40 каф (Барабанов) / Экзамен 6 сем Барабанов

ВОПРОСЫ

êэкзамену по квантовой механике (весенний семестр, 2025/2026 уч. год)

1.Стационарная теория возмущений для невырожденных уровней: постановка задачи, поправки 1-го и 2- го порядков к энергии (без вывода). Оцените поправку к энергии основного состояния атома водорода, обусловленную конечным размером ядра, считая ядро равномерно заряженным шаром радиусом r0 (èëè равномерно заряженной сферой радиусом r0).

2.Стационарная теория возмущений для невырожденных уровней: постановка задачи, поправки 1-го и 2-го порядков к энергии (без вывода). Теорема Гельмана Фейнмана (формулировка и доказательство). Получи- те формулу для поляризуемости квантовой системы, находящейся в невырожденном квантовом состоянии.

Âкачестве примера вычислите поляризуемость линейного осциллятора в n-м состоянии.

3.Стационарная теория возмущений. Получите формулы для поправок 1-го и 2-го порядков к энергии невырожденных уровней дискретного спектра, укажите условия применимости. В качестве примера обсудите (без детальных расч¼тов), как, используя теорию возмущений и теорему Гельмана Фейнмана, вычислить поляризуемость атома водорода в основном состоянии.

4.Стационарная теория возмущений. Получите формулы для поправок 1-го и 2-го порядков к энергии невырожденных уровней дискретного спектра, укажите условия применимости. В качестве примера обсудите (без детальных расч¼тов), как, используя теорию возмущений, вычислить силу взаимодействия электрона и атома водорода, находящихся на большом расстоянии R друг от друга (R a, a радиус Бора).

5.Стационарная теории возмущений. Получите формулу для поправки 1-го порядка к вектору невырожденного состояния дискретного спектра, укажите условия применимости. В качестве примера обсудите (без детальных расч¼тов), как изменяется волновая функция основного состояния атома водорода в постоянном электрическом поле.

6.Стационарная теория возмущений. Случай вырожденного уровня дискретного спектра. Что происходит с дискретным спектром под действием возмущения? Какой вид принимает оператор возмущения в представлении векторов расщепл¼нных состояний, взятых в 0-м (нулевом) приближении?

7.Стационарная теория возмущений. Случай вырожденного уровня дискретного спектра. Считая доказанным, что оператор возмущения диагонален в представлении векторов расщепл¼нных состояний в 0-м приближении, объясните, как найти энергии расщепленных состояний (в 1-м приближении) и векторы этих состояний (в 0-м приближении). В качестве примера обсудите (без детальных расч¼тов) эффект Штарка.

8.Объясните, как получаются уравнения Клейна Гордона и Дирака для свободной частицы. Установите, какими свойствами обладают матрицы αi и β в стандартном представлении. Почему эти матрицы имеют размерность 4 Ч 4?

9.Уравнение Дирака для свободной частицы (без вывода). Перечислите, какими свойствами обладают матрицы αi и β в стандартном представлении. Получите выражения, определяющие плотность вероятности и плотность потока вероятности свободной дираковской частицы.

10.Уравнение Дирака для свободной частицы (без вывода). Найдите решения этого уравнения, описывающее движение частицы с определ¼нными энергией и импульсом. Как выглядят эти решения в нерелятивистском пределе? Как интерпретируются решения с отрицательной энергией?

11.Уравнение Дирака (УД) для свободной частицы (без вывода). Покажите, что гамильтониан Дирака ком-

Постройте решения ΨEpΛ(r, t) УД, описывающие состояния частицы с положительной (или отрицательной) энергией E, импульсом p, спиральностью Λ, а также нормированные на δ(p ′ − p )δΛ′ Λ.

12. Уравнение Дирака для свободной частицы (без вывода). Получите выражения для плотности вероятности и плотности потока вероятности частицы. Найдите решение уравнения Дирака, описывающее движение частицы с энергией E > 0 и импульсом p, и вычислите плотность вероятности и плотность потока вероят-

ности в предельном случае v c.

13.Обобщ¼нная энергия и обобщ¼нный импульс релятивистской заряженной частицы в классической электродинамике. Объясните, каким образом уравнение Дирака для свободной частицы обобщается до уравнения, учитывающего взаимодействие заряженной частицы с электромагнитным полем.

14.Уравнение Дирака для частицы в электромагнитном поле (без вывода). Объясните (с подробностями), как выполняется переход к уравнению Паули. В ч¼м состоит смысл этого перехода?

1

15.Уравнение Паули для электрона в электромагнитном поле (без вывода). Магнитный момент элементарной частицы, его связь со спином. Нормальное гиромагнитное отношение, магнетон Бора, ядерный магнетон, g-фактор. Каков g-фактор электрона?

16.Уравнение Дирака для частицы в центральном статическом поле (без вывода). Получите уравнение для

2-компонентного спинора, нормированного на единицу, описывающего нерелятивистскую частицу со спи- ном 1/2 и полной энергией mc2 +E′ (без его сведения к уравнению Шредингера с поправками 2-го порядка по v/c). Напишите (без вывода) эти поправки 2-го порядка и объясните их физический смысл.

17.Нерелятивистская частица без спина с зарядом e движется в постоянном и однородном магнитном по-

ле. Получите волновые функции стационарных состояний, энергетический спектр частицы. Являются ли уровни этого спектра вырожденными? Если да, то найдите кратности вырождения уровней.

18.Уравнение Дирака для частицы в электромагнитном поле (без вывода). Что называют калибровочной инвариантностью в классической электродинамике? Является ли уравнение Дирака инвариантным относительно калибровочных преобразований?

19.Электрон движется в центральном поле U(r) = −eφ(r) (e = −|e|). Используя элементарные средства,

получите (с точностью до численных коэффициентов), поправки к нерелятивистскому гамильтониану, обусловленные релятивистскими эффектами.

20.Сформулируйте и докажите теорему Гельмана Фейнмана. В качестве примера использования этой теоремы рассмотрите движение частицы в центрально симметричном поле U(r) = −e2/r. Найдите среднее значение величины 1/r (или 1/r2) в состоянии |nlm .

21.Классическое описание свободного электромагнитного поля. Резонатор, периодические граничные условия, моды классического электромагнитного поля, полная энергия поля. Гамильтоново описание поля: обобщ¼нные координаты и импульсы, функция Гамильтона, уравнения Гамильтона и их решения для свободного поля.

22.Свободное электромагнитное поле как квантовая система. Гамильтоново описание поля: обобщ¼нные координаты и импульсы, функция Гамильтона. Операторы обобщенных координат и импульсов, гамильтониан поля, стационарные состояния поля, энергетический спектр. Фотоны. Операторы векторного потенциала и напряж¼нности магнитного поля в представлении Шредингера.

23.Замкнутая система, обладающая дискретным спектром, находится в одном из своих стационарных состояний. В некоторый момент на систему начинает действовать возмущение (не обязательно малое), зависящее от времени. Как описывается динамика квантовой системы под действием этого возмущения? Объясните, как ставится задача про магнитный резонанс и что получается в результате (не решая задачу).

24.Замкнутая система, обладающая дискретным спектром, находится в одном из своих стационарных состояний. В некоторый момент времени на систему начинает действовать малое возмущение, зависящее от времени. Выведите уравнения, описывающие вероятность перехода из одного стационарного состояния в другое в 1-м порядке по возмущению. Адиабатическое возмущение.

25.Малое возмущение, зависящее от времени. Считая известным выражение для вероятности перехода под действием такого возмущения, получите формулу для вероятности wn перехода линейного осциллятора (в пределе t → ∞) в n-е состояние под действием однородного электрического поля, меняющегося по закону E(t) = E0 exp −t2/τ2 . До включения поля (t → −∞) осциллятор находится в основном состоянии.

26.Малое периодическое возмущение, зависящее от времени. Получите выражение для вероятности перехода квантовой системы в единицу времени из начального состояния в непрерывный спектр (правило Ферми).

27.Малое периодическое возмущение, зависящее от времени. Объясните (без детального вывода), как выводится правило Ферми, и что это правило описывает. Получите формулу для среднего времени жизни τ начального состояния.

28.Расскажите (без подробностей) о постановке задачи об упругом рассеянии частицы на неподвижном центре. Пользуясь правилом Ферми, выведите приближ¼нную формулу для дифференциального сечения рассеяния частицы. При каких условиях можно пользоваться полученной формулой?

29.Гамильтониан сложного атома. Получите оператор взаимодействия атома и свободного электромагнитного поля. Объясните (без подробного вывода), как, пользуясь правилом Ферми, вычислить дифференциальную вероятность спонтанного излучения атома (в телесный угол dΩ в направлении n). Найдите плотность конечных состояний.

2

30.Оператор взаимодействия атома и свободного электромагнитного поля (без вывода). Объясните, какое слагаемое в операторе взаимодействия является доминирующим. Объясните (без подробного вывода), как, пользуясь правилом Ферми, вычислить дифференциальную вероятность спонтанного излучения атома (в телесный угол dΩ в направлении n).

31.Оператор взаимодействия атома и свободного электромагнитного поля, доминирующее слагаемое в операторе взаимодействия (без вывода). Выведите, пользуясь правилом Ферми, формулу для вычисления дифференциальной (в телесный угол dΩ в направлении n) и полной вероятности спонтанного излучения атома. В чем заключается дипольное приближение?

32.Спонтанное излучение атома: объясните, какое слагаемое доминирует в операторе взаимодействия атома с полем, и что такое дипольное приближение. Дифференциальная вероятность спонтанного излучения (без вывода). Найдите угловое распределение фотонов, излучающихся в переходе |2p1 → |1s (или |2p0 → |1s ) атома водорода.

33.Интегралы движения в квантовой механике. Оператор сдвига векторов состояний физической системы. Объясните, как в квантовой теории из однородности пространства выводится закон сохранения импульса. Используя оператор сдвига, найдите явный вид оператора импульса частицы в координатном представлении.

34.Интегралы движения в квантовой механике. Оператор сдвига векторов состояний физической системы. Объясните, как в квантовой теории из однородности пространства выводится закон сохранения импульса. Считая известным оператор импульса частицы в координатном представлении, найдите результат действия оператора сдвига (на величину a вдоль оси x) на волновую функцию ψ(x).

35.Интегралы движения в квантовой механике. Оператор поворота векторов состояний физической системы.

Объясните, как в квантовой теории из изотропии пространства выводится закон сохранения углового

момента

J = h¯j. Объясните (без подробностей), откуда следуют коммутационные соотношения для опера-

торов ˆ ji.

36.Интегралы движения в квантовой механике. Оператор поворота векторов состояний физической системы. Объясните, как в квантовой теории из изотропии пространства выводится закон сохранения углового

частицы в координатном представлении.

37. Интегралы движения в квантовой механике. Оператор поворота векторов состояний физической системы.

тационными соотношениями, установите, какие значения принимают физические величины, соответству-

ìè | ? Введите операторы ˆ и найдите матричные элементы |ˆ | ′

jm j± jm j± jm . Приняв j = 1/2, получите явные выражения для матриц Паули.

направленное вдоль оси x. В начальный момент времени частица находится в состоянии с проекцией

ˆ

λ = 1/2 спина на ось z. Постройте оператор эволюции U(t) и найдите спинор φ(t), подействовав оператором

ˆ

U(t) на φ(0). В чем в данном случае заключается эволюция квантового состояния?

41.Сложение угловых моментов в квантовой теории. Коэффициенты Клебша Гордана. Как связаны между собой индексы, используемые при записи этих коэффициентов? Установите значения углового момента j, возникающего при сложении угловых моментов j1 è j2.

42.Сложение угловых моментов в квантовой теории. Коэффициенты Клебша Гордана. Объясните на примере сложения моментов j1 = j2 = 1/2, как вычисляются эти коэффициенты. Напишите спиновые функции двух частиц со спинами 1/2, описывающие состояния с определ¼нными полным спином S и его проекцией Sz íà îñü z.

3

43.Волновая функция системы, состоящей из N частиц; условие е¼ нормировки. Особенности описания кван-

товых систем, состоящих из тождественных частиц. Бозоны и фермионы. Каким условиям удовлетворяет волновая функция N тождественных невзаимодействующих частиц, бозонов или фермионов?

44.В системе центра масс рассеяние двух сталкивающихся частиц описывается амплитудой f(θ). Как выра-

жается дифференциальное сечение рассеяния через эту амплитуду, если частицы различны (без вывода)? Объясните (с подробностями), что меняется, если сталкиваются тождественные частицы, например, α + α и p + p.

45.Гелиеподобный атом. Условие нормировки волновых функций, описывающих стационарные состояния этого атома. Рассматривая кулоновское взаимодействие электронов как возмущение, объясните (без подробных вычислений), как выглядят волновая функция основного состояния и какова его энергия.

46.Гелиеподобный атом. Условие нормировки волновых функций, описывающих стационарные состояния этого атома. Рассматривая кулоновское взаимодействие электронов как возмущение, объясните (без подробных вычислений), как выглядят волновые функции низших возбужденных состояний и каковы их энергии (на примере 1s + 2s ). Что называют обменным взаимодействием? Парагелий и ортогелий.

47.Прямой вариационный метод (метод Ритца). Вычислите в качестве примера энергию основного состояния атома водорода, воспользовавшись пробной функцией ψ(r) e−r2/b2 .

48.Прямой вариационный метод (метод Ритца). Обсудите в качестве примера получение энергии и волновой функции основного состояния атома гелия (без подробных вычислений).

49.Вариационный принцип. Гелиеподобный атом. Метод Хартри нахождения волновых функций основного и возбужд¼нных (на примере 1s + 2s ) состояний атома. Самосогласованное поле. Определитель Слэтера. Метод Хартри-Фока нахождения возбужд¼нных (на примере 1s+2s ) состояний атома. Уравнения ХартриФока.

50.Приближение центрального самосогласованного поля в теории сложного атома, радиальная зависимость этого поля. Электронные оболочки, L − S связь, термы атома. Спин-орбитальное взаимодействие, тонкая структура термов, правило интервалов Ланде.

почему атомы инертных газов обнаруживают диамагнитные свойства. Как вычисляется диамагнитная восприимчивость этих атомов?

4