2 основные положения квантовой механики / ДЗ 2

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И.Ульянова (Ленина)

Кафедра Микрорадиоэлектроники и технологии радиоаппаратуры (МИТ)

ДЗ № 2

По дисциплине «ФОМНЭ»

Вариант № 4

Выполнил студент гр. 0000
Преподаватель Доцент кафедры МИТ

Санкт-Петербург

2025

1. Рассчитать длину волны де Бройля для тела с массой m₁, атома М и элементарной частицы А, движущихся с одинаковой скоростью V=1*10⁶м/с. Сравните длинны волн между собой и с известными диапазонами длин волн. Сделайте выводы.

Дано:

• Масса тела m₁: 1 г.=0,001 кг.

• атом Al

• элементарная частица: нейтрон

• скорость этих объектов: V=1*10⁶ м/с.

Найти: длину волны де Бройля (+сравнить между собой)

Решение:

Рассчитать длину волны де Бройля для частицы массой m движущейся со скоростью v можно по формуле:

где λ -длина волны, которую можно сопоставить с частицей, ħ – квант действия, равный отношению постоянной Планка h к 2π (ħ=h/2π=1,05*10^-34 Дж*с., h - постоянная Планка – 6,63*10^-34 Дж*с.).

Масса нейтрона: 1,675*10^-27 кг.

Применим эту же формулу для расчёта длины волны де Бройля для массивного тела и атома алюминия:

Масса атома алюминия: 44,79*10^-27 кг.

Выводы:

1)Для нейтрона длинна волны де Бройля оказалась наибольшей. После него по убыванию следуют сначала атом алюминия, а потом массивное тело, причём длины волн атома алюминия и нейтрона различаются в 26,7 раз, а алюминия и массивного тела – в 2,233*10^-22 раз. Таким образом, длина волны тем меньше, чем больше масса объекта.

2) На рис.1 представлена шкала электромагнитных волн. Сопоставив с ней полученные значения длин волн де Бройля можно прийти к выводу, что электромагнитной не является ни одна из волн (они короче гамма-волн, являющихся самыми короткими в диапазоне).

Рис. 1 – Шкала электромагнитных волн

Так как длина волны очень мала, наблюдаемыми волновыми свойствами данные макротела (атом алюминия и массивное тело) не обладают.

В случае протона можно подобрать объект, с помощью которого можно наблюдать его волновые свойства. Им может стать так называемая «мишень» — атомное ядро или другой протон, на котором волны де Бройля рассеиваются и интерферируют. Волновая природа протона проявляется в виде дифракционных минимумов и максимумов в угловых распределениях или сечениях рассеяния на различных частях этой «мишени», что является следствием интерференции де Бройлевских волн. Смот. рис. 2.

Рис.2- Вверху: протоны, сталкивающиеся с ядром, отклоняются от своей первоначальной траектории в зависимости от скорости, места столкновения и силы, действующей на протоны внутри ядра. Внизу: поперечные сечения упругого рассеяния протонов кислородом-16 на разных порядках величины.

2. Определить ошибку в определении физической величины, налагаемой соотношением неопределенности Гейзенберга, зная ∆х – неопределенность в положении частицы, равную радиусу атома М. Предположите, что знаете массу с абсолютной точностью и оцените неопределенность скорости тела с массой m₁, атома М и элементарной частицы А. Сделайте вывод.

Дано:

• = r атома Al=143 пм.

• Масса тела m₁: 1 г. =0,001 кг.

• атом Al

• элементарная частица: нейтрон

Найти:

1. ∆p

2. неопределенность скорости тела с массой m₁, атома М и элементарной частицы А

Решение: движение электрона в атоме не может быть описано определённой траекторией. Принцип неопределенности Гейзенберга гласит: положение и скорость движения электрона в атоме можно найти лишь с определенной долей точности, с ошибкой, определяемой соотношением:

1. Таким образом, в данном случае соотношение неопределённости Гейзенберга налагает ограничение на определенность (т.к. по условию известно, а — это константа). Найдём искомую величину:

2. Предполагая, что масса известна с абсолютной точностью, оценим максимальную неопределенность скорости:

Выводы:

1. Масштаб неопределённостей зависит от массы частицы. Из расчётов видно, что при одинаковой пространственной неопределённости (радиус атома r≈143 пм) неопределённость скорости сильно различается для тел с разной массой. Для макроскопического тела массой 1 г она практически равна нулю и не имеет физического значения, тогда как для атома алюминия она становится заметной, а для нейтрона — значительной.

2. Приведённые результаты наглядно показывают, почему для массивных тел можно использовать классическое описание движения (их неопределённость скорости ничтожно мала), а для микрочастиц принцип неопределённости становится ключевым: здесь нельзя говорить о чёткой траектории, и квантовое описание становится необходимым.

3. Сопоставление с наглядными масштабами:

• Для макроскопического тела неопределённость скорости меньше 10⁻²¹ м/с — то есть оно «дрожит» меньше, чем атомы в кристаллической решётке при абсолютном нуле.

• Для атома алюминия полученная неопределённость сравнима с тепловыми скоростями атомов в твёрдом теле (~100–300 м/с).

• Для нейтрона неопределённость становится сравнимой с его типичной скоростью в ядерных реакциях (~10⁶ м/с), что подчёркивает квантовый характер его поведения.

Таким образом, принцип неопределённости Гейзенберга одинаков для всех тел — от нейтрона до килограммового маятника. Однако если для маятника неопределённость скорости меньше, чем рост атома на поверхности Солнца за миллиард лет, то для нейтрона она становится сравнимой с его реальной скоростью. Это и есть причина, по которой квантовые эффекты незаметны в мире больших тел, но полностью определяют поведение микрочастиц.