Ренты. Учебно-методическое пособие

= (1 + )− - дисконтный множитель по ставке .

Итак, современная стоимость потока платежей представляет собой обобщающую оценку, приуроченную к некоторому предшествующему моменту времени (у немедленной ренты – к началу срока). Наращенная сумма также является обобщением всех членов потока в виде одного числа, однако эта оценка приурочена к концу срока. Очевидно, что между величинами и существует функциональная зависимость. Дисконтируем сумму с помощью дисконтного множителя и получим

= ∑ (1 + )− ∙ = ∑ = .

Наращивая сумму по той же ставке, получим

Пример 1. Имеется следующий график выдачи ссуды во времени:

1 июля 2015 г. – 5 000 руб.; 1 января 2016 г. – 15 000 руб.; 1 января 2018 г. – 18 000 руб.

Определить сумму задолженности на 1 января 2019 года и её современную стоимость на момент выплаты первой суммы при ставке наращения 20% годовых.

11

Решение. График решения представим на Рис. 1.

Рис. 1.

Найдем наращенную сумму

= 5000∙(1 + 0,2)3,5 + 15000∙(1 + 0,2)3 + 18000∙(1 + 0,2) =

=56 984,65 руб.

Найдем по этим же данным современную стоимость потока на момент выплаты первой суммы. При прямом счете получим

= 5 000 + 15 000∙(1 + 0,2)−0,5 + 18 000∙(1 + 0,2)−2,5 =

= 30 103,95 руб.,

а по формуле (2.3)

= (1 + )− = 56 984,65∙(1 + 0,2)−3,5 = 30 103,95 руб.

12

Глава 3. Методы расчета постоянной ренты постнумерандо

Для частного вида потока платежей — финансовых рент — разработаны математические методы решения подобных задач.

В зависимости от вида финансовой ренты используются различные формулы для вычисления наращенной суммы и современной стоимости ренты, которые, как правило, являются основными показателями. Рассмотрим основные виды рент с примерами расчетов.

3.1. Годовая рента

Как известно, годовая рента постнумерандо

предусматривает выплаты и начисления процентов один раз в конце года.

Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо

Определим наращенную сумму годовой ренты. Пусть в течение лет в банк в конце каждого года вносится по рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке % годовых. Таким образом, на первый взнос проценты начисляются − 1 год, на второй взнос проценты начисляются − 2 года и т. д.

13

Наращенная сумма к концу срока

= (1 + ) −1 + (1 + ) −2 + + (1 + ) + .

Если посмотреть на это выражение справа налево, то можно заметить, что оно является суммой геометрической прогрессии с первым членом 1 = и знаменателем= 1 + . Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле

= 1( −1),

−1

где – количество членов прогрессии.

Таким образом, наращенная сумма годовой ренты к концу срока вычисляется по формуле

14

– коэффициент наращения ренты, табулированная функция. Нижний индекс ; указывает на продолжительность ренты и величину процентной ставки.

Замечание. Если в таблице коэффициентов наращения и дисконтирования нет требуемых процентных ставок, то необходимые величины определяются по формулам.

Таблицы коэффициентов наращения и дисконтирования приведены в различной справочной литературе по финансовой математике.

Пример 2. В фонд ежегодно в течение семи лет в конце года поступают средства по 10 000 руб., на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить коэффициент наращения и величину фонда на конец срока.

Решение. По условию = 10 000 руб., = 7 лет, = 0,15.

Коэффициент наращения находится по формуле (3.3):

Наращенную сумму находим по формуле (3.2):

= ∙ ; = 10 000∙11,066799203125 = 110 667,99 руб.

15

Современная стоимость годовой ренты постнумерандо

Для определения современной стоимости годовой ренты необходимо каждый платеж продисконтировать на начало срока ренты и сложить все дисконтированные платежи. Дисконтированное значение первого платежа

равно , второго - 2, …, последнего - , где = 1+1 .

Современная стоимость, равная сумме всех платежей, определяется соотношением

= + 2 + 3… + = (1 + + 2+ …+ −1 ).

Выражение в скобках является суммой геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии и количеством членов . Таким образом, современная стоимость годовой ренты вычисляется по формуле

– коэффициент приведения ренты, табулированная функция.

16

Пример 3. В фонд ежегодно в течение семи лет в конце года поступают средства по 10 000 руб., на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить коэффициент приведения ренты и современную стоимость фонда.

Решение. По условию = 10 000 руб., = 7 лет, = 0,15.

Коэффициент приведения находится по формуле (3.5):

Современная стоимость определяется соотношением (3.4):

= ; = 10 000∙4,1604197338 = 41 604, 20 руб.

3.2. Рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке

Наращенная сумма годовой ренты с начислением процентов раз в году

Для годовой ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке проценты начисляются

раз в году каждый раз по ставке , где – номинальная

ставка. Срок ренты равен лет. Количество начислений на первую выплату равно ( − 1) , на вторую - ( − 2) , …, на предпоследнюю – , на последнюю – 0.

17

Отсюда следует выражение для наращенной суммы

ренты:

= (1 + )( −1) + (1 + )( −2) + + (1 + ) + .

Знаменатель данной геометрической прогрессии равен

= (1 + ) , количество членов – . Таким образом,

– коэффициент наращения ренты, табулированная функция. Пример 4. Несколько изменим условия примера 2. Пусть теперь проценты начисляются поквартально, а не раз в году. Имеем / = 0,15/4, = 28. Определить коэффициент наращения и наращенную сумму.

Решение. Коэффициент наращения находится по формуле

(3.7):

(1+0,15)28−1

28; 0,15/4= 4 = 11,3663935104.

(1+0,154 )4−1

Наращенная сумма находится по формуле (3.6):

= ∙ 28; 0,15/4 = 10 000 ∙ 11,3663935104 = 113 663,94 руб.

18

Современная стоимость годовой ренты с начислением процентов раз в году

Для определения современной стоимости ренты вычислим дисконтные множители каждого платежа.

- коэффициент приведения ренты, табулированная функция. Пример 5. Несколько изменим условия примера 3. Пусть

теперь проценты начисляются поквартально, а не раз в году.

современную стоимость фонда.

Решение. Имеем = 0,15, = 28. Тогда коэффициент приведения находится по формуле (3.9):

Современная стоимость ренты находится по формуле (3.8):

= 10 000∙4,0546720813 = 40 546,72 руб.

3.3. Ренты с неоднократными выплатами в году ( −срочная рента)

Напомним, если выплаты производятся раз в году, то такая рента называется −срочной или рентой с неоднократными выплатами в году.

Рассмотрим методы расчета наращенной суммы и современной стоимости ренты постнумерандо при условии,

что = 1, = и ≠ .

20