Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Исследование затухающих колебаний в электрическом контуре. Методические указания к лабораторной работе

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

692 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Министерство образования и науки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет»

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

Методические указания к лабораторной работе

Казань Издательство КНИТУ

2014

- 1 -

УДК 53(075.8)

Составители: доц. В.П. Архипов доц. Р.Х. Зиятдинов проф. Е.С. Нефедьев доц. А.В. Репина асс. Т.Ю. Старостина

Исследование затухающих колебаний в электрическом контуре : методические указания к лабораторной работе / сост. : В.П. Архипов [и др.]; М-во образ. и науки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2014. – 20 с.

Даны представления о затухающих колебательных процессах и рассмотрено измерение характеристик электрического колебательного контура в режиме затухающих колебаний.

Предназначены для студентов I и II курсов всех специальностей механического и технологического профиля, изучающих дисциплину «Физика».

Подготовлены на кафедре физики.

Печатаются по решению методической комиссии по циклу физико-математических дисциплин

Рецензенты: доц. А.Ш. Мухтаров

доц. Н.П. Петухов

- 2 -

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 243

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

Цель работы: ознакомление с теорией затухающих колебаний; изучение закономерностей этих процессов и экспериментальное определение периода и характеристик затухания в электрическом колебательном контуре с помощью электронного осциллографа.

Приборы и принадлежности: кассета с электрическим колебательным контуром ФПЭ-10, генератор сигналов низкочастотный ГЗ-112/1, преобразователь импульсов ПИ (ФПЭ-09), электронный осциллограф С1-117/1, магазин сопротивлений МС, источник питания ИП, кабели и соединительные провода.

1.ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

Вреальных колебательных системах кроме квазиупругих сил присутствуют силы сопротивления среды. Наличие сил сопротивления среды приводит к рассеянию (диссипации) энергии. Вследствие этого уменьшается амплитуда свободных колебаний во времени. Колебания

снепрерывно уменьшающейся амплитудой называются затухающими. Рассмотрим закономерности затухающих механических

колебаний на примере линейного гармонического осциллятора - пружинного маятника, совершающего колебания вдоль оси Х. При малых скоростях движения маятника сила сопротивления среды прямо пропорциональна скорости движения и направлена против движения:

Fтр rv,

(1)

где r – коэффициент сопротивления, v– скорость движения маятника. Сила упругости F, действующая на маятник, пропорциональна его отклонению х от положения равновесия:

F kx ,

(2)

где k – коэффициент упругости.

Уравнение динамики (II закон Ньютона) движения маятника:

ma kx rv,

(3)

где m – масса маятника.

- 3 -

После преобразований

	dx		a	dv	d2x
v		;
				dt	dt	2
	dt

уравнение (3) приобретает стандартный вид дифференциального уравнения второго порядка:

d2x	r	dx	k	x 0.	(4)
dt2
	m dt		m

При отсутствии сил трения (r =0) маятник будет совершать свободные (гармонические) колебания. Собственная циклическая частота свободных колебаний маятника ω0 будет зависеть от соотношения коэффициента упругости и массы маятника:

ω0	k	.	(5)

	m

Введем понятие - коэффициент затухания - β.

Коэффициент затухания прямо пропорционален коэффициенту трения:

β	r	.	(6)

	2m

С учетом формул (5, 6) запишем дифференциальное уравнение затухающих колебаний (4) в виде:

d2x		dx		2	x 0 .
	2β		ω0
dt2
		dt

Решением дифференциального уравнения (7) является функция: x A0 e β t cos ωt ,

где А0 – начальная амплитуда затухающих колебаний.

В отличие от незатухающих колебаний х A cos ωt амплитуда затухающих колебаний убывает с течением времени:

(7)

(8)

A A0 e βt .

(9)

Частота затухающих колебаний связана с собственной частотой свободных колебаний ω0 и коэффициентом затухания β:

ω02 β2 .

(10)

Период затухающих колебаний:

- 4 -

T	2π	2π	.	(11)

ω ω02 β2

Из формул (10, 11) видно, что частота затухающих колебаний меньше частоты свободных колебаний, а период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний. Разница частот и периодов зависит от величины коэффициента затухания. Следует заметить, что в процессе затухания частота и период затухающих колебаний не изменяются.

График затухающих колебаний представлен на рис.1:

A(t)

A(t+T)

Рис.1. Затухающие колебания

В качестве количественной характеристики процесса затухания возьмем отношение двух амплитуд (рис.1) в моменты времени t и t +T:

A t	A0e βt		βT	D .	(12)
		e
A t T	A0e β t T

Отношение двух последующих (разделенных интервалом временем равным периоду) амплитуд колебаний называется декрементом затухания. Декремент затухания D характеризует быстроту затухания колебаний и показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное одному периоду.

Натуральный логарифм отношения (12)

A t
λ ln A t T	lnD βT	(13)

называется логарифмическим декрементом затухания.

Для определения физического смысла коэффициента затухания и логарифмического декремента затухания приравняем отношение двух амплитуд колебаний числу е (е – основание натуральных логарифмов) и прологарифмируем полученное выражение:

- 5 -

A t		e	βτ	e		βτ 1		β	1	.	(14)
A t τ									τ

Из формулы (14) вытекает физический смысл коэффициента затухания: коэффициент затухания обратно пропорционален времени τ, в течение которого амплитуда колебания уменьшается в 2,72 раза,


(т.е., в е раз). Это время называется						временем релаксации
колебательной системы.
За время, равное времени релаксации τ, в колебательной
системе произойдет N колебаний,
N		τ	.			(15)

	Т
С учетом формул (13) и (14) получим:
λ βT		T		1	.	(16)

		τ N

Следовательно, логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний N, после которых амплитуда уменьшается в 2,72 раза.

Для определения скорости уменьшения энергии колебательной системы применяется понятие добротность. Добротностью Q колебательной системы называется величина, пропорциональная

отношению полной энергии Е(t) колебательной системы к энергии					Е,
теряемой за период Т:			E t
Q 2π	E t	2π
				.	(17)
	E t E t T		E

Полная энергия механической колебательной системы в произвольный момент времени имеет вид:

1	2		2
Е	mA	ω		.	(18)

2

Тогда, с учетом формул (17), (18) можно получить выражение для добротности в виде:

	At2
Q	At2 A2t T .	(19)

Добротность колебательных систем может сильно различаться. Например, добротность физического маятника ~ 102, а добротность атома, который тоже является колебательной системой, достигает ~ 108.

- 6 -

Следует отметить, что в системах с низкой добротностью с ростом коэффициента затухания может возникать так называемое критическое затухание. Например, при коэффициенте затухания β = ω0 в соответствии с формулой (10) период становится бесконечным Т = ∞ (критическое затухание). При дальнейшем увеличении коэффициента затухания период становится мнимым, а затухание происходит без колебаний, как говорят, апериодически. Критическое затухание происходит за минимальное время и имеет важное значение в измерительных приборах, например, в баллистических гальванометрах.

2. ЗАТУХАЮЩИЕКОЛЕБАНИЯВЭЛЕКТРИЧЕСКОМКОНТУРЕ

Схема электрического колебательного контура представлена на рис.2. Если зарядить конденсатор С от батареи Б до напряжения U, то в пространстве между пластинами конденсатора возникает электрическое поле с энергией

W	CU2
		(20)
	2

Рис.2. Электрический колебательный контур

Для начала будем предполагать, что активное сопротивление контура R равно нулю. Если с помощью переключателя К замкнуть конденсатор в цепь с катушкой индуктивности, то он будет разряжаться и его электрическое поле будет уменьшаться. При этом в контуре возникает электрический ток разряда конденсатора и в катушке индуктивности L появляется магнитное поле. Через некоторое время, равное четверти периода колебания, конденсатор разрядится полностью, электрическое поле исчезнет. Магнитное поле катушки при этом достигнет максимума. Энергия электрического поля

- 7 -

конденсатора превратится в энергию магнитного поля катушки индуктивности:

W	LI0	2	,	(21)

2

где I0 – максимальное значение тока в контуре.

Вследующую четверть периода величина магнитного потока будет уменьшаться, так как нет поддерживающих его токов. Это исчезающее поле вызывает ток самоиндукции. Последний, в соответствии с правилом Ленца, будет стремиться поддерживать ток разряда конденсатора и будет, следовательно, направлен в том же направлении. Таким образом, конденсатор будет перезаряжаться, и между его обкладками появится электрическое поле противоположного направления. Через время, равное половине периода колебания, магнитное поле исчезнет, а электрическое поле достигнет максимума, энергия магнитного поля вновь превратится в энергию электрического поля. В дальнейшем конденсатор будет снова разряжаться, и в контуре возникнет ток, направленный противоположно току в первой стадии процесса. Через время, равное

¾периода колебания, конденсатор вновь окажется разряженным, а энергия электрического поля снова превратится в энергию магнитного поля, и т.д. Через промежуток времени, равный полному периоду колебаний Т, электрическое состояние контура будет таким же, как в начале колебания.

Вреальности проводники контура всегда обладают активным электрическим сопротивлением, поэтому часть энергии в процессе колебания расходуется на нагревание проводников, превращаясь в тепловую энергию. Таким образом, амплитуда электромагнитных колебаний в контуре постепенно уменьшается, и в нем происходят затухающие колебания (рис.3).

- 8 -

00 Хt

Рис.3. График затухающих колебаний тока в электрическом контуре

При достаточно большом сопротивлении контура или малой индуктивности колебания в нем вообще не возникают, и происходит так называемый апериодический разряд конденсатора в режиме критического затухания (рис.4).

U I

Рис. 4. Апериодические процессы в электрическом контуре (режим критического затухания колебаний)

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В КОНТУРЕ

В электрических цепях колебания затухают из-за наличия омических сопротивлений в элементах цепи. Для анализа затухающих электрических колебаний рассмотрим эквивалентную схему контура

(рис.5).

- 9 -

	C
+		–




I			R
I			R
	L
	L

Рис.5. Эквивалентная схема электрического колебательного контура

Электрический ток I в контуре существует благодаря кулоновским силам заряженного конденсатора С и сторонним силам, возникающим в катушке индуктивности L. В некоторый момент времени конденсатор имеет заряд q , а напряжение между его пластинами равно U. При разряде конденсатора в катушке возникает э.д.с. самоиндукции εL , пропорциональная скорости изменения тока:

εL	L	dI	.	(22)

		dt

Согласно закону Ома ток в цепи:

	U εL	U L	dI
I			dt	,	(23)

	R	R

Преобразуем уравнение (23) к уравнению одной переменной, а именно, напряжения U на обкладках конденсатора.

Ток в цепи равен убыли заряда q на конденсаторе:


I		dq		.			(24)

		dt
Заряд конденсатора равен:
q CU ,							(25)
Следовательно:
I C			dU		,		(26)

			dt
ε LC	d2U					.	(27)

		dt2

Подставив формулы (26), (27) в формулу (23), получим: - 10 -

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]