§8. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме

1°. Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования.

Пусть – некоторое собственное значение преобразования , т. е. справедливо следующее определение.

Определение 1. Вектор называется собственным вектором преобразования , отвечающим собственному значению , если

, т.е. .

(1)

Рассмотрим совокупность всех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном _. Ясно, что совокупность этих векторов является подпространством пространства .

Мы обозначим его . Легко видеть, что инвариантно относительно преобразования (проверьте!).

Заметим, что подпространство состоит из всех собственных векторов преобразования , отвечающих собственному значению , к которым добавлен еще нулевой вектор.

Определение 2. Вектор называется присоединенным вектором первого порядка преобразования , отвечающим собственному значению , если вектор является собственным вектором преобразования .

Пусть – собственное значение преобразования . Рассмотрим подпространство, состоящее из всех векторов , для которых выполнено условие

,

(2)

т.е. ядро преобразования Обозначим это подпространство . Очевидно, что является инвариантным подпространством пространства . В самом деле, пусть , т.е. . Нам надо доказать, что и вектор , т.е. что . Это следует из того, что преобразование перестановочно с , т.е. .

Рассмотрим несколько более подробно структуру пространства . В нем есть векторы двух типов.

Если , т.е. , то тогда и , т.е. . Таким образом, целиком содержится в . Если , но , т.е. , , то – присоединенный вектор первого порядка. Действительно, в этом случае есть собственный вектор.

_{Таким образом, подпространство} получается, если к подпространству добавить присоединенные векторы первого порядка.

Аналогично вводим подпространство , состоящее из всех векторов , для которых

.

(3)

Это подпространство инвариантно относительно преобразования . Ясно, что подпространство содержит предыдущее подпространство .

_{Определение 3. Вектор называется присоединенным вектором –го порядка, если вектор является присоединенным вектором – го порядка.}

По индукции можно показать, что если _– присоединенный вектор _{– го порядка, то} , . Другими словами, присоединенным вектором _{–го порядка называется вектор, принадлежащий} и не принадлежащий .

Пример. Пусть пространство многочленов степени и преобразование – дифференцирование: . Легко видеть, что есть собственное значение. Соответствующий ему собственный вектор . Найдем для этого преобразования пространства . По определению состоит из всех многочленов , для которых , т.е. . Это будут все многочлены, степень которых не превышает . Присоединенными векторами -го порядка будут многочлены, степень которых в точности равна .

В этом примере размерность каждого из подпространств равна и она растет от до вместе с ростом . Подпространство уже совпадает со всем пространством , и если мы захотим определить , и т.д., то все эти подпространства будут совпадать с .

Легко видеть также, что в этом примере . Это следует из того, что каждый многочлен степени есть производная от многочлена степени .

Упражнение. Показать, что для любого линейного преобразования имеет место включение .

Пусть – линейное преобразование, а – его собственное значение. Покажем, что подпространства сначала строго возрастают с ростом индекса, а затем, начиная с некоторого номера , этот рост прекращается, т.е. (смотрите приведенный в этом пункте пример).

Мы уже показали, что каждое подпространство содержит , т.е. что с увеличением номера подпространства , а значит и из размерности, могут только увеличиваться.

Так как наше пространство конечномерно, то для какого–то мы впервые получим, что .

Докажем, что в этом случае , т.е. что дальнейшего возрастания подпространства не будет.

Действительно, предположим противное, а именно, что , но для некоторого подпространство строго больше, чем . Тогда существует вектор такой, что , . Это значит, что

, но .

(4)

Обозначим через вектор . Тогда первое из выражений (4) означает, что , а второе, что , что невозможно, так как подпространства и по предположению совпадают.

Итак, пусть – некоторое собственное значение преобразования . Основным результатом этого пункта является построение инвариантного подпространства , состоящего из всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению. Его называют корневым подпространством, соответствующим собственному числу . Кроме того, в п. 3 нам понадобится более детальная структура . А именно, обозначая через подпространство, состоящее из присоединенных векторов порядка , мы получили возрастающую цепочку инвариантных подпространств

.

(5)

Все члены этой цепочки различны. Подпространство состоит при этом из всех векторов , для которых , т.е. это есть ядро преобразования .

Преобразование переводит каждое из подпространств цепочки (5) в предшествующее.