Сингулярное разложение и его применение. Учебно-методическое пособие

Матрица U связывает пользователя с жанром фильма: очевидно, что Эмма предпочитает смотреть фантастику, а Вячеслав любит мелодрамы. Диагональные элементы матрицы Σ отражают популярность жанров: научнофантастические фильмы популярнее мелодрам среди опрошенных пользователей. Наконец, матрица V T связывает каждый фильм с определенным жанром: три первых фильма относятся к научной фантастике, а два последних — мелодрамы.

Предположим, что новый пользователь Лариса смотрела только фильм «Гравитация» и поставила ему оценку 4. Что система может рекомендовать для нее?

Представим ее рейтинг в виде вектора u = (0, 0, 0, 4, 0). Вычислим uV = = (2,32, 0). Это дает представление рейтинга Ларисы в пространстве жанров. Очевидно, что она интересуется научно-фантастическими фильмами и совсем не интересуется мелодрамами.

Поскольку матрица V T связывает фильм с жанром, то полученное представление рейтинга Ларисы можно отобразить на пространство фильмов, вычислив произведение uV V T = (1,35, 1,35, 1,35, 0, 0). Таким образом, можно ожидать, что Ларисе понравятся «Матрица», «Начало» и «Гравитация», но не «Касабланка» или «Титаник».

В данном примере каждый пользователь давал оценки либо фантастическим фильмам, либо мелодрамам, но ни один из них не оценивал фильмы обоих жанров. В результате ранг матрицы A равен 2, числу жанров, и разложение A дает точно желаемое число столбцов U и V . В реальной жизни так бывает редко и ранг матрицы может оказаться больше, чем это желаемое число. В таком случае нужно устранить меньшие сингулярные числа, оставив только нужное количество столбцов и получить аппроксимацию матрицы A, которая, вполне возможно, сохранит всю необходимую информацию.

Заключение

Мы привели только несколько примеров использования сингулярного разложения для решения различных задач. Более подробно с этим простым, но очень мощным алгебраическим инструментом и его различными применениями можно ознакомиться в указанной ниже литературе. Для подробного изучения можно особенно рекомендовать монографию [6], целиком посвященную данной теме. В список также включены работы, откуда был заимствован ряд задач, описанных в настоящем пособии.

Список литературы

1.Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 552 с.

2.Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001. 432 с.

3.Логинов Н.В. Сингулярное разложение матриц. М.: МГАПИ, 1996. 80 c.

4.Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. 456 c.

5.Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 656 с.

6.Bisgard J. Analysis and Linear Algebra: The Singular Value Decomposition and Applications. Providence: American Mathematical Society, 2021. (Ser.: Student Mathematical Library, V. 94.) 218 p.

7. LeCun Y., Cortes C. The MNIST database of handwritten digits. URL: https://www.lri.fr/ marc/Master2/MNIST_doc.pdf (дата обращения: 25.02.2025).

8.Leskovec J., Rajaraman A., Ullman J. Mining of Massive Datasets. 3rd ed. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2019. 584 p.

9.Mazack M. Algorithms for Handwritten Digit Recognition // [M.Mazack pers. website] / Slides, Masters Project Colloquium,

Mathematics Department, Western Washington University, 2009. URL: http://mazack.org/papers/mazack_masters.pdf (дата обращения: 25.02.2025).

Учебное издание

Кудрявцева Наталья Анатольевна

СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Учебно-методическое пособие

Редактор Е. А. Виберг Оригинал-макет Н. А. Кудрявцевой Обложка Е. В. Неклюдовой

Подписано в печать 07.04.2025 г.

Формат 60 х 84 1/16. Уч.-изд. л. 1,5. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 25 экз. Заказ № 56 Издательско-полиграфический центр НГУ 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2.