Доказательство:Необходимо определить новый базистак, чтопри. Будем искатьв виде

(6)

Коэффициенты можно было бы найти из условияпри. Однако это привело бы к решению уравнений второго порядка на . Поступим иначе.

Если , для, то, для. Действительно, подставляя вместовыражение, получаем если,и, тов силу симметрии билинейных форм. Т. о., задача свелась к следующей: определитьтак, чтоудовлетворяли условиям

, для .

(7)

Этими условиями определяются с точностью до постоянного множителя. Зафиксируем этот множитель условием

.

(8)

Сейчас увидим, что требования (7), (8) определяют вектор однозначно. Действительно, подставляя в (7), (8) выражение для, имеем:

.

(9)

По условию (5) определитель этой системы линейных уравнений отличен от нуляпо теореме Крамера решение!.

Теперь найдем коэффициенты квадратичной формы в базисе. Так как , то по построениюпри.

Вычислим |в силу (7), (8)|=. По правилу Крамера, из (9), что и требовалось доказать. ■

Замечание. Приведенный выбор базиса не единственный.

Пример. Привести к диагональному виду форму , данную в базисе

Здесь

, и , т.е. не обращаются в нуль миноры из условия теоремы. Пусть

В силу теоремы о поляризации соответствующая билинейная форма имеет вид

из . Дляиимеем уравненияи.

Наконец, для ,иимеем систему уравнений:

т.е. ,,,,, т.е..

В этом базисе квадратичная форма имеет вид .

4°. Закон инерции квадратичных форм.

Как было показано ранее, число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависит от вида преобразования, с помощью которого приводится к каноническому виду. В действительности, не меняется число положительных и отрицательных коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм. А именно справедливо утверждение.

Теорема 4 (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Доказательство. Пусть форма с помощью некоторого преобразования координатприводится к виду

,

а с помощью другого преобразования того же вида – к

.

Для доказательства теоремы надо показать, что .

От противного. Предположим, что . Покажем, что в этом случае существует ненулевой вектор: в новых координатахи, координатыиравны нулю, т.е.

Каждое из этих уравнений имеет вид:

,

.

с известными . Так какуравнений меньше, чемэти уравнения имеют ненулевое решениев силу равенствав новых переменных, т.е.– нулевой вектор, что противоречит тому, что– ненулевойпредположение– неверно. В силу симметричности законов приведения– неверно. Что и требовалось доказать. ■

5°. Классификация квадратичных форм.

Определение 5. Индексом инерции квадратичной формы называется число отличных от нуля коэффициентов канонического вида (т.е. ранг формы), положительным (отрицательным) индексом – число положительных (отрицательных) коэффициентов.

Очевидно, что сумма положительных и отрицательных индексов инерции равна индексу инерции.

Обозначим – индекс инерции, положительный и отрицательный индексы соответственно,. Тогда квадратичная форма может быть приведена к видув некотором базисе.

Утверждение 3: Для того, чтобы квадратичная форма ,заданная в –мерном пространстве, была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы, либо, либо. Если, то форма положительно определена, если– отрицательно определена.

Доказательство: приведем для положительно определенной.

–положительно определена приводится к виду, если, то ,.

Пусть и для – положительно определена.

Утверждение 4: Форма – знакопеременная и положительный и отрицательный индексы отличны от нуля.

Доказательство: квадратичная форма принимает и положительные и отрицательные значенияв каноническом виде должны быть как положительные, так и отрицательные выражения

.

(10)

Если справедливо (10), то для ,, а для,(10) – канонический вид знакопеременной формы.

Утверждение 5: Для того, чтобы была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения либо ,, либо,.

Доказательство: Аналогично п. 4

6°. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

(позволяет исследовать без приведения к каноническому виду)

Пусть – квадратичная форма и– угловые миноры.

Теорема 5 (критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства .

Для того чтобы, форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем ₁<0

Доказательство: Докажем в начале, что из условия знакоопределенности следует, что

 пусть . Рассмотрим систему ЛОУ

, то определитель система имеет нетривиальное решение. Пусть– такое решение. Умножая первое уравнение на–е наи складывая, получим :=0, т.е. получили, что квадратичная форма на ненулевом вектореобращается в нуль. Это противоречит знакоопределенности,. Поэтому можно применить теорему Якоби (теорема 3) и воспользоваться формулой для коэффициентов. Если – положительно определена, то все , так как,.

Если – отрицательно определенная форма, то , т.е. знаки угловых миноров чередуются.

Пусть выполнены условия, что ,можно воспользоваться методом Якобиформа положительно определена.

Если знаки чередуются и , тоформа отрицательно определена. Что и требовалось доказать. ■

Замечание: Отрицательный индекс инерции равен числу перемен знаков в последовательности определителей .