Методы и средства измерений и контроля. Учебное пособие для самостоятельной работы студентов направления подготовки 27.03.01 – Стандартизация и метрол

пеней передачи размера и др. Это обоснование должно проводиться с учетом следующего:

1)оптимальных соотношений погрешности поверяемого и образцового средства;

2)допускаемой вероятности признания годным метрологически неисправного средства измерений;

3)допускаемого отношения числа метрологически исправных, но забракованных средств измерений к общему числу метрологически исправных средств.

Далее в текстовой части приводятся разделы: эталонов, образцовых средств, рабочих средств. Каждый раздел начинается с их перечня, которые могут быть использованы как эталонные и образцовые. Указываются метрологические характеристики, доверительные вероятности при определении погрешностей. Приводятся наименования средств, которые могут быть поверены эталонами или образцами с указанием метода поверки и его погрешности.

Графическая часть поверочной схемы должна состоять из нескольких горизонтальных полей, соответствующих ступеням передачи размера единицы физической величины от государственного эталона к рабочим средствам. В левой части чертежа указывается наименование полей (эталоны, образцовые средства 1-го разряда, средства 2-го разряда и т. д., рабочие средства).

В верхнем поле чертежа поверочной схемы указываются наименования эталонов в порядке их соподчиненности. Под полем эталонов располагается поле образцовых средств 1-го разряда, 2-го разряда и т. д. Под полем образцового средства низшего разряда помещаются поля рабочих, слева направо в порядке убывания точности: наивысшей, высшей, высокой, средней и низшей точностей.

Наименования эталонов, образцовых и рабочих средств измерений заключают в прямоугольники с указанием номинальных значений или диапазонов измерений и погрешностей. Наименование методов поверки заключают в круги или горизонтальные овалы, которые располагаются между прямоугольниками с наименованием средств. Здесь же указывается допускаемая погрешность метода поверки.

Метрологические характеристики средств измерений в схемах должны быть представлены следующим образом.

Погрешностью образцовых средств измерений, которые выражены:

а) пределом допускаемой погрешности ( соответственно для абсолютной и относительной формы);

б) доверительной погрешностью (соответственно для абсолютной и относительной формы);

в) погрешностью рабочих СИ, которая выражается пределом допускаемой погрешности;

г) доверительной вероятностью, выбираемой из ряда: 0,90; 0,95; 0,99. Наименования средств измерений, их номинальные значения и диапазоны

значений физических величин, погрешности в поверочных схемах должны со-

21

ответствовать стандартам и техническим условиям. Методы поверки на схемах должны соответствовать одному из следующих общих методов:

1)непосредственное сличение (без средств сравнения);

2)сличение при помощи компаратора или других средств сравнения;

3)поверка СИ по образцовой мере путем измерения им величины, воспроизведенной мерой;

4)прямое измерение образцовым СИ величины воспроизводимой подвергаемой поверке мерой;

5)косвенное измерение величины воспроизводимой мерой или измеряемым прибором, которые подвергаются поверке.

В метрологической практике существует независимая (автономная) поверка, т. е. поверка без применения образцовых средств измерения. Эта поверка возникла при разработке особо точных средств измерений, которые не могут быть поверены традиционными методами ввиду отсутствия еще более точных средств с соответствующими пределами измерений.

Сущность метода заключается в сравнении величин, воспроизводимых отдельными элементами схемы поверяемого средства с величиной, выбранной

вкачестве опорной и конструктивно воспроизводимой в самом поверяемом средстве измерения.

Соотношение допускаемых погрешностей образцовых и поверяемых средств измерений устанавливается с учетом принятого метода поверки, характера погрешностей и других факторов. Обычно это соотношение принимается равным 1 : 3 при условии введения поправок на показания образцовых средств измерений. При отсутствии поправок исходят из соотношения 1 : 5.

5.Международная система единиц СИ

Историю метрических систем единиц измерений принято излагать начиная с 1790 г., когда Академия революционной Франции решила революционизировать национальную систему единиц длины – туаз-фут-дюйм-линия – и предложить ее в качестве международной. Однако идея разработки и принятия единой межгосударственной (глобальной) системы мер (на том этапе и уровне развития метрологии, именно мер, а не единиц) имела длительную предысторию.

Первые общегосударственные (частично даже межгосударственные) системы мер возникли очень давно. По традиционному счету интервалов времени (без учета новаций Фоменко и Ко) не менее четырех тысячелетий «тому назад», в Древнем Вавилоне (Халдее). Следующим «объектом» был Древний Египет. Системы мер обеих цивилизаций имели ряд одинаковых, даже одноименных, мер. Назову локоть и фут (дошедшие до наших дней). Для упомянутых выше цивилизаций, наличие единых систем мер было естественным и жизненно необходимым. Без этих систем (они включали также меры веса и объема) было невозможно управление государством, учет его доходов, определение размеров и сбор налогов, торговля, включая таможенные операции, вооружение и содержание армии и многое другое.

22

Опыт Вавилона и особенно Египта был воспринят и Древним республиканским и императорским Римом (в меньшей степени – Грецией, не являвшейся монолитным государством), во многом Россией и ее предшественницей – Киевской Русью. Трудно сказать, знали ли французские академики о древних системах мер. Археология в это время только зарождалась. Ж. Шампольон – первопроходец в деле чтения египетских иероглифов – родился именно в 1790 г. Так что, скорее всего, к этой идее они пришли независимо.

Сложнее обстояло дело в Европе XVI–XVIII веков. Каждое государство (а их было множество) имело свою монетную систему и систему мер, что становилось тормозом для торговли (включая таможенные сборы), развития ремесел и промышленности и т. п. В этой обстановке и стали рождаться идеи разработки единой, межгосударственной системы мер. Ее сторонниками и пропагандистами были многие видные ученые и промышленники. В их числе можно назвать Д. Уатта, еще в 1783 г. предложившего свой вариант будущей метрической системы, П. С. Лапласа, по настоянию которого метр был определен именно как часть земного меридиана.

Российские ученые и государственные деятели и в этом вопросе, хотя бы теоретически, оказались «впереди Европы всей». Речь идет о Комиссии об учреждении весов и мер, образованной еще в 1736 г. Комиссия весьма широко понимала объем своих работ. Первоначально она предполагала даже положить в основу русской системы мер некоторые физические постоянные (размеры градуса земного меридиана и вес чистой воды или золота). Она обсуждала также вопрос об использовании десятичного принципа для соотношений между дольными и кратными единицами. Таким образом, Комиссия до некоторой степени пыталась решить те вопросы, которые в дальнейшем были решены создателями метрической системы мер во Франции. Однако осуществление столь грандиозного плана наталкивалось в России того времени на слишком крупные препятствия, и потому он не был проведен в жизнь.

Французские академики считали, что новая система мер должна быть основана на неизменном прототипе, взятом из природы, с тем, чтобы ее могли применять все нации.

Можно привести лишь несколько соображений, свидетельствующих о том, что эта мысль, как принято говорить, «висела в воздухе».

1. Древняя единица для измерения больших расстояний – стадий (стадия). Она (или он) равнялась пути, проходимому специально натренированным жрецом за время выката Солнца над горизонтом в дни равноденствия, на широте Вавилона, близкое к двум минутам. Наиболее достоверный размер стадия – 185 метров. Единица соединяла независящее от человека объективно существующее астрономическое явление с субъективной длиной человеческого шага. И оказалось: если в определении стадия скорость жреца заменить скоростью света в вакууме, 299 792 458 м/с, а вместо времени выката Солнца взять 1/299 792 458 долю секунды, мы получим современное определение метра.

2. Морская миля – 1 852 метра. Одна угловая минута длины земного меридиана. Появилась, возможно, с появлением картографической проекции

23

Меркатора (1512–1594 гг.). Мера весьма древняя. Очень удобна для целей навигации и прямо связана с размером Земли не хуже, чем метр.

3. Старинное французское лье, одна двадцать пятая часть углового градуса земного меридиана, составляло около 4,44 километра. Та же идея образования, что и у морской мили; и после принятия метрической системы французы поспешили заменить старофранцузское лье метрическим, равным 4 км. Кстати, Жюль Верн, горячий сторонник метрической системы, в своем знаменитом романе «20 000 лье под водой» имел в виду именно метрическое лье. Существование морской мили и лье свидетельствует о том, что размер Земли был известен с достаточной точностью задолго до 1700 года.

Так что идея определения размера метра как доли длины земного меридиана ничем не хуже и не лучше идей определений морской мили и старофранцузского лье. Вся разница в точности эксперимента по определению значения метра. Французские академики видели свое будущее детище в виде системы мер (еще не системы единиц), базирующейся на одну единственную эталонную меру – метр. Мера массы – килограмм – определялась тоже через метр, точнее через его долю – дециметр.

5.1. Меры и единицы измерений

Настала пора внести ясность во взаимоотношения этих понятий. Метрология начиналась с мер. Это простая истина подтверждается всеми историческими памятниками (овеществленными и письменными), связанными с ее историей. Вавилонская (Халдейская) система была системой метрических мер. Она опиралась на вещественные, рукотворные, конкретные меры длины, веса (массы) и объема. Такой же была и Древнеегипетская система и все позднейшие системы мер. Конкретное (а не абстрактное) мышление, по-видимому, было свойственно человечеству на ранних ступенях его развития.

По мере развития человеческого общества и метрологии, в частности, конкретное понятие о мере постепенно дополнялось (и во многих случаях заменялось) абстрактным понятием «единица измерений», совсем не обязательно жестко связанным с конкретной мерой.

Долгое время конкретными, предметными, были не только системы, но и различные указы, постановления и другие распоряжения императоров, князей, правительств.

Вот несколько примеров из истории отечественной метрологии. «Мерам и весам быть равными; хлебные меры делать с железными обручами…» (Указ царя Алексея Михайловича, 1649 г.); «В Адмиралтействе иметь весы правдивые… а также меры медные и аршины, с обеих концов заклейменные…» (Указ царя Петра I от 10 декабря 1722 г.); «Об учреждении при Санкт-Петербургском Монетном дворе собрания образцовых мер и весов главнейших иностранных государств» (Высочайше утвержденная записка министра финансов от 13 декабря 1829 г.); «О системе Российских мер и весов» (Именной указ Сенату от

11 октября 1835 г.).

24

Итем не менее если рассмотреть старинные системы мер подробнее, то и

вних можно обнаружить «меры без мер». Во все времена существовали меры фута, локтя (локтей), весового таланта. Но нигде, например, не попадаются сведения о существовании меры стадия (мерной веревки или цепи, длиной около 185 метров). Судя по египетским иероглифам, самая длинная мерная веревка содержала сто локтей (около 50 метров). Об отсутствии меры, равной стадию, косвенно свидетельствует и большой разброс его значений, примерно от 155 до 210 метров, употреблявшихся в одно и то же время. А, казалось бы, такая мера должна была быть, поскольку размер стадия определялся через время и скорость, вне всякой связи с локтем и не содержал целое число локтей.

В довольно широком ассортименте изготовлялись и использовались меры объема. А вот с мерами площади дело обстояло совсем по-другому. Их, повидимому, не было совсем, так сказать «по ненадобности».

Старинные русские меры фут, аршин, сажень не материализовывали в виде размера версты. Существовал ряд мер массы (веса): золотника, фунта (гривны), пуда. Наибольшая из известных эталонных гирь имела, если судить по имеющимся в Государственном Эрмитаже и музее ВНИИМ им. Д. И. Менделеева наборах гирь, массу, равную двум пудам. Гири массой в берковец (163,8 кг), и тем более в ласт (около 1179 кг), по-видимому, никогда не изготовлялись. Имелся целый набор мер объема от бутылки до ведра (12,299 04 л) и до бочки, равной 40 ведрам.

Единицы площади мер не имели и в русской системе. Хотя в сознании создателей системы эти меры, безусловно, «витали». Очень показательна в этом смысле история десятины. Вплоть до конца XVII века под десятиной понимали не просто меру площади земли, а ее участок вполне определенной формы: 50´50 и 40´80 саженей в XIV–XVI веках и 30´80 саженей в XVII веке. То есть мыслилась некая виртуальная мера в виде гигантского полотнища указанных выше размеров. И лишь в XIX веке под десятиной стали понимать просто участок земли любой формы, площадью 2400 (или 3200) квадратных саженей. Единица окончательно абстрагировалась от меры.

Достаточно показательна в этом плане и история метрических систем. Метрические системы 1791 и 1875 гг. – это, без всякого сомнения, еще системы мер, мер метра и килограмма. Очень интересны в этом плане системы: Гаусса (миллиметр, миллиграмм, секунда) и СГС (сантиметр, грамм, секунда). Эти системы спокойно продолжали опираться в конечном счете на меры совсем другой системы – метра и килограмма.

В процессе дальнейшего расширения метрических систем, приведшего к формированию современной международной системы единиц – СИ, они «обрастали» большой совокупностью производных единиц измерений. Именно единиц, а не мер, поскольку для многих таких единиц нельзя разработать и выполнить меры. Да и основные единицы СИ не все и не всегда опираются на меры. Так, например, не существует мера кельвина. Никто никогда не создавал меру ампера, хотя представить себе ее можно.

25

Итак, по мере развития метрологии в дополнение к понятию «мера» появилось абстрагированное от материального воплощения понятие «единица измерений», а на смену обозначения «система мер» – «система единиц измерений».

5.2. Принятие метрической системы

На пороге XIX в. произошло знаменательное в истории метрологии событие: декретом французского революционного правительства от 10 декабря 1799 г. была легализована и введена во Франции в качестве обязательной метрическая система мер, предназначенная по мысли ее творцов на все времена, для всех народов (á tous les temps, pour tous les peuples). Однако, несмотря на свои круп-

ные преимущества, эта система не сразу была внедрена даже во Франции. Наполеон Бонапарт декретом от 12 февраля 1812 г. связал метр с туазом и

тем нарушил десятичный принцип деления. В 30-х годах во Франции фактически применялись две системы мер: основанная на туазе и основанная на метре. «Во Франции, – писал Э. Э. Ленц в 1839 г., – приняты две меры: парижский фут…, 6 футов составляют туаз (toise); метр (métre)».

Лишь законом от 4 июля 1837 г. метрическая система мер в ее первоначальном виде была объявлена обязательной для употребления во Франции с 1 января 1840 г. Только после этого распространение системы за пределы Франции стало сколько-нибудь реальным.

По результатам выполненных измерений размера, дуги меридиана от Дюнкерка до Барселоны был определен размер метра – 0,513 074 туаза и выполнена из кованой платины (плавить ее еще не умели) концевая мера – линейка длиной между торцами 1 м и сечением 25´4 мм, так называемый «архивный метр», поскольку этот эталон был отправлен на хранение в архив Французской республики. Одновременно был изготовлен и эталон килограмма – «архивный килограмм», гиря тоже из платины.

Метровая линейка не была чисто концевой мерой. По одному ее краю были нанесены деления через 1 дм. Очевидно потому, что определение килограмма было связано именно с дециметром. На лицевой поверхности линейки было выгравировано (на французском языке) слово «метр» и девиз «на все времена, для всех народов». Архивный килограмм повторял по форме обычную торговую гирю и был снабжен довольно примитивным футляром.

Кроме того, был изготовлен и, очевидно, тоже передан в архив специальный сосуд объемом 1 дм3. Ни в одной книге по метрологии на русском языке он не упоминается. Нужно сказать, что метр оказался юридически и практически удачной мерой. Во-первых, он был по происхождению «ничей», не задевал национальные традиции и амбиции ни одного государства. Во-вторых, он был удачно соразмерен с человеком и не слишком отличался от ярда, аршина и половины туаза.

26

5.3. Развитие метрологической системы

Принятая метрическая система служила около сорока лет. Она закончилась в 1837 г., когда знаменитый астроном, математик и метролог Ф. Бессель повторил измерение длины четверти парижского меридиана и установил, что она равна не 10 000 000, а 10 000 856 м. Метр оказался короче метра 1799 г. почти на 0,1 мм. Это очень много для точных линейных измерений. Последующие измерения продолжали всякий раз давать разные результаты.

В конце концов, в 1872 г. международная комиссия, созванная по инициативе Петербургской академии наук, приняла вынужденное, но единственно возможное решение: отныне метр не связан с длиной земного меридиана, а просто равен архивному метру, концевой мере из платины, изготовленной еще в 1799 г.

Чтобы оценить всю нетривиальность принятого решения, вспомним еще раз формулировку основных принципов, которым должна была соответствовать метрическая система. Она должна была быть «основанной на неизменном прототипе, взятом из природы, с тем, чтобы ее могли применять все нации». Решение 1872 г. означало отказ от прототипа (эталона), взятого из природы, и замену его «рукотворным» изделием.

Около 1870 г. метрологи убедились, что каждое новое определение размера килограмма, как массы 1 дм3 воды при температуре ее максимальной плотности, тоже дает разный результат. Традиционный путь – ужесточение условий измерений, учет все новых и новых источников погрешности, явно вел в тупик (а ведь в то время еще не подозревали, например, о том, что «разная» вода имеет разный изотопный состав). Опять потребовалось нестандартное решение.

В том же самом 1872 г., той же самой международной комиссией было принято новое определение: килограмм стал просто равен массе архивного килограмма (гири, изготовленной еще в 1799 г.) и потерял связь с метром. Пришлось отказаться от второго основного принципа, сформулированного в 1791 г., построения системы единиц, с опорой на один прототип, на одну единственную основную единицу – метр. Теперь их оказалось две. И от основной идеи творцов метрической системы не осталось ровным счетом ничего.

20 мая 1875 г. представителями 17 промышленно развитых государств, включая Россию, был подписан «Дипломатический документ метрической конференции», или как его называют в настоящее время «Метрической конвенцией», поскольку в его преамбуле сказано, что полномочные представители ряда стран, «…желая обеспечить международную унификацию и усовершенствование метрической системы», решили для этого заключить Конвенцию.

Развитие метрологии с подписанием метрической конвенции не только не стабилизировалось, а даже ускорилось. Сначала Ф. Гаусс предложил еще в 1832 г. свою абсолютную систему, и появилась третья основная единица – секунда. Появление ее не вызвало, по-видимому, каких-либо потрясений.

Во-первых, ее наличие подразумевалось. Это следует хотя бы из того, что одним из претендентов на роль метра был секундный маятник, точнее его длина. Существовала хорошо налаженная астрономическая служба единого време-

27

ни. Такие величины, как скорость, ускорение, число оборотов, измерялись достаточно квалифицированно. «Внесистемность» секунды никого не беспокоила.

Во-вторых, после того, как пришлось отказаться от построения системы с опорой на одну единственную основную единицу, увеличение их числа уже не было принципиальным.

После этого начался период разработки различных систем, уже не мер, а единиц измерений.

Первой появилась уже упомянутая, «абсолютная система единиц» Гаусса с основными единицами: миллиметр, миллиграмм, секунда. Затем процесс «системотворчества» как бы разделился на два практически независимых потока. По терминологии Пригожина, метрология миновала точку бифуркации – планомерно расширялась и совершенствовалась метрическая система, постепенно превращаясь из системы мер в систему единиц измерений.

Первыми в 1901 г. были приняты системы МКС и МКСА; затем системы МСК (МКСКД, МКСЛМ). Одной из последних, в 1919 г. – МТС. Существовала еще (только для механических величин) МКГСС. Наконец, в 1948 г. Международный союз чистой и прикладной физики – МСЧиПФ выступил с предложением о разработке единой международной системы единиц измерений. Эта система, ныне известная всем СИ, была принята в 1960 г. на XI ГКМВ.

Все было бы правильно и логично. Но второй, параллельный, поток ознаменовался разработкой и принятием обширного семейства систем СГС. Интересно, что эти события происходили «по горячим следам» метрической конвенции. Эти системы были разработаны в 1862–1870 годах Комитетом по электрическим эталонам Британской ассоциации для развития наук и приняты Первым международным конгрессом электриков (Париж, 1881 г.) всего через два года после рассылки по всему миру прототипов (эталонов) метра и килограмма.

И наконец, в 1960 г. на Всемирном конгрессе 159 стран подписали международную конвекцию, регламентирующую использовать единую метрическую систему единиц СИ (SI).

5.4. Методы измерения масс

Диапазон масс материальных тел огромен – от 9.1 · 10-31 кг (масса электрона) до 1030 кг (масса Солнца). Оцениваются даже массы галактик. Для определения массы различных материальных объектов применяют различные методы. Масса – физическая величина, входит в два несвязанных основных закона: 2-й закон Ньютона и закон гравитации. Масса – мера инертности, свойство тела реагировать на попытку воздействия силы F, под действием которой эта масса приобретает ускорение a и определяется вторым законом Ньютона:

Инерционную массу можно определить с помощью закона сохранения импульса. Так в свое время Резерфорд определил массу ядра атома мишени.

Масса гравитационная – это мера гравитационного взаимодействия. Тело гравитационной массы m притягивается тело к Земле с силой, определяемой за-

28

коном всемирного тяготения. Так как гравитационная масса и инертная массы практически совпадают, то инерционную массу можно определять как гравитационную массу, т. е. путем взвешивания. Как следствие, существует множество способов определения массы:

Измерение веса. Так как в данной точке Земли ускорение свободного падения g = const., то взвешивание можно производить путем сравнивания с эталоном. Метод используется для макроскопических объектов.

Гравитационные методы измерения масс. Взвешиванием называют метод измерения массы тела с использованием эффекта гравитационных сил, действующих на тело. Его взвешивают на весах, которые разделяют на группы: рычажные, пружинные, электронно-механические и т. д. На пружинных и прочих весах определяют силу тяжести взвешиваемого груза, по которой судят о его массе.

Метод сравнение масс. Наиболее распространены рычажные весы, их действие основано на законе равновесия рычага. Один из основных элементов рычажных весов – рычаг. Твердое тело, способное под действием внешних сил, приложенных к нему в одной плоскости, поворачиваться на произвольный угол, называют рычагом. Рычагом первого рода называют рычаг, у которого линии действия приложенных к нему сил, проходят по обеим сторонам от точки опоры.

Примером весов, в которых используют рычаги первого рода, могут быть коромысловые весы (рис. 5.1а). Рычагом второго рода называют рычаг, в котором линии действия всех приложенных к нему сил проходят с одной стороны от точки опоры (рис. 5.1б).

Рис. 5.1а Рис. 5.1б

Частным случаем состояния, в котором может находиться рычаг, будет состояние покоя, или равновесия. Рычаг находится в равновесии тогда, когда сумма моментов всех приложенных сил относительно точки опоры равна нулю.

Многие рычажные весы, например, торговые, автомобильные, порционные и другие, представляют собой комбинацию рычагов 1-го и 2-го родов. Опорами рычагов служат обычно призмы и подушки из специальных сталей или твёрдого камня (агат, корунд).

Метод противодействующей силы. Если тело находится в покое, то его вес G согласно третьему закону Ньютона уравновешивается силой реакции N:

29

Вслучае твердых тел в качестве этой силы N выступает сила упругости. Для пружины сила упругости в соответствии с законом Гука пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и коэффициенту упругости.

Впреобразователях силы чаще всего используются динамометры с промежуточным преобразованием силы в перемещение. В пружинных динамометрах измеряемая сила уравновешивается силой упругости пружины, которая пропорциональна удлинению пружины. Регистрируя величину удлинения пружины, определяют измеряемую силу. Если такой силой является вес тела, то можно определить его массу. Малые деформации усиливаются и фиксируются

спомощью редукторных или рычажных преобразователей, гидравлических устройств или преобразуются в электрические величины.

Таким образом, метод противодействующей силы одинаково применим как для измерения массы, так и измерения силы, при этом происходит преобразование измеряемой механической величины в перемещение, которое и является мерой этой физической величины.

5.5.Методы определения массы небесных тел

Воснове определения масс небесных тел лежит закон всемирного тяготе-

ния:

где F – сила взаимного притяжения масс, пропорциональная их произведению и обратно пропорциональная квадрату расстояния r между их центрами. В астрономии часто (но не всегда) можно пренебречь размерами самих небесных тел по сравнению с разделяющими их расстояниями, отличием их формы от точной сферы и уподоблять небесные тела материальным точкам, в которых сосредоточена вся их масса.

Коэффициент пропорциональности G = 6.67 · 10-11 Нм2/кг2 называют гравитационной постоянной или постоянной тяготения. Её находят из физического эксперимента с крутильными весами, позволяющими определить силу гравитационного взаимодействия тел известной массы.

В случае свободного падения тел сила F, действующая на тело, равна произведению массы тела m на ускорение свободного падения g. Ускорение g может быть определено, на пример, по периоду Т колебаний математического маятника.

Таким путём была определена масса Земли. Определение массы Земли являлось первым звеном в цепи определений масс других небесных тел (Солнца, Луны, планет, а затем и звёзд). Массы этих тел находят, опираясь либо на 3-й закон Кеплера (см. Кеплера законы), либо на правило: расстояния какихлибо масс от общего центра масс обратно пропорциональны самим массам. Это правило позволяет определить массу Луны. Из измерений точных координат планет и Солнца найдено, что Земля и Луна с периодом в один месяц движутся

30