§5. Линейные и билинейные функции на линейном пространстве

1°. Определение функции. Линейные функции.

Определение 1.Будем говорить что, на линейном пространствезадана функция (от одного вектора), еслипоставлено в соответствие число. Будем говорить, что назадана функция двух векторов, еслиупорядоченной парепоставлено в соответствии число.

Обозначение:.

Замечание 1.Функции на бесконечно мерных пространствах принято называть функционалами.

Замечание 2.Обычно под функцией понимают величину инвариантную относительно замены базиса, т.е. такую, что она не меняется при переходе от одного базиса к другому. А именно, еслив базисеставится в соответствие первая координата, то это не функция, так как зависит от выбора базиса.

Пусть –мерное линейное пространство, и в нем задан некоторый базис. Тогдаопределяетсякоординатамифункция при фиксированном базисе задаётся как обычная функцияnпеременных. При переходе к другому базису она изменяется.

Определение 2.Функция, заданная на линейном пространстве, называетсялинейной, если

1. ,

2. ,.

Пример.

1°. Если ,, то– линейная функция.

2°. Если ,, то эта функция не является линейной.

Пусть –мерное линейное пространство и– фиксированный базисможет быть записан в базисе. Значение функцииможет быть записано в базисе:

.

Здесь числа не зависят от выбора, а определяются лишь базисом. Таким образом, доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Каждая линейная функция на–мерном линейном пространстве в произвольном базисезадаётся линейным однородным многочленом

(1)

от компонент вектора по этому базису. Коэффициенты многочлена (1) есть значения функции на базисных векторах.

Часто вместо линейной функции говорят линейные формы!

Числа будем называтькомпонентами(коэффициентами) функциив базисе. Итак, .

Формулу (1) можно записать в виде

.

Выясним, как меняются компоненты функции при переходе к новому базису. Пустьисвязаны формулами перехода.

Тогда

,

(2)

то есть компоненты линейной функции преобразуются также как и базисные векторы.

Покажем, что такое преобразование компонентов линейной функции обеспечивает инвариантность её значений. Напомним, что если .

Тогда , т.е. численное значение функции при изменении базиса сохраняется.

2°. Билинейные функции на линейном пространстве.

Определение 3. Билинейной функцией (или билинейной формой) на линейном пространственазывается функцияот двух векторов:

1. При фиксированном ,– линейная функция ;

2. При фиксированном ,– линейная функция.

Иными словами,

Примеры:

1. Рассмотрим пространство и пусть . Положим

где . Очевидно, что это билинейная форма.

2. Пусть – пространствои.

Положим Этобилинейная форма. Если

Задача. Показать, что если – линейные функции, то– билинейная.

Пусть мерное линейное пространство с базисом.

Если , то билинейная функцияможет быть вычислена следующим образом:

.

Здесь чиселявляются значениями билинейной формы на всевозможных парах базисных векторов и называются коэффициентами билинейной формы в базисе. Если ввести матрицу билинейной формы, то есть матрицу, то

. (3)

Рассмотрим изменение матрицы при переходе к другому базису.

, то есть  

, (4)

где – матрица билинейной функции в базисе.

Определение 4. Билинейная форма называется симметричной, если.

Если билинейная форма симметрична, то  матрица билинейной формы симметрична.

Обратно, пусть матрица билинейной формы симметрическая, то есть

, то есть билинейная форма тоже симметричная. Итак,

Предложение. Билинейная форма симметрична  её матрица – симметрическая (в произвольном базисе).