МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
им. проф. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА» (СПбГУТ)
В. М. Деткова, В. Б. Федюшин, Ю. В. Шарихина
ФИЗИКА. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. ЧАСТЬ 4.
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСА В МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРУНЕ
Учебно-методическое пособие по выполнению лабораторных работ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2023
1
УДК 534.521
ББК 22.213 К 63
Рецензент кандидат технических наук,
доцент факультета фундаментальной подготовки СПбГУТ,
Е. Ю. Передистов
Утверждено
редакционно-издательским советом СПбГУТ в качестве учебно-методического пособия
В. М. Деткова, В. Б. Федюшин, Ю. В. Шарихина.
К 63 Физика. Колебания и волны. Часть 4. Исследование резонанса в металлической струне: учебно-методическое пособие по выполнению лабораторных работ. / В. М. Деткова, В. Б. Федюшин, Ю. В. Шарихина, СПбГУТ. - СПб, 2023. – 14 с
Пособие написано в соответствии с программой курса физики по разделу «Колебания и волны». Методические указания к лабораторной работе содержат введение, описание лабораторной установки и метода измерения, порядок выполнения работы, задания к работе и контрольные вопросы.
Предназначено для студентов первого курса технических специальностей всех форм обучения.
УДК 534.521 ББК 22.213
©В. М. Деткова, В. Б. Федюшин, Ю. В. Шарихина, 2023
©Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича», 2023
2
Цель работы
1. Определение собственных частот колебаний струны.
2.Построение резонансной кривой, т.е. зависимости амплитуды вынужденных колебаний точек струны от частоты вынуждающей силы.
Введение
В лабораторной работе изучается поведение натянутой струны с обоими закрепленными концами. При кратковременном выводе из равновесия части струны в ней возникнут свободные колебания. Эти колебания распространяются по струне и образуются поперечные бегущие волны, движущиеся к концам струны. Скорость распространения бегущих волн v зависит от силы натяжения струны F и от массы единицы длины, другими
словами, от линейной плотности струны l
v = |
F |
|
ρ |
||
|
||
|
l |
=
.
m l
:
(1)
В точках закрепления струны волны отражаются. В результате интерференции двух бегущих волн, одна из которых распространялась к точке закрепления, а другая отразилась от этой точки, возникает стоячая волна.
Введём систему |
координат |
|
|
( OX), направив ось ОХ вдоль |
|
|
|
струны, а ось О в направлении |
|
|
|
колебаний точек струны (рис. 1). |
|
|
|
Смещение точки |
струны, |
|
|
имеющей координату x в момент |
|
|
|
времени t, обозначим (t, x) . Ле- |
|
|
|
вый край струны имеет координа- |
|
|
|
ту x = 0 , а правый x = l , где l°– |
|
|
|
°длина струны. Если не учитывать |
Рис 1. Стоячая волна в струне. |
|
|
затухание, то зависимость (t, x) |
|
||
|
|
||
будет иметь вид уравнения стоячей волны: |
|
|
|
|
(t, x) = 2a sin(kx)sin( t) . |
(2) |
|
В уравнении (2) введены следующие обозначения: а°–°амплитуда бегущих волн; °–°циклическая частота колебаний струны; k°–°волновое число, связанное с длиной бегущих волн соотношением
k = |
2 |
= |
. |
(3) |
|
||||
|
|
|
v |
|
Формулу (2) можно рассматривать как уравнение колебаний с амплитудой
3
A(x) = 2a sin(kx) . |
(4) |
Амплитуда стоячей волны A(x) зависит от координаты точки струны.
Точки струны, совершающие колебания с максимальной амплитудой, равной 2a , называются пучностями. Точки струны, в которых колебания отсутствуют, называются узлами. Координаты узлов и пучностей можно вычислить, приравняв sin(kx) из формулы (4) нулю и единице соответствен-
но. Расстояние между соседними узлами равно / 2 . Поскольку крайние точки струны являются узлами, на длине струны должно укладываться целое число n полуволн:
l = |
n . |
(5) |
|
2 |
|
На рис. 2 представлены “портреты” стоячей волны для нескольких значений n: n = 1 на первом рисунке, n = 2°–°на втором и n = 3°–°на третьем. Выражая из (3) циклическую
|
|
|
|
частоту через длину волны и под- |
|||||||||
|
|
|
|
ставляя из (5), получим |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n = |
v |
n . |
(6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Нижний индекс у |
n подчер- |
|||||
|
|
|
|
кивает, что циклическая частота |
|||||||||
|
|
|
|
колебаний струны не может быть |
|||||||||
|
|
|
|
любой. Набор частот имеет дис- |
|||||||||
|
|
|
|
кретный характер, т.е. может быть |
|||||||||
|
|
|
|
пронумерован: |
1 |
, 2 , |
3 … Сово- |
||||||
|
|
|
|
купность частот, |
выражающаяся |
||||||||
|
|
|
|
формулой (6) называется набором |
|||||||||
Рис. 2. Стоячая волна для струны, |
|
|
|
собственных частот или спектром |
|||||||||
|
|
|
частот. |
|
|
|
|
|
|||||
закрепленной с двух концов, в случае |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
В |
практических |
измерениях |
||||||
n=1(a), n=2(b), n=3(c). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
вместо |
циклической |
частоты |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
удобнее использовать частоту = |
1 |
= |
|
|
. Тогда вместо (6) получаем |
||||||||
T |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n = |
|
|
v |
n . |
|
|
|
|
(7) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|||
Наименьшая частота из спектра частот ( 1 = 2vl ) называется основной
частотой. При основной частоте на длине струны умещается половина длины волны. Остальные частоты ( n = 2,3,...) кратны основной и называ-
ются обертонами.
В реальных условиях стоячая волна, возникшая в струне после однократного вывода струны из состояния равновесия, будет затухать. Это
4
означает, что в выражении для амплитуды волны (4) появится множитель, убывающий с течением времени. Для поддержания незатухающих колебаний необходима периодически изменяющаяся внешняя сила. Обозначим циклическую частоту колебаний этой силы Ω. Вынужденные колебания струны под воздействием такой силы происходят с частотой Ω независимо от точки приложения силы к струне. Амплитуда колебаний A(Ω) также зависит от Ω. Эту зависимость называют амплитудно-частотной характеристикой колебательной системы (АЧХ). График этой зависимости, изображенный на рис. 3, имеет максимум.
Это означает наличие резонанса°–°явления резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к некоторой частоте, называемой резонансной. Можно показать, что имеется набор резонансных частот, и все они совпадают с частотами собственных колебаний струны:
|
рез,n = n = |
|
n . |
|
l |
||
|
|
|
|
Форма графика АЧХ, то |
|
|
|
есть форма резонансной кри- |
|
|
|
вой, характеризует реакцию |
|
|
|
системы на внешнее воздей- |
|
|
|
ствие. Количественной харак- |
|
|
|
теристикой этой зависимости |
|
|
|
является величина, называемая |
|
|
|
добротностью |
колебательной |
|
|
системы Q. Чем больше вели- |
|
|
|
чина Q, тем больше вытянут |
|
|
|
график АЧХ |
в вертикальном |
|
|
направлении, то есть резо- |
|
|
|
нансный пик |
является более |
|
|
остроконечным. В режиме вы- |
|
|
|
нужденных колебаний добротность колебательной системы отношением резонансной частоты рез к разности частот
(8)
определяется
= 2 − 1 |
, |
при которых амплитуда колебаний составляет 70% от максимального значения:
Q = |
рез |
. |
(9) |
|
|
||||
|
|
|
||
На рис. 3 представлены значения 1 |
и 2 , а также жирным отрезком |
|||
выделен интервал . Выбор уровня 0,7∙A ( рез ) 12 A ( рез ) вызван
тем, что при этой амплитуде мощность, передаваемая внешним источником в колебательную систему, составляет половину максимальной. Это происходит потому, что энергия колебаний пропорциональна квадрату ам-
5
плитуды и, при уменьшении амплитуды в 
2 раз, энергия уменьшается в 2 раза.
Описание лабораторной установки
Схема установки показана на рис. 4. Натянутая струна закреплена на концах.
Электромагнит Э1 подключен к генератору Г и служит для возбуждения колебаний струны, частота которых измеряется с помощью частотомера Ч. Устройство электромагнита Э1 показано на рис. 5.
В пластмассовом корпусе закреплен подковообразный постоянный магнит, на полюсах которого расположены соединенные последовательно катушки. Струна слегка натянута магнитным полем постоянного магнита, а при подаче на катушки переменного напряжения частотомера на постоянное поле магнита накладывается переменное поле катушек, и участок струны, расположенный над магнитом, совершает колеба-
тельное движение в вертикальном направлении. Постоянная составляющая магнитного поля необходима для того, чтобы колебания струны происходили с частотой напряжения генератора.
Конструкция электромагнита Э2 такая же, как и Э1. Можно показать, что при приближении струны к полюсам магнита увеличивается магнитный поток через катушку. В катушке возникает ЭДС, амплитуда которой пропорциональна амплитуде колебаний струны. Эта ЭДС измеряется вольтметром переменного тока в мВ.
6
Порядок выполнения работы
1.Соберите схему, показанную на рис.4.
2.Запишите указанные на рабочем месте значения характеристик струны: длину l, диаметр d, плотность ее материала ρ.
3.Установив на генераторе напряжение, указанное на рабочем месте, подключите к нему клеммы электромагнита Э1. Во время измерений поддерживайте напряжение постоянным.
4.Изменяя частоту генератора, найдите минимальную собственную частоту струны рез1 (основной тон). При частоте генератора равной соб-
ственной частоте колебаний струны амплитуда вынужденных колебаний точек струны максимальна. Следовательно, максимально и значение напряжения на измерительной катушке Э2 Uрез1, фиксируемое вольтмет-
ром мV. О наличии резонанса также свидетельствует усиление громкости звука, издаваемого вибрирующей струной.
5.Измерьте резонансную частоту по частотомеру, а напряжение по милливольтметру. Результаты запишите в таблице 1.
6.Повторите пункты 4 и 5 пять раз, каждый раз заново находя резонансную частоту и соответствующее ей напряжение.
7.Зарисуйте вид колеблющейся струны.
8. Повторите п. 5–7 для двух обертонов
рез2
и |
|
рез3
. При поиске ре-
зонансных частот учтите свойство кратности (7). При подаче с генератора сигнала с частотой, превышающей частоту основного тона в несколько раз для выведения струны из положения равновесия можно придать ей небольшой импульс, слегка коснувшись пальцами.
Таблица 1.
n |
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
измерения |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
рез1, Гц |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Uрез1 |
, В |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
рез2 , Гц |
|
|
|
|
|
||
Uрез2 |
, В |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
рез3 , Гц |
|
|
|
|
|
||
Uрез3 |
, В |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
9. Исследуйте зависимость напряжения Uэфф на измерительной ка-
тушке от частоты колебаний струны. Частоту изменяйте с помощью генератора, пользуясь регулировками 1,3,4,5 (см. Приложение 1). Напряже-
7
ние Uэфф измеряйте милливольтметром. Напряжение генератора поддерживайте постоянным. Измерения проводите в интервале от 0,5 рез1 до 1,5 рез1 . При этом удобно измерения начинать с частоты рез1, уменьшая её постепенно до 0,5 рез1. Затем, установив снова рез1, и увеличивать её до 1,5 рез1 . Следует учесть, что резонансный пик является узким. Поэтому вдали от рез1 шаг изменения частоты должен составлять от 3 Гц до 5 Гц.
При приближении к резонансной частоте шаг уменьшить до десятых долей Гц. Для построения резонансной кривой необходимо получить не менее 15–17 экспериментальных точек.
Результаты измерений запишите в таблице 2.
Таблица 2.
№ измерения
, Гц
Uэфф , В
Обработка результатов измерений
1. Вычислите средние значение собственных частот струны
резn
.
2. Проверьте выполнение соотношения
резn
=
n рез1
.
Для этого рас-
считайте
резn
/
рез1
.
3. Задав доверительную вероятность , вычислите абсолютную и относительную погрешности измерения собственных частот. Заполните таблицу 3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Среднее |
Абсолютная |
Относительная |
|
|
измерения |
значение |
погрешность |
погрешность |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
рез1, Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uрез1 |
, В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
рез2 , Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uрез2 |
, В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
рез3 , Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uрез3 |
, В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Постройте резонансную кривую. Для этого рассчитайте Uэфф/Uрез и заполните таблицу 4.
8
Таблица 4.
№измерения
, Гц
Uэфф , В
Uэфф/Uрез
Считая, что напряжение Uэфф пропорционально амплитуде колебаний
струны |
A, т. е. |
A |
= |
Uэфф |
, постройте график зависимости амплитуды |
|
Aрез |
|
Uрез |
||||
|
|
|
|
|
||
колебаний струны от частоты
A |
= |
|
A |
||
|
||
рез |
|
f
( )
.
5. Вычислите добротность колебательной системы. Для этого на гра-
фике |
f ( ) проведите горизонтальную |
линию на уровне 0,7 f ( рез ) . Из- |
мерьте по графику значения частот 1 |
и 2 , полученных при пересечении |
|
горизонтальной прямой и функции f ( ) . В формуле (9) перейдите от циклической частоты к линейной частоте , подставьте значения 1 и 2 , а также значение резонансной частоты рез .
6. Вычислите скорость распространения упругой волны в струне с помощью формулы (7). При этом учитывайте не только частоту основного тона, но и измеренные частоты обертонов. Полученные три значения скорости усредните и оцените погрешность.
7. Используя формулу (1), вычислите величину силы натяжения струны. Для скорости распространения волны в струне используйте значение, полученная в п.6. Рассчитайте погрешность силы натяжения. Требуемую для формулы (1) линейную плотность материала струны можно рассчитать из заданных на рабочем месте плотности и диаметра d:
= |
m |
= |
ls |
= |
d 2 |
. |
|
|
|
||||
l |
l |
|
l |
|
4 |
|
|
|
|
|
9
Контрольные вопросы
1.Напишите уравнение бегущей волны и дайте определения входящих в него величин.
2.Как образуется стоячая волна? Напишите уравнение стоячей волны, укажите в нем амплитуду.
3.Нарисуйте портреты бегущих и стоячих волн в последовательные моменты времени.
4.Перечислите отличия стоячей волны от бегущей.
5.Дайте определения пучностей и узлов в стоячей волне.
6.Как можно создать собственные колебания струны? Как можно создать вынужденные колебания струны?
7.Что такое собственные частоты колебаний струны?
8. Какой длины могут возникать стоячие волны в закреплённой с обоих концов струне длиной 1 метр?
9. Рассчитайте спектр собственных частот струны длиной 1 метр, по которой может распространяться бегущая волна со скоростью 30 м/с.
10.Что такое резонанс?
11.Как связаны собственные и резонансные частоты струны?
12.Объясните назначение каждого устройства в схеме лабораторной установки, представленной на рис. 5.
10