млита-пми / Программа экзамена МЛиТА

Особенность — реализация проверки «регистр = 0» и ветвления. Нельзя одним дробем сделать проверку нуля, но можно сконструировать цепочки дробей и дополнительные вспомогательные простые-состояния так, чтобы последовательность попыток применить дроби и переходы между вспомогательными состояниями различала случаи «есть требуемый множитель» и «его нет», и направляла поток в соответствующую ветку. В результате для каждой инструкции типа «если регистр = 0 → goto A, иначе декремент и goto B» собирают набор дробей и промежуточных состояний, который по порядку проверяет и реализует нужный переход. В финале получают эффективную процедуру: из описания машины и входа строят список дробей и стартовое так, что FRACTRAN останавливается тогда и только тогда, когда останавливается имитируемая машина.

Связь с теорией чисел и примером вроде Большой теоремы Ферма — это не прямая математическая зависимость, а иллюстрация силы и пределов алгоритмов. Если бы существовал универсальный «решатель останова», то для любой полуразрешимой задачи можно было бы написать программу-перебор, которая останавливается при нахождении контрпримера, и спросить у решателя: остановится ли она. Положительный ответ дал бы автоматическое свидетельство существования решения, отрицательный — его отсутствие. До доказательства Ферма этот метод теоретически мог бы решить вопрос о существовании контрпримера к для ; но так как универсального решателя не существует, такие автоматические процедуры недоступны в общем случае. Более формально, результаты типа MRDP показывают, что общая задача о целочисленных решениях диофантовых уравнений эквивалентна проблемам с той же степенью неразрешимости, что и halting, поэтому многие утверждения теории чисел в общем виде алгоритмически неразрешимы — хотя отдельные конкретные утверждения (как теорема Ферма) могут быть доказаны классическими математическими средствами.

25. Теория сложности алгоритмов. Полиномиальная сводимость. Задачи 3-SAT и 3-COLOR.