVII = 28, XXXIX =

39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818.

Очевидно, что римская СС является аддитивной, поскольку значение числа в ней определяется посредством операций сложения и вычитания базисных цифр.

Основным недостатком непозиционных систем является большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций. Отсутствие нуля и знаков для чисел больше M не позволяют записать римскими цифрами любое число, даже натуральное. По указанным причинам в настоящее время римская система используется лишь для нумерации.

Пример. Число MDLXI записать в десятичной СС, поменять местами две средние цифры, изаписать полученное число римскими цифрами.

MDLXI = M + D + (L + X) + I = 1000 + 500 + 60 + 1 = 1561, 1651 = 1000 + 600 + 50 + 1 = M + (D + C) + L + I = MDCLI.

24

Пример. Записать самое большое число вримской система счисления. Символ, обозначающий наибольшее число из приведённых (M = 1000) можно записать подряд не более трёх раз – MMM. Затем запишем максимальное число, допускаемое правилами, меньшее, чем 1000. Это CM = 900. Максимальное количество десятков равно девяти, получаем число 90 = XC. Наконец запишем максимально возможное число

единиц, равное 9 = IX. Получаем

MMMCMXCIX = 3999.

Это же число можно записать и другими способами: MMMCMIC, MMMIM.

Пример. Записать римскими цифрами число 3888.

Представим его как 3000 + 800 + 80 + 8. Переведем в римскую СС каждое слагаемое в отдельности: 3000 = MMM, 800 = DCCC, 80 = LXXX, 8 = VIII.

Получаем 3888 = MMMDCCCLXXXVIII.

При сложении в римской системе по отдельности складывались единицы, десятки и т. д., затем результаты суммировались.

Примеры

1. Сложить числа XIX и XXVI.

1)IX + VI = XV: I перед X и I после V дают в сумме нуль,

2)X + XX = XXX,

3)XXX + XV = XLV.

Итак, XIX + XXVI = XLV

2. Найти сумму LXIV + CXXVII (64 + 127).

1)IV + VII = (V + V) + I = XI,

2)LX + XX = L + XXX = LXXX,

3)C + LXXX + XI = CLXXXXI = CLXLI = CXCI. Таким образом, LXIV + CXXVII = CXCI (191).

Для умножения римских чисел необходимо умножать множимое на

каждую цифру множителя отдельно, а затем сложить все произведения.

Пример. Найти произведение СXXVI × XXXVII (126 × 37 = 4662). СXXVI × X = M CC LX

СXXVI × X = M CC LX

СXXVI × X = M CC LX

СXXVI × V = D LLXXVV = D C XXX СXXVI × I = C XXVI

СXXVI × I = C XXVI

───────────────────────────────

MMM D CCCCC CCCC LLL XXXXX XXXXX VV II =

= MMM D D CD CL L L X II = MMMM CD CL C XII = MMMMDCLXII (4662).

25

Использованы четыре M подряд, так как в широком употреблении не было записи для чисел, больших, чем 1000.

Позже указанных стали использоваться числа 5000 – V , 10000 – X , 50000 – L, 100000 – C , 500000 – D , 1000000 – M .

С учетом этого последнее число можно записать как MV DCLXII.

Пример. Найти произведение СCIV × CLIII (204 × 153 = 31212). СCIV × C = XXCD,

СCIV × L = VVCC,

СCIV × I = СCIV,

СCIV × I = СCIV,

СCIV × I = СCIV

──────────

XXVVCD CCCCC CCC IV IV IV = XXXCD D CCC XII =

=XXXMCCXII.

3.2.Алфавитные системы счисления

Более совершенными непозиционными СС были алфавитные системы. Древнегреческий алфавит состоял из 27 букв. В алфавитной СС Древней Греции числа 1, 2, …, 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита. Для обозначения чисел 10, 20, …, 90 применялись следующие 9 букв, а для обозначения чисел 100, 200, …, 900 – последние 9 букв.

Например, число 123 записывалось как τλγ. В непозиционной СС значение цифры не всегда зависит от ее позиции в числе. То же число

123в греческой системе можно записать, например, как λγτ. Непозиционные системы счисления имеют существенные недос-

татки:

1.Потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2.Невозможность представления дробных и отрицательных чисел.

3.Сложность выполнения арифметических операций.

26

4. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Позиционными называются СС, в которых значение каждой цифры

визображении числа определяется ее положением (позицией) среди других цифр. Например, в числе 7382 цифра 7 означает количество тысяч, 3 – количество сотен, 8 – количество десятков, 2 – количество единиц. Если переставить первую и последнюю цифры, то в числе 2387 цифра 2 теперь соответствует количеству тысяч, а 7 – количеству единиц.

Позиционные СС (ПСС) более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили более широкое распространение, чем непозиционные. ПСС характеризуется ее основанием.

Основанием или базисом ПСС называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Рассмотрим примеры ПСС:

1)десятичная система, возникшая из счета предметов по пальцам рук;

2)шестидесятеричная система Древнего Вавилона – первая позиционная СС, возникшая из содержания в денежной единице количества мелких монет (1 мина = 60 шекелей). До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с), также 360° в окружности;

3)двенадцатеричная СС (число 12 – дюжина: в году 12 месяцев,

всутках две дюжины часов; стулья и столовые приборы считают дюжинами). В этой системе счёт производился не по пальцам, а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава – всего 12.

В настоящее время наиболее распространёнными ПСС являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Последняя СС широко используется в низкоуровневом программировании и вообще

вкомпьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.

ПСС подразделяются на однородные и смешанные.

В однородной системе для каждого разряда (позиции) числа используется одинаковый набор допустимых символов (цифр). Для примера снова рассмотрим 10-ю СС. Если записывать число в однородной 10-й системе, то в каждом разряде можно использовать только одну цифру в интервале от 0 до 9. Таким образом, число 450 здесь допустимо (1-й разряд – 0, 2-й – 5, 3-й – 4), а число 4B5 недопустимо, так как символ B не входитв набор цифр от 0 до 9. Зато это число допустимо в 16-й СС.

27

Смешанная система допускает в каждой позиции числа набор различных символов (цифр). Например, система измерения и обозначения времени и даты. В обозначении времени 10:14:27 14.10.2025 в разряде часов имеется 24 символа (00–23), в разряде минут и секунд существует 60 символов (00–59), в разряде дней 30 символов, месяцев – 12, лет – тысячи.

B отличие от аддитивных систем позиционное представление является аддитивно-мультипликативным, поскольку значение числа определяется операциями умножения и сложения, например, 427 = 4×100 + 2×10 + 7×1. Главной же особенностью позиционного представления является то, что в нем посредством конечного набора знаков (цифр, разделителя десятичных разрядов и обозначения знака числа) можно записать неограниченное количество чисел. Кроме того, в позиционных аддитивно-мультипликативных системах гораздо легче, чем в аддитивных, производятся операции умножения и деления.

По принципу, положенному в основу десятичной СС, можно построить системы с другими основаниями. Пусть p – основание СС. Тогда любое число X, удовлетворяющее условию X < pk (целое k ≥ 0), может быть представлено в виде многочлена по степеням p

k −1

X p = ak −1pk −1 + ak − 2 pk − 2 +...+ a1p1 + a0 p0 = ∑aj p j .

j = 0

Например, 4512 = 4×103 + 5×102 + 1×101 + 2×100.

Очевидно, что в этой формуле p ≠ 1, поскольку тогда все aj = 0

иформула теряет смысл. Первое допустимое значение p = 2, оно и является минимальным для позиционных систем. СС с основанием 2 называется двоичной. Цифрами двоичной системы являются 0 и 1, соответствующие двум состояниям носителя информации в компьютере

илегко реализуемые технически. Наряду с двоичной в компьютерах используются 8- и 16-ричная СС.

Позиционные СС обладают следующими свойствами.

1.Основание системы счисления в ней самой всегда записывается

как 10, например, 102 = 210, 1016 = 1610.

2.Для записи числа x в СС с основанием p требуется [logpx] +

+1 цифр, где [z] – целая часть числа z.

Примеры

1.Число 20510 записывается тремя цифрами, т. к. [lg205] + 1 =

=[2,31175] + 1 = 2 + 1 = 3.

2.Рассмотрим число 11012, для него [log211012] + 1 = [log213] + 1 =

=[3,70044] + 1 = 4.

28

3.Сравнивать числа, записанные в позиционной СС, можно поразрядно, предварительно дополнив их ведущими нулями до одинаковой длины. При этом сравнение производится от старшего разряда к младшему до тех пор, пока цифра в одном числе не будет больше соответствующей цифры в другом.

Приведем примеры.

1) Для сравнения чисел 321 и 312 в десятичной СС сравниваются цифры в одинаковых разрядах слева направо: 3 = 3 – результат сравнения чисел пока не определён; 2 > 1, следовательно, первое число больше (независимо от оставшихся цифр).

2) Сравним числа 110112 и 111002. Числа пятизначные. На первых двух позициях слева единицы, их сравнение не позволяет определить большее число. На третьей позиции имеем нуль в первом числе и единицу во втором, следовательно, второе число больше.

4.Позиционная СС позволяет легко выполнять сложение, вычитание, умножение, деление и деление с остатком чисел, зная только таблицу сложения однозначных чисел, а для трёх последних операций ещё

итаблицу умножения в соответствующей системе

В табл. 4.1 приведены значения первых 16 целых чисел в некоторых СС.

Таблица 4.1

Первые 16 целых чисел в СС с основаниями 2, 8, 10, 16

4.1. Двоичная система счисления

В двоичной СС для записи чисел используются две цифры: 0 и 1. Основание системы q = 2 записывается как 102 = (1×21 + 0×20)10. В данной СС любое число может быть представлено последовательностью двоичных цифр. Эта запись соответствует сумме степеней цифры 2, взятых с указанными в ней коэффициентами

X = am × 2m + am – 1 × 2m – 1 +…+ a1×21 + a0×20 +… .

Например, 101011012 = 1×27 + 0×26 + 1×25 + 0×24 + 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20 =

= 17310.

29

Арифметические операции над двоичными числами отличаются простотой технического выполнения. Приведем правила двоичной арифметики.

Сложение: 0 + 0 = 0; 1 + 0 = 1; 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 10 (происходит пе-

ренос единицы в старший разряд).

Вычитание: 0 – 0 = 0; 1 – 1 = 0; 1 – 0 = 1; 10 – 1 = 1 (единица зани-

мается в старшем разряде).

Умножение: 0 × 0 = 0; 1 × 0 = 0; 0 × 1 = 0; 1 × 1 = 1.

Двоичная СС является основной для использования в ЭВМ в силу простоты выполнения арифметических операций. Арифметические операции в этой системе демонстрируются в п. 4.6 настоящего издания.

4.2. Двоично-кодированные СС

В двоично-кодированных СС с основанием p > 2 каждая цифра числа представляется в двоичной СС. Таким образом, в двоичную систему переводится не само число, а его цифры, т. е. число кодируется

вдвоичном виде. Рассмотрим использование двоично-кодированных СС на примере восьмеричной и шестнадцатеричной СС. Удобство их использования состоит в том, что числа в этих СС, соответственно,

в3 и 4 раза короче записи в двоичной системе, а перевод в двоичную систему счисления и наоборот несложен и выполняется простым механическим способом.

Пример. Число 137,458 перевести в двоично-восьмеричную СС. Заменим каждую восьмеричную цифру трехзначным двоичным числом – триадой:

Получили, что 137,458 = 001011111,1001012–8.

И наоборот, заменой каждой триады слева и справа от запятой эквивалентным значением восьмеричной цифры образуется восьмеричное число. Если в крайней слева или крайней справа триаде окажется меньше трех двоичных чисел, то эти тройки дополняют нулями.

Пример. Перевести число 1100100111,011012–8 в восьмеричную СС. Дополним его двумя нулями слева и одним нулем справа для разбиения на триады, и заменим их соответствующими восьмеричными цифрами:

30