крипта_1

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ,

СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

(СПбГУТ)

Факультет Инфокоммуникационных сетей и систем

Кафедра Защищенных систем связи

Дисциплина Криптографические протоколы

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №1

Изучение криптосистем с открытыми ключами на основе эллиптических кривых

(тема отчета)

Направление/специальность подготовки

(код и наименование направления/специальности)

Выполнил студент 3 курса:

____________

(Ф.И.О., № группы) (подпись)

Преподаватель:

д.т.н., проф. Яковлев В.А.

(Ф.И.О., № группы) (подпись)

Цель работы:

Приобретение навыков анализа алгоритмов криптосистем с открытыми ключами на основе эллиптических кривых.

Ход работы:

Вариант – 5

	Задано				Найти
Nвар	A	B	k	C		-C	kC
5	7,0	11,11	4

Задание 1

Задана эллиптическая кривая Е13(1,1) в поле GF(13) по уравнению y² = x³ + x + 1 (Уравнение вида , где a=1, b=1.)

Точки Е13(1,1) (без нулевой точки) представлены на рис.1.

Рисунок 1 - Точки и граф эллиптической кривой

Проверка принадлежности точек заданной кривой:

Так как x=y, то точка B принадлежит заданной кривой.

A(7,0)	:	02 mod 13 = 0
	:	(73 + 7 + 1) mod 13 = 351 mod 13 = 0

Так как x=y, то точка A принадлежит заданной кривой

В(11,11)	:	112 mod 13 = 4
	:	(113 + 11 + 1) mod 13 = 1343 mod 13 = 4

Так как x=y, то точка В принадлежит заданной кривой.

Взаимообратные точки:

A(7;0)	→	A’(7;13)
В(11;11)	→	В’(11;2)

Вычисления:

1. Найдем точку C по формуле

Так как A≠B, то

= (11 * (4^-1)) mod 13

Найде обратный элемент a^-1 для а = 4 и p = 13 с помощью расширенного алгоритма Евклида:

13 = 4*3 + 1

4 = 1*4+0

НОД(13, 4) = 1

1 = 13 – 3*4

Получаем, что обратный элемент а^-1= -3

Проверка: (-3*4) mod 13 = -12 mod 13 = 1

λ = (11*(-3)) mod 13 = -33 mod 13 = 6

x₃ = (λ² – x₁ – x₂) mod 13 = (6² – 7 – 11) mod 13 = 5

y₃ = (λ(x₁ – x₃) – y₁) mod 13 = (6 * (7 – 5) – 0) mod 13 = (12 - 0) mod 13 = 12

x₃ = 5

y₃ = 12

C(5;12)

Проверим результат через калькулятор эллиптических кривых (см. рис 2)

Рисунок 2 – Нахождение точки С

2. Поиск точки -C

C(x₃, y₃) => -C(5, -12) => -C(5, 1)

3. Умножение на константу точки С

E = kC = 4C = C + C + C + C = 2(2C)

1. C(x₃, y₃) = C(5, 12)

Так как С = С, то

λ = (3x₃² + a)(2y₃)^-1 mod p = (3*25 + 1)(2*12)^-1 mod 13

Найдем обратный элемент a^-1 для а = 24, p = 13, с помощью расширенного алгоритма Евклида:

24 = 13 * 1 + 11

13 = 11 * 1 + 2

11 = 2 * 5 + 1

2 = 1 * 2 + 0

НОД(24;13) = 1

1 = 11 – 5 * 2 = 11 – 5(13 - 11) = 24 – 13 – 5(13 – 24 + 13) =

= 6 * 24 – 11 * 13

а^-1 = 6

Проверка: 24*6 mod 13 = 144 mod 13 =1

λ = (76*6) mod 13 = 456 mod 13 = 1

x₄ = (λ² – 2x₃) mod p = (1² – 2*5) mod 13 = 4 mod 13 = 4

y₄ = (λ(x₃ – x₄) – y₃) mod p = (5-4-12) mod 13 = -11 mod 13 = 2

x₄ = 4

y₄ = 2

2C = R(4,2) Проверим результат через калькулятор эллиптических кривых (см. рис 3)

Рисунок 3 – Нахождение точки 2С=R

2. R(x₄, y₄) = R(4,2)

Так как R = R, то

λ = (3x₄² + a)(2y₄)^-1 mod p = (3*16 + 1)(2*2)^-1 mod 13

Найдем обратный элемент a^-1 при а = 4, p = 13 с помощью расширенного алгоритма Евклида:

13 = 4*3 + 1

1 = 1*4 + 0

НОД(4, 13) = 1

1 = 13 – 3*4

а^-1 = -3

Проверка: -3*4 mod 13 = -12 mod 13 =1

λ = (49*(-3)) mod 13 = 9

x₅ = (λ² – 2x₄) mod p = (9² – 2*4) mod 13 = 73 mod 13 = 8

y₅ = (λ(x₄ – x₅) – y₄) mod p = (9*(4-8) - 2) mod 13 = -12 mod 13 = 1

x₅ = 8

y₅ = 1

E = kC = 4C, E(8,1)

Найденная точка действительно присутствует на графике:

Рисунок 4 - Проверка результата (нахождение точки Е = kC)

	Задано				Найти
Nвар	A	B	k	C		-C	kC
5	7,0	11,11	4	5,12		5,1	8,1

Задание 2

Моделирование криптосистемы Эль-Гамаля на эллиптической кривой

Вариант 5

	Задано			Вычислить
Nвар	d	r	E1		E2	C1	C2
5	4	3

1. Записать уравнение кривой Е₆₇(2,N), где N номер варианта.

– кривая, – уравнение кривой

2. Выбрать точку Е₁. Проверить ее принадлежность кривой.

Пусть Е₁ (5,26)

26² = 5³ +5*2+5 (mod 67) → 676 = 140 (mod 67) → 6 = 6 →Точка E₁ принадлежит кривой y² = x³ + 2x+5

3. Вычислить точку Е₂ = d*E₁ (d=4 согласно варианту)

E₂ = 4*E₁= (55,14) (см. рис 5)

Рисунок 5 - Умножение точки Е₁ на d

1. Передаем E₆₇(2,5), E₁(5,26) и E₂(55,14) корреспонденту В, в качестве открытого ключа, параметр d-закрытый ключ (не передается).

2. Выбираем произвольную точку P(9,22) (484 = 752 mod 67 → 15 = 15 → точка принадлежит кривой) и r =3

3. Вычислить C₁=r*E₁= 3*Е₁(5,26) = (13,33) (см. Рисунок 6)

Рисунок 6 - Умножение r на E₁

4. Вычислить С₂ = P(9,22)+3*E₂(55,14) = (39,24) (cм. Рисунок 7-8.)

Рисунок 7 - Умножение r на E2

Рисунок 8 - Значение точки С2

5. P=C2-(d*C1) = (54,23)-(4*(13, 33))

Инверсной точкой к точке (13,33) будет (13,67-33) = (13,34), следовательно

P=(54,23)+4*(13,34)=(7,5) (см. Рисунок 9-10)

Переданное сообщение при расшифровке совпадает с изначальным

Рисунок 9 - Умножение d на C1

Рисунок 10 - Вычисление сложения точки с инверсной

	Задано			Вычислить
Nвар	d	r	E1		E2	C1	C2
5	4	3	5,26		55,14	13,33	39,24

Вывод:

В ходе выполнения практического задания мы приобрели навыки вычислений с использованием матаппарата эллиптических кривых. Провели моделирование криптосистемы Эль-Гамаля на основе эллиптической кривой

Санкт – Петербург

2026