китг-пми / Программа экзамена КиТГ

D(s) ← 0

//2) Основной цикл релаксаций: |V|−1 раз Повторить |V|−1 раз:

Для всех v V:

Для всех u V, таких что A(u,v) < +∞: Если D(u) + A(u,v) < D(v) Тогда

D(v) ← D(u) + A(u,v)

π(v) ← u // фиксируем предшественника КонецЕсли

Конец цикла по u Конец цикла по v

КонецПовтора

//4) Построение дерева кратчайших путей

T ←

Для всех v V, v ≠ s: Если π(v) ≠ NIL То

T ← T { (π(v) → v) } КонецЕсли

Конец цикла

Возвратить (D, π, T)

18.Нахождение кратчайших длин путей в графе. Алгоритм Дейкстры. Сформулировать алгоритм, инвариант цикла, доказать корректность алгоритма. Алгоритм Дейкстры с построением дерева кратчайших путей.

Цикл по v принадлежащим V

D(v) = A(s, v) (A - матрица весов ребер; A(u, v) - длина ребра)

КЦ

V’ ={s} - обр. вершины (вершины дерева кратчайших путей) V’’=V\V’

Повторить пока V’’ != 0 V’’ = V’’ \ {v}

V’ = V’ u {v}

Цикл по w принадлежащим V’’ (соседям v) D(w) = min(D(w); D(v) + A(v, w))

КЦ

КЦ

1.Если v принадлежит V’, то D(v) – кратчайшее расстояние от s до v.

2.Если v принадлежит V’’, то D(v) – кратчайшее расстояние от s до v по путям, у которых все вершины, кроме последней, обработаны.

19.Нахождение кратчайших длин путей в графе. Алгоритм Флойда. Сформулировать алгоритм, инвариант цикла, доказать корректность алгоритма. Нахождение кратчайших путей с помощью алгоритма Флойда.

Алгоритм Флойда:

Цикл по u принадлежащим V

Цикл по v принадлежащим V (по соседям u)

D(u, v) = A(u, v) (A - матрица весов ребер; A(u, v) - длина ребра) B(u, v) = u

КЦ

Цикл по w принадлежащим V Цикл по u принадлежащим V

Цикл по v принадлежащим V

Если D(u, v) > D(u, w) + D(w, v): D(u, v) = D(u, w) + D(w, v) B(u, v) = w

КЕ

КЦ

КЦ

КЦ

Инвариант: После k шагов внешнего цикла пометки D(u, v) показывают кратчайшее расстояние между (u, v) по всем путям, у которых промежуточными могут быть вершины только от 1-ой до k-ой.

20. Поток на графе. Дивергенция потока. Теорема Остроградского-Гаусса в применении к графам.

21.Транспортные сети (s-t сети). Теорема о минимальном разрезе и максимальном потоке. Алгоритм Форда-Фалкерсона построения максимального потока в задаче с целыми (рациональными) пропускными способностями.

Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе: величина максимального потока в сети равна величине минимального разреза.