млита-пми / Программа экзамена МЛиТА

Программа экзамена МЛиТА-2025

1. Задание булевых функций таблицами. Подсчет числа бинарных функций с различными свойствами. Фиктивные переменные.

2. Логические операции и их свойства.

По-хорошему надо расписать определение самих операций и только потом уже сами свойства. !Доказательство добавить!

3. Двойственность. Теорема о двойственной к сложной функции. Самодвойственность.

4. Булевы функции и классы замкнутости.

5. Классы замкнутости и теорема Поста.

Доказательство теоремы!!!

https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1 %81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1 %86%D0%B8%D0%B9._%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F% D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0_%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B 9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0% BA%D1%86%D0%B8%D0%B9

6. СДНФ, СКНФ, связь между ними.

7. Доказательство единственности представления булевых функций каноническим многочленом Жегалкина. Число многочленов Жегалкина от n переменных.

Доказательство единственности

1. Подсчет количества объектов.

Количество различных полиномов Жегалкина от n переменных. В полиноме каждый коэффициент (a , a ,

..., a ... ) может быть либо 0, либо 1. Сколько всего таких коэффициентов? Это число всех возможных конъюнкций (включая константу 1). Для набора из n переменных можно составить конъюнкцию, выбирая любое подмножество этих переменных. Общее количество коэффициентов = C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2ⁿ.Так как каждый коэффициент независимо принимает 2 значения (0 или 1), общее число различных полиномов Жегалкина равно 2^(2ⁿ).

Количество всех булевых функций от n переменных. Булева функция — это отображение из {0,1}ⁿ (всего 2ⁿ наборов аргументов) в {0,1}. Для каждого из 2ⁿ наборов значение функции можно выбрать 2 способами. Следовательно, общее число различных булевых функций равно 2^(2ⁿ).

Вывод: Количество полиномов Жегалкина (2^(2ⁿ)) равно количеству всех булевых функций (2^(2ⁿ)).

2. Инъективность соответствия.

Если бы разным полиномам Жегалкина соответствовала одна и та же функция, то количество различных функций было бы меньше, чем 2^(2ⁿ). Однако мы только что установили, что их количество равно 2^(2ⁿ). Следовательно, разным полиномам должны соответствовать разные функции. А это означает, что каждой булевой функции соответствует ровно один полином Жегалкина.

8. Методы упрощения ДНФ. Геометрическая интерпретация.

Карты Карно:

Метод минимизирующих карт:

https://stepik.org/lesson/700560/step/6?unit=700541 Геометрическая интерпретация карт Карно:

9. Исчисление высказываний. Понятие интерпретации. Аксиоматика исчисления высказываний.

Атомы - буквы, которые могут принимать значения истина или ложь.

Интерпреатция это таблица истинности. 2 в степени n. На каждом наборе имеем интерпретацию которая иммет значение 0 или 1.

10. Резольвента и метод резолюций автоматизации логического вывода.