Уравнение нормали

Уравнение касательной перепишем в виде:

Тогда уравнение нормали запишется:

Пример. Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке

с кооординатами

Уравнение касательной плоскости:

,

Уравнение нормали:

Уравнение касательной плоскости поверхности, заданной неявно

Поверхность задана неявно уравнением:

F(x,y,z)=0.

По правилу дифференцирования неявных функций известно, что:

и

Тогда

Подставим в уравнение:

{умножим на произведение и перенесем влево}

Уравнение нормали

Пример. Написать уравнение касательной плоскости и норали к поверхности F(x,y,z) , заданной неявно x(y+z)(xy-z)+8=0 в точке (2;1;3), которая лежит на поверхности.

Уравнение плоскости:

4(x-2)+14(y-1)-10(z-3)=0; 2x+7y-5z+4=0

Уравнение нормали:

Производная по направлению

Дана функция U=f(x,y,z), дифференцируемая в точке M(x,y,z). Дадим x,y,z приращение .

СоединимM и N. Проведем диагональ и обозначим вектор Известны направляющие косинусы

Т.к. функция u=f(x,y,z) дифференцируема в точке M(x,y,z), то её полное

приращение представимо в виде:

гдебесконечно малые при т.е.

Разделим обе части равенства на :

Но:

Тогда:

Перейдём к пределу при :

Опр. Если существует предел , то он называется производной от

функции u=f(x,y,z) по направлению S и обозначается:

Пример. Найти производную функции u=xy²+z³-xyz в точке М(1;1;2) в направ­лении, образующимся осями координат (углы:60°,45°,60°).

Градиент функции

Дана функция u=f(x,y,z)

Опр.Вектор, координатами которого являются частные производные от функции u=f(x,y,z), называется градиентом функции и обозначается:

Пример. Найти точки, в которых модуль градиента функции равен 2.

{по условию}

Во всех точках окружности с радиусом и с центром в начале координат

Связь производной по направлению с градиентом

Известно, что : . Введём орт

{по свойству скалярного произведения}

Ho ,значит

Если , то при этом производная по направлению градиента функции достигает наибольшего значения.

Если , то . В направлении перпендикулярен.

Экстремум функции двух переменных

Дана функцияz=f(x,y).

Точка (x₀;y₀) называется точкой минимума функции z=f(x,y), если в любой ее окрестности выполняется неравенство: f(x₀;y₀)<f(x;y)

Точка (x₀;y₀)называется точкой максимума функции z=f(x,y), если в любой ее окрестности выполняется неравенство: f(x₀;y₀)>f(x,y)

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Если в точке (х₀,у₀) функция достигает максимума или минимума (если (х₀,у₀) -

точка экстремума ), то в этой точке её частные производные обращаются в нуль или не существуют, т.е. , или не существует.

Доказательство: Дано: (х₀,у₀) - точка экстремума, z=f(x,y).

Дадим у определённое значение у₀. Тогда z=f(x,y₀) будет функцией одной переменной х и согласно неоходимому условию экстремума функции одной переменной, производная от этой функции равна нулю или не существует т.е. или не существует. Аналогично, положим, что х=х₀, тогда z=f(x₀,у) - функция одной переменной у и согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной или не существует.

Теорема. Достаточное условие экстремума функции двух переменных

Пусть z=f(x,y) в критической точке (х₀,у₀) непрерывна и имеет частные

производные включительно до второго порядка, и пусть, где Тогда

1. если и А<0,то (х₀,у₀) - точка максимума

2. если и А>0 ,то (х₀,у₀) - точка минимума

3. если , то экстремума нет.

4. если ответа нет, т.е. требуются дополнительные исследования.

Пример. Исследовать на экстремум функцию z=x²+3xy-18x-12y.

M (4;

-экстремума нет.