6 сем вопросы
.pdfВопросы экзаменационных билетов по курсу ¾Уравнения математической физики¿, весенний семестр.
1.Уравнения Лапласа и Пуассона. Примеры стационарных явлений. Потенциалы (электростатический, потенциал скоростей и др.). Постановка краевых задач. Задачи Дирихле и Неймана.
2.Вывод первой и второй формул Грина. Следствия из формул Грина.
3.Гармонические функции. Вывод интегрального представления. Основные свойства (без доказательства).
4.Теорема о среднем значении гармонической функции.
5.Принцип максимума для гармонических функций. Корректность внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
6.Корректно и некорректно поставленные задачи математической физики. Примеры некорректно поставленных задач для уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа.
7.Понятие функции Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Формула, дающая решение этой задачи.
8.Основные свойства функции Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Физический смысл (электростатическая интерпретация) функции Грина.
9.Объемный потенциал. Определение, основные свойства. Доказательство непрерывности объемного потенциала и его первых производных.
10.Потенциал простого слоя. Определение, основные свойства. Доказательство непрерывности потенциала простого слоя.
11.Потенциал двойного слоя. Определение, основные свойства. Вывод формул, описывающих разрыв потенциала двойного слоя в точках несущей поверхности.
12.Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом теории потенциалов.
13.Решение задачи Неймана для уравнения Пуассона методом теории потенциалов.
14.Основное уравнение теории специальных функций. Случай одной особой точки. Теорема об ограниченных и неограниченных решениях. Постановка краевых задач.
1
15.Уравнение Бесселя. Особенность. Построение ограниченного решения Jν(x).
16.Уравнение Бесселя. Определитель Вронского функций Jν(x) и J−ν(x). Вывод формулы, связывающей Jn(x) и J−n(x).
17.Функция Вебера Yν(x). Определение функции Вебера целого порядка. Линейная независимость функций Jν(x) и Yν(x). Понятие о функциях Ганкеля.
18.Формулы дифференцирования цилиндрических функций.
19.Функции Jν(x) и Yν(x) в случае полуцелого порядка. Асимптотика цилиндрических функций (без доказательства).
20.Свойства нулей цилиндрических функций.
21.Интегралы от цилиндрических функций. Вычисление интеграла от произведения двух цилиндрических функций. Вычисление интеграла от квадрата цилиндрической функции.
22.Первая краевая задача на собственные значения для уравнения Бесселя (на интервале 0 < r < R). Условие самосопряженности оператора краевой задачи. Ортогональность собственных функций. Теорема Фурье Бесселя (без доказательства).
23.Модифицированное уравнение Бесселя. Ограниченное решение. Функция Макдональда. Основные свойства функций Iν(x) и Kν(x).
24.Основное уравнение теории специальных функций. Случай двух особых точек. Постановка краевых задач. Условие самосопряженности оператора краевой задачи.
25.Дифференциальное уравнение гипергеометрического типа. Приведение к самосопряженному виду. Весовые функции. Уравнения и весовые функции для производных от функции гипергеометрического типа.
26.Дифференциальное уравнение гипергеометрического типа. Решения в виде полиномов. Формула Родрига.
27.Свойства нормальной системы полиномов, ортогональных на отрезке. Теорема о нулях полиномов.
28.Нормальная система полиномов, ортогональных на отрезке. Полиномы Лежандра и их свойства.
29.Нормальная система полиномов, ортогональных на полупрямой. Полиномы Чебышева Лагерра и их свойства.
30.Нормальная система полиномов, ортогональных на прямой. Полиномы Чебышева Эрмита и их свойства.
31.Присоединенные функции Лежандра и их свойства.
32.Уравнение Лапласа в сферических координатах. Сферические и шаровые функции. Фундаментальные сферические функции.
2