Лекции / 4_Динамическое_программирование_Жадные_алгоритмы_ipynb_Colab

- количество золота в клетке в строке i и столбце j

Из за большого количества перекрывающихся подзадач, то при рекурсивном решении нужно использовать мемоизацию.

Жадные алгоритмы

Жадные алгоритмы — класс алгоритмов для решения задач оптимизации. Методология

решения задач сходна с методологией решения задач динамического программирования и базируется на разбиении задачи на более простые подзадачи. При этом разбиение на подзадачи должно удовлетворять следующим критериям:

Подзадачи должны иметь общую структуру и для их решения используется

однотипный алгоритм.

Главный критерий выделяющий именно жадные алгоритмы — для каждой подзадачи выбирается локально оптимальное решение (на каждом шаге самое выгодное для именно этого шага решение).

Интересной особенностью жадных алгоритмов является то что они применяются как для получения точного оптимального решения, так и для получения решения близкого к оптимальному. В последнем случае основным критерием является простота

реализации и гораздо более высокая скорость работы каждого алгоритма по сравнению с алгоритмом который дает оптимальное решение.

Критерии задачи решаемой с помощью жадных алгоритмов

Задачи которые можно решить с помощью жадных алгоритмов можно определить с помощью следующих признаков:

Задача относится к задачам оптимизации. Наличие оптимальной подструктуры.

Возможно выбора локального оптимального решения (выбор не потребует пересчета шагов сделанных ранее, после выбора решение должно существовать).

Выбор локального оптимума на каждом шаге приводит к оптимальному решению общей задачи.

Примерный алгоритм решения

После определения факта, что задание может быть решено с помощью применения жадного алгоритма, можно придерживаться следующего алгоритма решения задачи:

1.Описать структуру оптимального решения.

2.Определить способ выбора локального оптимума.

3.Вычислить значения, соответствующие оптимальному решению.

Задача о размене

У вас есть некоторая сумма которую нужно разменять монетами. Существуют монеты номиналом 1, 5, 10, 25, 50 центов. Нужно разменять ее используя наименьшее количество монет.

def exchange(money, coins):

"""

Функцияразменасуммымонетамис использованиемжадногоалгоритма.

Аргументы: money:суммадляразмена(в центах)

coins:списокдоступныхноминаловмонет (отсортированпо убыванию)

Возвращает:

Кортеж(остатоксловарь, количеством монеткаждогономинала)

#Записываемколичеством нетданногономинала result[coin]= money// coin

#Уменьшаемоставшуюсуммуя

money= money% coin

Замечание о решении

Стоит заострить внимание, что не для каждого номинала монет этот алгоритм работает корректно. Так рассмотрим задачу размена для номиналов {1, 3, 4}.

Предположим нужно разменять сумму 6 центов. Для номиналов {1, 3, 4} мы получим 4, 1, 1. Но оптимальным вариантом будет 3, 3.

Существуют следующие не оптимальные номиналы монет {1, 3, 4}, {1, 4, 9}, {1, 2, 7, 10} и

т.д.

Задача о расписании

Существует студент который хочет посетить ряд семинаров проводимых в течении дня. Каждый семинар характеризуется временем его начала и временем его завершения. Если студент уже зашел на семинар, то покидать его нельзя (ждем пока закончиться, даже если не интересно). Задача посетить как можно больше семинаров за день.

Одним из наиболее оптимальных будет следующий порядок 1-4-6-8-9.

Граф решений задачи о расписании

Проверка принадлежности задачи к классу решаемых с помощью жадных алгоритмов

Мы видим что решение на каждом шаге определяет свой набор дальнейших решений. Есть

пересекающиеся подструктуры. Выбор решения не отменяет возможность общего

Таким образом при жадном выборе для этой задачи нужно посетить только две заправки.

Реализация на Python

def task_solve(distance, gas_station_list, cars_range):

"""

# Переезжаемна выбраннуюзаправку current_position= next_position

# Добавляемеё в результат(индекс current_gas_stationт.-к1,.мы ужеувеличи result.append(gas_station_list[current_gas _station- 1])

return result

Задача о утреннике

Есть список детей и их возраста (в годах). Нужно провести утренник с их участием. По правилам утренника в одной группе могут быть дети, возраст которых отличается не более чем на 2 года. Задача - сформировать минимальное количество групп. Возраст детей - 4, 7, 5, 6, 3, 8, 4, 9, 3, 10, 6, 5, 7, 4, 8

Это еще одна задача относящаяся к жадным алгоритмам — задача о перекрывающихся диапазонах. Задача сводится к нахождению минимального количества интервалов

перекрывающих необходимые данные.

Для решения используется следующий жадный подход сортируем возраст детей по возрастанию и начинаем заполнение групп просто добавляя в группу элементы по порядку. Если группа заполнена то переходят к следующей группе.