МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра МО ЭВМ

отчет

по лабораторной работе № 2

по дисциплине «Методы оптимизации»

Тема: Симплексный метод.

Студентка гр. 3384
Преподаватель		Мальцева Н. В.

Санкт-Петербург

2025

Цель работы.

Решить задачу линейного программирования симплекс-методом с помощью стандартной программы. Реализовать графическое решение задачи линейного программирования. Сравнить результаты решения двух методов.

Задание. (Вариант 57)

Рассмотреть следующую задачу линейного программирования.

Найти минимум линейной функции f(x1,x2,...,xn): f = c[1]*x[1] + c[2]*x[2] +...+ c[n]*x[n] , где c[i] - постоянные коэффициенты на множестве , заданном набором линейных ограничений :

a[1,1]*x[1] + ... + a[1,n]*x[n] >= b[1]

...

a[m,1]*x[1] + ... + a[m,n]*x[n] >= b[m]

x[1]>=0,

...

x[n]>=0, где a[i,j],b[i] - постоянные коэффициенты.

Коэффициенты:

4 2

1 1 -5

-1 1 4

0 1 -2

2 -1 -2

0 -1

Выполнение работы.

Ц елевая функция имеет вид:

Допустимое множество задано так:

П риведем задачу к основному виду задачи линейного программирования (ЗЛП)

и составим таблицу.

Решение 1.

	x1	x2	–b
y1	1	1	–5
y2	–1	1	4
y3	0	1	–2
y4	2	–1	–2
	0	–1	0

Шаг 1. Начинаем с точки (0, 0). Данная точка не является крайней, так как существуют b_i<0. Чтобы найти разрешающий элемент зафиксируем строчку с b_i<0, а именно возьмем первую строку, а затем фиксируем столбец с положительным значением, пусть это будет первый столбец. Рассмотрим отношения b[i]/a[i,1]: (-5/1); (4/(-1)); (-2/0); (-2/2). Необходимо выбрать так, чтобы отрицательное отношение было максимальным, а таковым является отношение (-2/2). Разрешающий элемент – a₄₁. Меняем местами x₁ и y₄ , а затем пересчитываем коэффициенты.

	y4	x2	–b
y1	1/2	3/2	–4
y2	–1/2	1/2	3
y3	0	1	–2
x1	1/2	1/2	1
	0	–1	0

Шаг 2. Теперь рассмотрим точку (1, 0). Она все также не является крайней точкой, поэтому зафиксируем третью строку и второй столбец. Рассмотрим отношения: (-4/(3/2)); (3/(1/2)); (-2/1); (1/(1/2)). Максимальное отрицательное отношение - (-2/1), поэтому разрешающий элемент - a₃₂. Меняем местами x₂ и y₃ и пересчитываем.

	y4	y3	–b
y1	1/2	3/2	–1
y2	–1/2	1/2	4
x2	0	1	2
x1	1/2	1/2	2
	0	–1	–2

Шаг 3. Теперь находимся в точке (2, 2). Она не является крайней точкой, поэтому зафиксируем первую строку и первый столбец. Рассмотрим отношения: (-1/(1/2)); (4/(-1/2)); (2/0); (2/(1/2)). Максимальное отрицательное отношение - (-1/(1/2)), поэтому разрешающий элемент - a₁₁. Меняем местами y₁ и y₄ и пересчитываем.

	y1	y3	–b
y4	2	–3	2
y2	–1	2	3
x2	0	1	2
x1	1	–1	3
	0	–1	–2

Шаг 4. Находимся в точке (3, 2). Это крайняя точка, так как все b_i>0, но не оптимальная, так как элемент c₂<0. Поэтому зафиксируем второй столбец и рассмотрим отношения: (2/(-3)); (3/2); (2/1); (3/(-1)). Максимальное отрицательное отношение - (2/(-3)), поэтому разрешающий элемент - a₁₂. Меняем местами y₄ и y₃ и пересчитываем.

	y1	y4	–b
y3	2/3	–1/3	2/3
y2	1/3	–2/3	13/3
x2	2/3	–1/3	8/3
x1	1/3	1/3	7/3
	–2/3	1/3	–8/3

Шаг 5. Находимся в точке (7/3, 8/3). Эта точка не является оптимальной, так как для c₁<0 все элементы a_i1>0, следовательно целевая функция не ограничена на допустимом множестве.

Графическое решение:

Решим еще раз, но теперь будет выбирать другие строки и столбцы, чтобы проверить, может быть, мы быстрее можем найти решение.

Решение 2.

	x1	x2	–b
y1	1	1	–5
y2	–1	1	4
y3	0	1	–2
y4	2	–1	–2
	0	–1	0

Шаг 1. Начинаем с точки (0, 0). Данная точка не является крайней, поэтому зафиксируем четвертую строку и первый столбец. Рассмотрим отношения: (-5/1); (4/(-1)); (-2/0); (-2/2). Максимальным отрицательным является отношение (-2/2), поэтому разрешающий элемент - a₄₁. Меняем местами x₁ и y₄ и пересчитываем элементы.

	y4	x2	–b
y1	1/2	3/2	–4
y2	–1/2	1/2	3
y3	0	1	–2
x1	1/2	1/2	1
	0	–1	0

Шаг 2. Находимся в точке (1, 0). Она не является крайней точкой, поэтому зафиксируем первую строку и первый столбец. Рассмотрим отношения: (-4/(1/2)); (3/(-1/2)); (-2/0); (1/(1/2)). Разрешающий элемент - a₂₁.

	y2	x2	–b
y1	–1	2	–1
y4	–2	1	6
y3	0	1	–2
x1	–1	1	4
	0	–1	0

Шаг 3. Находимся в точке (4, 0). Не крайняя точка, зафиксируем первую строку и второй столбец. Разрешающий элемент - a₁₂.

	y2	y1	–b
x2	1/2	1/2	1/2
y4	–3/2	1/2	13/2
y3	1/2	1/2	–3/2
x1	–1/2	1/2	9/2
	–1/2	–1/2	–1/2

Шаг 4. Находимся в точке (9/2, 1/2). Не крайняя точка, поэтому зафиксируем третью строку и первый столбец. Разрешающий элемент – a₃₁.

	y3	y1	–b
x2	1	0	2
y4	–3	2	2
y2	2	–1	3
x1	–1	1	3
	–1	0	–2

Шаг 5. Находимся в точке (3, 2). Это крайняя точка, но не оптимальная. Зафиксируем первый столбец. Разрешающий элемент – a₂₁.

	y4	y1	–b
x2	–1/3	2/3	8/3
y3	–1/3	2/3	2/3
y2	–2/3	1/3	13/3
x1	1/3	1/3	7/3
	1/3	–2/3	–8/3

Шаг 6. Находимся в точке (7/3, 8/3). Эта точка не является оптимальной, так как для c₁<0 все элементы a_i1>0, следовательно целевая функция не ограничена на допустимом множестве.

Графическое решение:

Решение 3.

	x1	x2	–b
y1	1	1	–5
y2	–1	1	4
y3	0	1	–2
y4	2	–1	–2
	0	–1	0

Шаг 1. Начинаем с точки (0, 0). Данная точка не является крайней, поэтому зафиксируем третью строку и второй столбец. Максимальное отрицательное отношение - (-2/1), поэтому разрешающий элемент - a₃₂. Меняем местами x₂ и y₃ и пересчитываем.

	x1	y3	–b
y1	1	1	–3
y2	–1	1	6
x2	0	1	2
y4	2	–1	–4
	0	–1	–2

Шаг 2. Находимся в точке (0, 2). Она не является крайней точкой, поэтому зафиксируем первую строку и первый столбец. Максимальное отрицательное отношение - (-4/2), поэтому разрешающий элемент - a₄₁. Меняем местами x₁ и y₄ и пересчитываем.

	y4	y3	–b
y1	1/2	3/2	–1
y2	–1/2	1/2	4
x2	0	1	2
x1	1/2	1/2	2
	0	–1	–2

Несложно заметить, что она идентична той, что представлена в решении 1 на шаге 3, следовательно остальные шаги будут аналогичны и мы пройдемся по точкам так: (2,2) – > (3, 2) – > (7/3, 8/3).

Графическое решение: