Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы решения задач тепломассопереноса. Теплопроводность и диффузия в неподвижной среде. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

∞	μn x		2
	μn x		2
T2ez ( x, τ) =W2 ( x) + ∑A2n sin		+ ϕ2n exp(−μn		τ).	(3.2.18)
T2ez ( x, τ) =W2 ( x) + ∑A2n sin	a2	+ ϕ2n exp(−μn		τ).	(3.2.18)
n=1	a2

В решении для конца интервала в качестве начального распределения температуры в θ1(x), θ2(x) (уравнение (3.2.14)) необходимо взять распределение температуры в конце предыдущего интервала, то есть:

θ1(x) = T1bz(x, τ) – W1(x);				(3.2.19)
θ2(x) = T2bz(x, τ) – W2(x).				(3.2.20)
Тогда получаем:
∞	μn x
T1ez (x, τ) =W1 (x) + ∑A1n sin	μn x	+ ϕ1n	exp(−μn2	τ)= W1 (x) +
T1ez (x, τ) =W1 (x) + ∑A1n sin	a	+ ϕ1n	exp(−μn2	τ)= W1 (x) +
n=1	a
	1

∫

( x,τ) −W (x))sin

+ ϕ

dx +

∞

1bz

+ ∑

→

n=1 λ1

λ2

μn x

∫sin

μn x

∫sin

+ ϕ1n dx + a

M n

+ ϕ2n dx

2 M n ∫(T2bz ( x, τ)

−W2

( x))sin

+ ϕ2n

→

μn x

×sin

+ ϕ

exp(−μ2τ) =

∞

=W1 ( x) + ∑

∫ ∑A1k sin

+ ϕ1k exp(−μnτk ) sin

+ ϕ1n dx +

n=1 a1

k =1

λ2

∞

μk x

μn x

M n ∫

∑A2k sin

+ ϕ2k

exp(−μn

τk )

sin

+ ϕ2n dx

k =1

∫sin

+ ϕ1n dx + a

M n

+ ϕ2n dx ×

μn x

×sin

+ ϕ

exp(−μ2

τ) ,

(3.2.21)

где τ = τk – продолжительность интервала;

l1 ∞

∫ ∑A1k

A1n

sin

+ ϕ1k

exp(−μn

τk ) sin

+ ϕ1n dx +

k =1

λ2

∞

μk x

μn x

M n ∫

∑A2k sin

+ ϕ2k exp(−μnτk )

sin

+ ϕ2n dx

k =1

∫sin

+ ϕ1n

dx + a

M n

+ ϕ2n dx ;

(3.2.22)

∞

μn x

T2ez ( x, τ) =W2 (x) + ∑A1n M n sin

+ ϕ2n exp(−μn

τ).

(3.2.23)

n=1

Значения параметров, входящих в (3.2.23), также определяются из со-

отношений (3.2.21), (3.2.22).

Кроме того, рассчитываются средние значения температур l∫i Ti (x, τ)dx

T	i (τ) =	0		.	(3.2.24)

			li

Для влажных материалов берутся среднемассовые температуры. Для задач диффузии используются эти же решения, с заменами:

a ≡ D;	λ ≡ D ;
h1 ≡ β1/D1;	h2 ≡ β2/D2;	(3.2.25)
α1 (T1(0, τ) – Tc1) ≡ β1(C(0, τ) – Cc1);
α2 (T2(l, τ) – Tc2) ≡ β2(C(l, τ) – Cc2).		(3.2.26)

3.3. Четырехслойные задачи теплопроводности (диффузии) для пластины, цилиндра и шара

3.3.1. Четырехслойная пластина

Постановка задачи:

∂P (x,

τ)

∂2 P (x,

τ)

= a

a =

;

(3.3.1)

c ρ

∂τ

∂ 2

∂P1

(0, τ)

−h1 (P1(0,

τ) − Pc1 )= 0 ;

(3.3.2)

∂x


∂Pn (l2 , τ) − h (P (l				, τ) − P		)= 0 , h = α1 ,			h =	α2 ;	(3.3.3)
∂x	2 n		n		c2	1		λ1	2	λ4
	Pj (l j ,τ) = Pj+1(0, τ) ;										(3.3.4)
λ j	∂Pj (l j , τ)	= λ j+1			∂Pj+1(0, τ)		,	j = 1, 2, 3;			(3.3.5)
λ j		= λ j+1					,	j = 1, 2, 3;			(3.3.5)
	∂x					∂x
	Pi (x, 0) = ψi (x) , i = 1, 2, 3, 4.										(3.3.6)

Решениезадачи(3.3.1) – (3.3.6), полученноеметодомФурье, имеетвид

	∞		μn x
			μn x
	Pi ( x, τ) =Wi ( x) + ∑Ain sin
	Pi ( x, τ) =Wi ( x) + ∑Ain sin		ai
	n=1		ai

+ ϕin exp(− μ2nτ), i = 1, 2, 3, 4. (3.3.7)

Вид и параметры функций Wi(x) определяются для стационарного распределения температур.

μn

= arctg

;

(3.3.8)

= −arctg

−

;

(3.3.9)

n 1 + ϕ

tg(ϕ

) ;

(3.3.10)

λ1

λ2

μnl2

+ ϕ

tg(ϕ

);

(3.3.11)

λ2

λ3

μnl3

+ ϕ

tg(ϕ

(3.3.12)

λ3

λ4

Система (3.3.8) – (3.3.12) позволяет определить n последовательных

значений ϕin, μn (i = 1, 2, 3, 4).

A( j+1)n

= A1n M( j+1)n ,

M1n = 1;

(3.3.13)

j+1

μnlr

∏sin

+ ϕrn

( j+1)n

r=1

, j = 1, 2, 3;

(3.3.14)

∏sin(ϕrn )

r=1

λi

μn x

∑a

Min ∫θi (x)sin

+ϕin dxi

i=1

;

(3.3.15)

λi

μn x

∑a

Min ∫sin

+ϕin dxi

i=1

θi (x) = ψi ( x) −Wi (x) ,

i = 1, 2, 3, 4.

(3.3.16)

3.3.2. Четырехслойный цилиндр

Постановка задачи:

∂P (r, τ)

∂2 P (r,

τ)

∂P (r, τ)

= a

a =

;

(3.3.17)

∂τ

∂r2

∂r

∂P1 (0,τ)

= 0 ;

(3.3.18)

∂r

∂P4 (R4 , τ)

−h (P (R , τ) − P )= 0 ,

h =

;

(3.3.19)

∂r

λ4

Pi ( Ri , τ) = Pi +1 ( Ri +1 , τ) ;

(3.3.20)

λi

∂Pi (Ri , τ)

= λi+1

∂Pi+1 (Ri+1 , τ)

i = 1, 2, 3;

(3.3.21)

∂r

Pi (r, 0) = ψi (x) ,

i = 1, 2, 3, 4.

(3.3.22)

Решение задачи (3.3.17) – (3.3.22), полученное методом Фурье:

∞

μnr

Pi (r, τ) =

Pc + ∑ Min J0

+ NinY0

exp(−μnτ) ,

(3.3.23)

n=1

где

+ N Y

−M

; (3.3.24)

+1)n

in 0

(i+1)n 1

n i

M(i+1)n

λiai+1

λi+1ai

n i

− J

μn Ri

+ N

−

μn Ri

i = 1, 2, 3; (3.3.25)

in 1

(i+1) n

M1n = 1;

N1n = 0;

− J

= N

−

α a

n 3

− J

n 3

= N

n 3

−

3.3.3. Четырехслойный шар

Постановка задачи:

Y1 μnR2 a2

Y1 μnR3 a3

(3.3.26)

;(3.3.27)

.(3.3.28)

∂P

, τ)

∂2 P

(r, τ)

∂P (r, τ)

= a

∂τ

∂r

∂P1 (0,τ)

= 0 ;

∂P4 (R4 , τ)

∂r

−h (P

, τ) − P )= 0 ,

∂r

Pi (Ri , τ) = Pi+1 (Ri , τ) ;

∂Pi (Ri , τ)

= λ

∂Pi+1(Ri ,τ)

∂r

i+1

∂r

a	=		λi		;	(3.3.29)
a	=				;	(3.3.29)
i			ciρi
			ciρi
						(3.3.30)
h =		α		;		(3.3.31)
h =		λ 4		;		(3.3.31)
		λ 4
						(3.3.32)
i = 1, 2, 3;						(3.3.33)

Pi (r, 0) = ψi (x) ,			i = 1, 2, 3, 4.					(3.3.34)
Решение задачи (3.3.29) – (3.3.34), полученное методом Фурье:
∞	1		μ r
			n			2
Pi (r, τ) = Pc + ∑Ain	r	sin	a		+ϕin exp(−μn		τ),	(3.3.35)
n=1				i
где		= nπ;						(3.3.36)
ϕ1n		= nπ;						(3.3.36)

		ϕin		= arcctg(argi )− μn Ri ;
										ai
	ai		λ	R	μ			μ	R
	ai		λ	R	μ	n		μ	R
argi =			i	i−1		n			n i −1	+ ϕ(i
				a			ctg		a
							ctg
	λi Ri −1μn				i −1
					i −1				i −1

(3.3.37)

−1)n + λi − λi−1 ; (3.3.38)

	1		μ	R			μ	n
		− h tg		n i + ϕ		=			, i = 2, 3, 4.	(3.3.39)

R				a	in		a
	i −1
				i				i

Система (3.3.35) – (3.3.39) позволяет определить n последовательных значений ϕin, μn

M1n = 1;

A( j+1)n

= A1n M( j+1)n ;

(3.3.40)

j+1

n r

∏sin

+ ϕrn

M ( j+1)n =

r=1

j = 1, 2, 3;

(3.3.41)

n r+1

∏sin

+ ϕ(r+1)n

ar+1

r=1

μ r

∑a

Min

∫ θi (r)rsin

+ϕin dr

i=1

Ri−1

, R = 0;

(3.3.42)

μ r

∑a

Min

∫ sin

+ϕin dr

i=1

Ri−1

θi (x) = ψi (x) − Pc ,

i = 1, 2, 3, 4.

(3.3.43)

Для задач диффузии используются эти же решения, с заменами:

a ≡ D;	λ ≡ D ;
h1 ≡ β1/D1;	h2 ≡ β2/D2;	(3.3.44)
α1(T1(0, τ) – Tc1) ≡ β1(C(0, τ) – Cc1);
α2(T2(l, τ) – Tc2) ≡ β2(C(l, τ) – Cc2).		(3.3.45)

3.4. Регулярные решения

При достаточно большом времени от начала процесса в решении задач часто можно с хорошей точностью удовлетвориться одним первым членом ряда, так как остальные оказываются достаточно малыми и ими можно пренебречь. Это так называемые регулярные режимы и решения.

Различают, по терминологии Г.М. Кондратьева (см. также книги А.В. Лыкова, Н.А. Ярышева), регулярные режимы 1, 2 и 3-го рода для нагрева (охлаждения) тел при постоянной температуре среды, при линейном изменении ее во времени и при изменении температуры среды по гармоническому закону.

В наших случаях регулярность обеспечивает возможность упрощения счета, так как он может производиться даже вручную или на калькуляторе.

Существенное значение регулярность имеет также для температурных измерений, особенно в телах сложной формы, и для эксперименталь-

ной техники определения теплофизических свойств.

3.5. Безградиентные задачи

Допущение безградиентности, как уже говорилось, дает возможность

свести задачу в ДУЧП к задаче ОДУ.

Взависимости от вида задачи могут быть следующие варианты:

– чисто тепловая задача;

– чисто диффузионная задача.

Взависимости от вида граничных условий встречаются задачи:

–при постоянных ГУ (когда Tс = const): ГУ-3; ГУ-2; при постоянных ГУ-1 задача становится тривиальной;

–при переменных ГУ-3, ГУ-2, ГУ-1, когда Tс = Tс(τ).

Для взаимосвязанных задач переноса, рассматриваемых ниже, могут быть варианты задач:

–теплодиффузионные, когда за основу берется теплоперенос;

–диффузионно-тепловые, когда за основу берется массоперенос. Решения всех этих задач методически аналогичны. Поэтому рассмот-

рим их на наиболее общих примерах задач взаимосвязанного теплопере-

носа в термически тонких материалах, например, применительно к про-

цессам сушки.

3.6. К решению задач взаимосвязанного тепломассопереноса

Разработаны методы и получены решения многочисленных линейных взаимосвязанных задач переноса (см., например, работы А.В. Лыкова, Ю.А. Михайлова, М.Д. Михайлова, Ю.Т. Глазунова). Однако, как уже говорилось, для практических расчетов они оказываются малореальными, причем не из-за математических трудностей, а из-за неизвестности, нестабильности и погрешностей многочисленных входящих в исходные модели коэффициентов и характеристик. Эти коэффициенты и характеристики в данном случае являются больше демонстрационно-показательными и не учитывают множества реальных явлений, происходящих при тепло- и массопереносе.

Поэтому в настоящем пособии излагается методология описания и расчета таких процессов с использованием температурно-влажностных зависимостей (ТВЗ), разработанная В.И. Коноваловым и его школой.

Для лучшего понимания этих методов рассмотрим вначале решения безградиентных взаимосвязанных задач в ОДУ, а затем решения задач в ДУЧП для уравнений теплопроводности и диффузии в сочетании с ТВЗ.

3.6.1. Взаимосвязанный тепло- и массоперенос в термически тонких материалах

В этом разделе даются указания о двух методах решения уравнения теплового баланса. Он оказывается наиболее эффективным для материалов незначительной толщины или при малой интенсивности процесса, когда можно пренебречь перепадом температур по сечению тела и принять температуру поверхности тела Tп = T(R, τ) примерно равной его среднемассо-

вой температуре T = T (τ) . Этот подход заключается в непосредственном использовании для расчета процесса сушки уравнения теплового баланса



− M	т	r	du		(τ)	+M c	dT (τ)		= Q(τ) .	(3.6.1)
− M		r				+M c			= Q(τ) .	(3.6.1)
				dτ		т		dτ
				dτ				dτ

При комбинированном теплоподводе Q = ∑Qi , где например:

								i=1
	Q1 = Qконв = qконвF = αF[Tс −T (R, τ)] ,									(3.6.2)
Q	= Q	= q	изл	F = c	ε	пр	ϕF{T 4	−[T (R, τ)]4	} .	(3.6.3)
2	изл		изл	0		пр	изл

Замена в уравнениях (3.6.2) и (3.6.3) Тп на Т резко упрощает задачи экспериментальных исследований, так как отпадает необходимость весьма сложного измерения температурных полей. Несколько упрощается также интегрирование уравнений теплового баланса (3.6.1) – (3.6.3). Такие материалы будем называть в дальнейшем термически тонкими.

В следующем разделе приводятся примеры расчетных моделей для конкретных случаев сушки.

3.6.1.1. Решение безградиентной задачи тепломассопереноса (3.6.1) при известной температурно-влажностной зависимости T (u )

Для конвективной сушки при T (R, τ) T (τ) из (3.6.1), (3.6.3) имеем

− M

(τ)

+ M

dT (τ)

= αF[T −T

(τ)] .

(3.6.4)

dτ

Температурно-влажностная зависимость в этом случае может быть выражена непосредственно в общей форме


T		= T (u ) или T				(τ) = T [u(τ)] .			(3.6.5)

Используя зависимость (3.6.5), из уравнения (3.6.4) можно исключить функцию T (τ) и привести его к виду

− M

+ M

dT (

)

= αF[T −T

(

)] .

(3.6.6)

dτ

На практике удобно применять кусочно-степенную аппроксимацию зависимости T (u) , например, вида

		+b		nт ,	(3.6.7)
T	=T
			u
	б	т

и вести расчет по зонам, число которых зависит от характера взаимосвязи между среднемассовыми температурой и влагосодержанием материала.

Пример 6-зональной температурно-влажностной зависимости дан на рис. 3.2. Влагосодержание и температура на стыках зон будут ui , Ti .

В дальнейшем для удобства индексы i опускаем и рассматриваем произвольную зону, ограниченную точками uнз , Tнз в начале зоны и uкз ,

Tкз в конце зоны.

Т
Т6	6
Т5	5
Т3 Т4	4	3
Т3 Т4

					2	1
Т1 Т2					2



									0
	Т0								0


		0
		0				u		u
			u6 u5 u4	u3 u2			u11		0	u

Рис. 3.2. Пример аппроксимации зависимости Т(u )

На рисунке 3.2 представлены основные разновидности зон в зависимостях T (u ) . В зонах 1 и 3 зависимость T (u ) линейна, соответственно в уравнении (3.6.7) показатель степени nт, причем bт < 0. В зоне 5 зависимость T (u ) нелинейна. В зонах 2 и 4 T = const , т.е. сушка идет при постоянной температуре материала, соответственно в уравнении (3.6.7)

bт = 0, тогда T = Tб =Тнз = Ткз . Кроме того, так как ddTτ = 0 , то в уравне-

ниях (3.6.4), (3.6.6) второе слагаемое также равно нулю. В зоне 6, наоборот, u = const , т.е. идет процесс «чистого» нагрева тела при постоянном (например, практически равновесном) влагосодержании материала.

Естественно, зависимости (3.6.5), (3.6.7) в этом случае не имеют смысла; а так как dduτ = 0 , то в уравнениях (3.6.4), (3.6.6) первое слагаемое

равно нулю.

В уравнение (3.6.6) входят, кроме u и τ, еще величины F, r, c, α и Tc. Рассмотрим их возможные аппроксимации.

Масса сухого тела Мт в процессе сушки сохраняется постоянной. Процессы, сопровождающиеся химическими превращениями со значительным изменением массы тела, в настоящем разделе не рассматриваются. Тогда

Мт = ρнасV ;	(3.6.8)
ρнас = ρт(1 − П) ,	(3.6.9)

где ρнас и ρт – «насыпная» плотность и плотность «скелета» твердого сухого тела; П =Vсв /V – пористость тела; V и Vсв – общий объем тела и «сво-

бодный» объем пор.

Тепловоспринимающую поверхность тела F обычно также можно считать постоянной. При значительной усадке или при искусственной вытяжке материала изменение поверхности в процессе сушки можно учесть кусочно-ступенчатой или кусочно-линейной функцией влагосодержания тела по зонам.

Для «бесконечной» пластины или «бесконечного» цилиндра массу, объем и поверхность принимают для одного погонного метра.

Теплоту испарения r в пределах зоны приблизительно можно аппроксимировать линейной функцией температуры


r = rб +brT		.	(3.6.10)

Для ее получения по паровым таблицам находят два значения теплоты парообразования при температурах, равных температурам материала

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]