Алгебраические системы. Кольца и поля. Учебно-методическое пособие

указанным ниже формулами приведем подобные члены:

x+y i+z j+u k=(x1 x2-y1 y2-z1 z2-u1 u2)+ +(x1 y2+y1 x2+z1 u2-u1 z2) i+

+(x1 z2-y1 u2+z1 x2+u1 y2) j+(x1 u2+y1 z2-z1 y2+u1 x2) k.

Окончательно получаем формулы умножения x=x1 x2-y1 y2-z1 z2-u1 u2, y=x1 y2+y1 x2+z1 u2-u1 z2, z=x1 z2-y1 u2+z1 x2+u1 y2, u=x1 u2+ y1 z2-z1 y2+u1 x2.

ицей не имеет решений (см. ниже задачу 13). Задача 8. В аксиомах кольца не предъявляется

почти никаких требований к умножению (кроме дистрибутивности). В частности, ничего не говорится о нейтральном элементе по умножению, который естественно назвать единицей. Построить пример кольца, в котором существуют односторонние единицы.

принадлежат некоторому кольцу с мультипликативной единицей (то, что это множество матриц является кольцом, докажите самостоятельно).

единицами. Правых единиц в этом кольце нет (см. ниже задачу 12). В задаче выше доказано, что если

31

существуют как левые, так и правые единицы, то они совпадают. Такая двухсторонняя единица единственна.

Задача 9. Доказать, что в кольце, о котором идет речь в задаче 8, нет правых единиц.

Решение. Допустим, что правая единица имеется,

a

универсальной, т.е. не должна зависеть от a и b . Делаем вывод: правых единиц в этом кольце не существует.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Докажите мультипликативные свойства нуля в произвольном кольце, правило знаков и дистрибутивность при вычитании.

Задача 2. Докажите, что в кольце целых чисел Z любое подкольцо имеет вид nZ, т.е. состоит из чисел, кратных некоторому натуральному п.

Указание. Воспользуйтесь тем, что аддитивная группа кольца Z - циклическая.

Задача 3. Докажите, что кольцо целых чисел Z не изоморфно его подкольцу nZ при n≠1.

Указание. Аддитивные группы этих колец изоморфны, причем биекция φ : Z →n Z определяется однозначно. Проблемы возникают с умножением ...

Задача 4. Докажите, что вырожденные матрицы

32

(и только они) являются делителями нуля в кольце матриц Fnxn.

Указание. Вспомните, что такое присоединенная матрица и чему равно ее произведение на данную матрицу.

Задача 5. Найдите делители нуля в кольце дуальных

={a+ √2b+ √3c+ √6d | a,b,c,d Q} найдите x-1 для числа x = √2+ √3.

Задача 8. Проверьте, что √2+ √3 является корнем многочлена x4 - 10x2 + 1. Какие еще корни имеет этот многочлен?

Задача 9. Докажите свойства сопряженных кватернионов.

Задача 10. Докажите свойства нормы кватернионов. Задача 11. Докажите, что при любых b,c,d R, для

которых b2+c2+d2=1, чистый кватернион x=b i+c j+d k является корнем многочлена x2 +1.

Задача 12. Докажите, что для двух чистых кватернионов v1=y1 i+z1 j+u1 k, и v2=y2 i+z2 j+u2 k

выражение − 12 (v1 v2+v2 v1) является вещественным

числом и представляет скалярное произведение соответствующих им векторов.

33

Указание. Используйте выражения для v1 v2 и v2 v1 из задачи 8 выше.

Задача 13. Покажите, что система уравнений

{ 1 + 2 = 1,1 − 1 2 =

в теле кватернионов не имеет решений. Указание. Повторите с необходимыми

изменениями вычисления методом Гаусса и получите систему, в которой одно из уравнений имеет вид

0 x1 + 0 x2 = q ≠ 0.

Задача 14. Является ли полем кольцо конечных десятичных дробей Z[101 ]?

Матричные представления колец и полей

Для многих колец и полей можно построить изоморфную систему, элементами которой являются матрицы определенного вида. Операции в этой системе - обычное сложение и умножение матриц. Такой подход позволяет взглянуть на те же кольца или поля с другой стороны. Этим способом автоматически обосновывается ассоциативность умножения, которая заранее может быть неочевидной, например, для кватернионов, умножение которых находится в опасном родстве с не ассоциативным векторным умножением.

Решение задач Задача 1. Построить изоморфное отображение поля

комплексных чисел С в кольцо матриц R2X2.

34

Решение. Пусть комплексному числу z = x+i y соответствует некоторая матрица φ(z) = Z R2X2, ее элементы должны выражаться через x и у , сложение и умножение таких матриц должно соответствовать сложению и умножению комплексных чисел. Матрицу Z построим постепенно. Сначала положим, что ее

x y

первая строка состоит из чисел x и у , т.е. Z=[ ], т.е.

Z11=x=Re(z), Z12=y=Im(z). Заполнение второй строки пока не определено.

Возьмем два комплексных числа z1=x1+i y1 и2= 2+i y2, им соответствуют матрицы

должен равняться -y2. Элемент Z12=y=x1 y2+y1 y2, от-

аналогично, матрица, представляющая произвольное

при таком соответствии сохраняется - на этом и был построен изоморфизм. Сохранение операции сложения очевидно.

35

Замечание 1. det(Z) = x2 +y2 , поэтому любая ненулевая матрица данного вида невырождена, для нее существует обратная матрица. Эти матрицы образуют поле, хотя произвольные матрицы поля не образуют (имеются делители нуля, умножение не коммутативно). Замечание 2. Знак «минус» перед y в выражении элемента Z21 - не что иное, как i2 = -1. Это замечание поможет решить задачи 1-3.

Замечание 3. Другой (по форме) способ матричного представления поля комплексных чисел - начать с двух

что I2= -E. Затем рассмотреть алгебру R[E, I ] (т.е. кольцо матриц вида x E+v I).

Задача 2. Построить отображение тела кватернионов q=x+i y+j z+k u в кольце матриц R4x4. Решение. Двум кватернионам q1=x1+i y1+j z1+k u1, q2=x2+i y2+j z2+k u2, соответствуют матрицы

матрица Q ( 1 ) должна быть устроена аналогично, матрица, представляющая произвольный кватернион q=x+i y+j z+k u, имеет вид

Теперь проблема ассоциативности умножения кватернионов решена.

Задачи для самостоятельного решения

Указание к задачам 1-3. Воспользуйтесь подходом задачи 1 (смотри выше).

Задача 1. Постройте изоморфное отображение в кольцо матриц Q2x2 поля Q[√2]={x+√2y|x,y Q}.

Задача 2. Постройте изоморфное отображение в кольцо матриц R2X2 кольца двойных чисел

R[ω]={x+ω y | x,y R, ω2 =1}.

Задача 3. Постройте изоморфное отображение в кольцо матриц R2x2 кольца дуальных чисел

R[σ]={x+σ y | x,y R, σ2=0}.

Задача 4. Существует представление тела

кватернионов матрицами из C2X2 вида [−̅ ̅], α,β C.

Сопоставьте умножение таких матриц с умножением кватернионов. Опишите отображение (изоморфизм): какая комплексная матрица соответствует кватерниону q=x+i y+j z+k u?

37

Задача 5. Какие из множеств матриц 2-го порядка являются кольцами относительно сложения и умножения матриц? Какие из них являются подкольцами других? Какие из них являются полями?

1){(− ) | , , 2 + 2 > 0} ;

2){( −2 ) | , , 2 + 2 > 0} ;

3){( 2 ) | , , 2 + 2 > 0} ;

4){( 2 ) | , , 2 + 2 > 0}.

Факторизация колец

Пусть задано кольцо R и его подкольцо I. При определенных условиях можно построить новое кольцо, которое называется факторкольцом R по I и обозначается R/I. Главной операцией в кольце является сложение и смежные классы, являющиеся элементами факторкольца, мы будем строить именно с помощью операции сложения. Поскольку сложение заведомо коммутативно, у нас не возникнет (как в некоммутативных группах) проблема корректности определения операции сложения классов. Однако, желая построить не просто аддитивную факторгруппу, но факторкольцо, где кроме сложения, есть умножение, мы должны побеспокоиться о мультипликативных свойствах подкольца I.

Конкретно речь идет о следующих свойствах.

38

Подкольцо I называется

левым идеалом, если

I R I (т.е. i I, a R i a I),

правым идеалом, если

R I I (т.е. i I, a R a i I).

Если подкольцо удовлетворяет обоим условиям, оно называется двусторонним идеалом или просто идеалом.

Пример 1. В кольце Z подкольцо nZ (n N) является идеалом.

Пример 2. В кольце многочленов R[x] подкольцо f(x) R[x] (где f ( x ) -некоторый конкретный многочлен из R [ x ] ) является идеалом.

Идеалы такого вида называются главными идеалами, их можно обозначать более просто: (n) вместо nZ, (f(x)) вместо f ( x ) R [ x ] и т.п.

Эта формулировка относится к коммутативным и ассоциативным кольцам с единицей (нейтральным элементом относительно операции умножения). Для произвольных колец также можно ввести (другим способом) понятие главного идеала.

Если кольцо R является телом (в частности, полем), его идеалами являются только несобственные подкольца, т.е. {0} и R (см. задачу 1).

Факторкольцо строится на основе аддитивной группы кольца. Рассматривается ее факторгруппа, каждый смежный класс которой имеет вид Ka=a+I ( a R ) . Сложение классов происходит с помощью их представителей (см. 2.3 "Факторизация групп", в

39

частности, задачу 1), кратко его можно описать формулой: Ka+Kb=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I.

Умножение классов происходит также с помощью их представителей: Ka Kb=(a+I)∙(b+I)=a b+I.

Корректность этого определения, т.е. независимость результата умножения классов от выбора представителей в этих классах, обосновывается "идеальными" свойствами подкольца I (см. ниже задачу 2). Роль нуля в факторкольце играет класс K0=0+I=I, т.е. сам идеал.

Как и факторизация групп, факторизация колец тесно связана с гомоморфизмом, т.е. отображением (не обязательно взаимно однозначным), сохраняющим обе операции. Пусть R - кольцо, I - идеал, F=R/I - факторкольцо. Определим отображение φ: R→F, задаваемое формулой φ(x )= x + I (образ элемента x - класс факторкольца, которому принадлежит x). Это отображение является гомоморфизмом (см. ниже задачу 1), идеал I является ядром этого гомоморфизма: ker(φ)=I.

Если факторкольцо F изоморфно некоторому другому кольцу F , то существует другой гомоморфизм φ': R→F , ядром этого гомоморфизма также является идеал I .

Построение кольца F' R/I - формально некорректная задача (как и аналогичная задача о построении группы F' G/H). Для ее решения можно использовать тот же неформальный прием, который

40