Лекции / Асимптотическая_сложность_О_нотация_или_Big_O

Data Structures and Algorithms

o - нотация

Предположим у нас есть неизвестная функция t(n) и известная (желательно простая) функция g(n). В таком случае говорят, что :

t(n)=o(g(n))

Втом случае если (C >0), (n0 ): (n>n0) |t (n)| < |C g(n)|

C

n ,n0

t , g →

Для всех констант C больше нуля и существует такое n0, что для всех n > n0 значение функции t(n) строго меньше значения С•g(n).

Data Structures and Algorithms

Ω - нотация

Предположим у нас есть неизвестная функция t(n) и известная (желательно простая) функция g(n). В таком случае говорят, что :

t(n)=Ω(g(n))

Втом случае если (C >0), (n0): (n>n0 ) |C g(n)| |t (n)|

C

n ,n0

t , g →

Существует такая константа C больше нуля и такое n0, что для всех n > n0 значение функции t(n) больше или равно значению С умноженное на значение функции g(n).

В таком случае говорят что, t принадлежит классу функций, которые растут не медленнее, чем функция g (n) с точностью до постоянного множителя.

Оценка Ω задает нижнюю асимптотическую оценку роста функции t( n ).

Data Structures and Algorithms

Data Structures and Algorithms

ω - нотация

Предположим у нас есть неизвестная функция t(n) и известная (желательно простая) функция g(n). В таком случае говорят, что :

t(n)=ω(g(n))

Втом случае если (C >0), (n0 ): (n>n0) |C g(n)| < |t (n)|

C

n ,n0

t , g →

Для всех C больше нуля существует такое n0, что для всех n > n0 значение функции t(n) строго больше значения С умноженное на значение функции g(n).

В таком случае говорят что, t принадлежит классу функций, которые растут не медленнее, чем функция g (n) с точностью до постоянного множителя.

Оценка ω задает нижнюю асимптотическую оценку роста функции t( n ).

Data Structures and Algorithms

Θ - нотация

Предположим у нас есть неизвестная функция t(n) и известная (желательно простая) функция g(n). В таком случае говорят, что :

t(n)=Θ(g(n))

Втом случае если (C1 >0,C2>0), (n0 ): (n>n0) |C1 g(n)| |t (n)| |C2 g(n)|

C1 ,C2 n ,n0

t , g →

Существует такая константы C1,С2 больше нуля и такое n0, что для всех n > n0 значение функции t(n) больше или равно значению С1 g(n) но меньше или равно значению C2g(n).

В таком случае говорят ещё, что функция g(n) является асимптотически точной оценкой функции t(n).

Θ даёт одновременно верхнюю и нижнюю оценки роста функции.

Data Structures and Algorithms

Data Structures and Algorithms

Θ - нотация

Стоит отметить что хоть Θ и дает асимптотически точную оценку роста функции t(n) ее вычисление также является в проблематичным или слишком трудоемким.

Хотя именно Θ является наиболее желаемой оценкой, все же гораздо чаще используется оценка в виде O.

Data Structures and Algorithms

Асимптотическая эквивалентность двух функций

Предположим у нас есть неизвестная функция t(n) и известная (желательно простая) функция g(n). Такие функции называются асимптотически эквивалентными

t (n) g(n)

Data Structures and Algorithms

Некоторые асимптотические сложности

Data Structures and Algorithms

Графики асимптотических сложностей