29. Система уравнений Максвелла в интегральной форме
Для однородной среды const, const
|
|
|
|
En |
E0n |
E E 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
На границе среда |
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
(вещество) - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hon |
|
|
|
|
вакуум |
|
|
|
Hn |
H Ho |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд Тейлора для функции одной переменной
f (a h) f (a) |
h df |
(a) |
h2 |
d 2 f |
(a) ...... |
||
|
|
|
dx2 |
||||
1! dx |
2! |
||||||
|
|
|
|||||
а x
h x
f ( x x) f ( x) x dfdx ( x)
x dx
f ( x dx ) f ( x ) dfdx ( x )dx
f ( x dx, y,z ) f ( x, y,z ) fx ( x, y,z )dx
z f ( x, y,z ) |
f ( x, y dy,z ) |
|
k |
j |
y |
|
|
i
x |
y |
y dy |
f ( x, y dy,z ) f ( x, y,z ) fy ( x, y,z )dy
30. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме.
Преобразуем уравнение М. так, чтобы Е и Н относились к одной и той же точке пространства, применив его к дифференциально малой площадке dS в виде прямоугольника со сторонами dy и dz
z |
4 |
3 |
1 
2
( ) :1 2 3 4 dS dy dz
|
|
|
|
k |
j |
|
n |
y |
|
|
Hx - усредненное значение по поверхности dS |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразование правой части уравнения Максвелла: |
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Hn) |
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
( |
|
)n dS 0 |
|
|
dS 0 |
|
HndS 0 |
|
dydz |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
t |
t |
t |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
S |
|
|
S |
|
|
|||||||
Преобразование левой части уравнения Максвелла:
z |
4 |
|
3 |
|
В точке 1 |
E Exi E y j Ezk |
|||
|
|
1 2 El |
Ey |
|
|
dl dy |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
2 |
|
2 3 El |
Ez |
Ez dy |
dl dz |
|
k |
|
n |
|
y |
|
|
y |
|
|
j |
|
3 4 El |
Ey |
E |
y dz dl dy |
||||
|
|
|
|
z |
|||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Eydy
|
|
|
|
4 1 El |
Ez |
|
|
dl dz |
||||
(Ez |
Ez |
dy)dz (E |
|
|
Ey |
dz)dy |
( |
Ez |
|
|
Ey |
)dydz |
|
y |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
y |
|
z |
Ezdz |
y |
|
z |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Ez |
|
Ey |
|
Hx |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y |
z |
0 t |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства среды не зависят от выбора направления осей
x |
|
|
z |
4 |
3 |
k |
1 |
2 |
j |
n |
|
|
y z |
|
|
i |
|
|
|
yx
Поворот осей : |
|
|
|
x |
|
(циклическая перестановка) |
|
z |
y |
||
|
|
|
|
|
|
Ez |
Ey |
0 |
Hx |
|
i |
y |
z |
t |
|
|
|
|
Ex |
Ez |
0 |
H y |
|
|
j |
|
|
t |
|
||||
|
z |
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ey |
|
E |
x 0 |
H |
z |
|
|
k |
|
|
x |
|
t |
|
|
|
|||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сложим левые и правые части уравнений:
|
E |
z |
|
Ey |
|
E |
|
E |
z |
|
Ey |
|
E |
|
|
|
|
H |
x |
|
Hy |
|
H |
z |
|
( |
|
|
|
)i ( |
|
x |
|
) j ( |
|
|
|
x )k |
|
( |
|
i |
|
j |
|
k) |
|||||
|
|
z |
|
x |
x |
|
t |
|
t |
t |
|
||||||||||||||
|
y |
|
z |
|
|
y |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1-ое ур-ие М. в |
|
|
H |
|
|
rot E 0 |
t |
|
|
форме |
|
|
||
дифференциальной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jc
2-ое ур-ие М. в |
|
|
|
E |
|
форме |
|
rot H |
jc 0 |
t |
|
дифференциальной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hz |
|
H y |
|
|
|
Hz |
|
|
H y |
|
|
|
E |
|
( |
|
)i |
( |
Hx |
) j |
( |
|
H x )k |
j |
||||||
|
|
|
|
0 t |
|||||||||||
|
y |
z |
|
z |
x |
|
x |
y |
c |
||||||
Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Применим уравнение к дифференциально малому объему в виде параллелепипеда объёмом
dV=dx dy dz
z
k |
j |
y |
|
i
x
|
|
n |
|
|
|
Поток через верхнюю и нижнюю |
||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
грань: |
|
|
|
|
А |
|
|
В точке |
А E Exi E y j Ezk |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(E n) dx dy |
||
k |
j |
n |
y |
|
(Exi |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Ey j Ezk ) n dx dy |
|||||
i |
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
k n Ezdxdy Ezdxdy |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
(Ez |
E |
z dz)dxdy (Ez |
E |
z dz)dxdy |
|
|
|
k |
n |
z |
z |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полный поток:
d ( Ex Ey Ez )dxdydz
x y z
|
|
|
|
|
|
1 |
dV |
1 |
|
|
|
по объёму dV |
||||
|
|
|
|
|
0 |
0 dxdydz |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Усредненное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
объемной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плотности |
|
Ex |
|
Ey |
|
Ez |
|
|
|
|
1 |
|
|
заряда |
|||
d ( |
|
|
)dxdydz |
|
|
dxdydz |
|
|||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
Ex E y Ez 1x y z 0
|
|
|
|
|
|
|
di E |
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
H x H y Hz 0x y z
di H 0