матстатистика

Справка:   – греческая буква «тета»,   – греческая буква «дельта».

Значение   называется точностью оценки, и озвученное выше требование можно записать с помощью модуля:

Обозначение: точность оценки также обозначают через   («эпсилон»).

31. Задачи математической статистики.

Для процесса построения и применения моделей характерно, чем больше данных, тем точнее, адекватнее модель. О современной математической статистике можно говорить как о науке о принятии решений в условиях неопределенности.

Математическая статистика – это раздел математики, который изучает методы сбора, анализа и интерпретации данных с целью принятия обоснованных выводов и прогнозов. Она играет важную роль во многих областях, таких как экономика, социология, медицина и многие другие.

Три основные (типичные) задачи математической статистики, наиболее часто встречающиеся на практике.

1. Определение закона распределения случайной величины. По результатам независимых наблюдений случайной величины требуется оценить неизвестную функцию распределения или плотность вероятности этой случайной величины.

2. Задача проверки правдоподобия гипотез. Из обширного круга задач, связанных с проверкой статистических гипотез, наиболее типичными являются две задачи. Первая: как согласуются результаты эксперимента с гипотезой о том, что исследуемая случайная величина имеет плотность распределения? Вторая: не противоречит ли полученная оценка неизвестного параметра выдвинутой гипотезе о значении данного параметра?

3. Задача оценки неизвестных параметров распределения. Предполагается, что закон распределения исследуемой случайной величины известен до опыта из физических или теоретических предположений (например, нормальный). Возникает более узкая задача – определить некоторые параметры (числовые характеристики) случайной величины, т. е. по экспериментальным данным необходимо оценить значения этих параметров. С этой задачей отыскания "подходящих значений" числовых характеристик тесно связана задача оценки их точности и надежности.

Для решения этих задач необходимо выбрать из большой совокупности однородных объектов ограниченное количество объектов, по результатам изучения которых можно сделать прогноз относительно исследуемого признака этих объектов.

Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяется сравнительно редко.

Обычно совокупность исследуется относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

31. Выборка. Типы выбора. Виды выбора. Свойства выбора.

Выборка – это подмножество элементов из генеральной совокупности, которое мы анализируем. Генеральная совокупность – это полный набор всех возможных элементов, о которых мы хотим сделать выводы.

Под выборкой понимается последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин, т. е. каждая выборка значений случайной величины рассматривается как результат независимых повторных испытаний.

Характеристики выборки:

● Качественная характеристика выборки — что именно мы выбираем и какие

способы построения выборки мы для этого используем.

● Количественная характеристика выборки — сколько случаев выбираем (объём

выборки).

Необходимость выборки:

● Объект исследования очень обширный. Например, потребители продукции

глобальной компании — огромное количество территориально разбросанных

рынков.

● Существует необходимость в сборе вторичной информации.

Выборки делятся на два типа: вероятностные; невероятностные

Свойства выборки: Выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно, когда все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность быть отображенными и отбор одного объекта не влияет на вероятность отбора другого объекта совокупности. Учитывая закон больших чисел, можно утверждать, что это условие выполняется, если каждый объект выбран случайно, причем для любого объекта вероятность попасть в выборку одинакова. Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.

31. Вариационный ряд и его свойства. Полигон частот.

32. Интервальный ряд. Гистограмма относительных частот.

33. Эмпирическая функция распределения.

Эмпирическая функция распределения (ЭФР) – это статистическая функция, которая позволяет оценить вероятность того, что случайная величина X принимает значение меньше или равное определенному числу x. Она является эмпирической оценкой функции распределения на основе наблюдаемых данных.

Для нахождения значений эмпирической функции удобно Fn * записать в виде 𝐹𝑛*(𝑥) = где n - объем выборки, nx - число наблюдений, меньших х где (х ∈ R). Очевидно, что Fn* удовлетворяет тем же условиям, что и истинная функция распределения F(x)

Свойства эмпирической функции распределения

1. Непрерывность: Эмпирическая функция распределения является непрерывной функцией. Это означает, что она не имеет разрывов и может быть представлена в виде гладкой кривой.

2. Монотонность: Эмпирическая функция распределения является монотонно неубывающей функцией. Это означает, что с увеличением значения аргумента x значение функции F(x) не уменьшается.

3. Ограниченность: Эмпирическая функция распределения ограничена значениями от 0 до 1. Это свойство следует из определения функции, где она представляет собой отношение суммы индикаторных функций к размеру выборки.

4. Сходимость: Эмпирическая функция распределения сходится к теоретической функции распределения при увеличении размера выборки. Это означает, что с увеличением количества наблюдений эмпирическая функция становится все ближе к истинной функции распределения.

5. Асимптотическая нормальность: При выполнении определенных условий эмпирическая функция распределения может быть асимптотически нормальной. Это означает, что при больших размерах выборки она будет приближаться к нормальному распределению.

31. Выборочные числовые характеристики: выборочная средняя, выборочная дисперсия, исправленная дисперсия.

32. Точечное оценивание неизвестного параметра. Свойства оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность.

ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА – оценка, имеющая конкретное числовое значение. Например, среднее арифметическое:

X = (x1+x2+...+xn)/n, где: X - среднее арифметическое (точечная оценка МО); x1 ,x2 ,...xn - выборочные значения; n - объем выборки.

Когда оценка определяется одним числом, она называется точечной оценкой. Точечная оценка, как функция от выборки, является случайной величиной и меняется от выборки к выборке при повторном эксперименте. К точечным оценкам предъявляют требования, которым они должны удовлетворять, чтобы хоть в каком-то смысле быть «доброкачественными». Это несмещённость, эффективность и состоятельность.

Состоятельность

Статистическая оценка называется состоятельной, если она сходится к истинному значению параметра при увеличении объема выборки. Это означает, что с увеличением количества данных оценка становится все более точной и приближается к истинному значению параметра.

Эффективность

Статистическая оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок. Это означает, что эффективная оценка дает наиболее точную оценку параметра среди всех возможных оценок.

Несмещенность

Статистическая оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению параметра, который мы пытаемся оценить. Другими словами, несмещенная оценка не содержит систематической ошибки и в среднем дает правильное значение параметра.

31. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины.

В математической статистике интервальной оценкой называется результат использования выборки для вычисления интервала возможных значений неизвестного параметра, оценку которого нужно построить. Следует отличать от точечной оценки, которая даёт лишь одно значение. Самым распространенным видом интервальных оценок являются доверительные интервалы.

Доверительный интервал для математического ожидания - это такой вычисленный по данным интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности. Естественной оценкой для математического ожидания является среднее арифметическое её наблюденных значений.

31. Доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения случайной величины.

32. Проверка статистических гипотез.

Статистической называют гипотезу о законе распределения статистической совокупности либо о числовых параметрах известных распределений. Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

31. Ошибки первого и второго рода.

В результате проверки нулевая гипотеза либо принимается, либо отвергается в пользу альтернативной. При этом есть риск допустить ошибки двух типов: Ошибка первого рода состоит в том, что гипотеза H0будет отвергнута, хотя на самом деле она правильная. Вероятность допустить такую ошибку называют уровнем значимости и обозначают буквой 𝛼 («альфа»). Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза H0 будет принята, но на самом деле она неправильная. Вероятность совершить эту ошибку обозначают буквой 𝛽 («бета»). Значение 1- 𝛽 называют мощностью критерия – это вероятность отвержения неправильной гипотезы.

31. Критерий согласия Пирсона .

32. Критерий Стьюдента.

33. Точный критерий Фишера.

34. Критерий Вилкоксона.