твимс-пми / твимс до основы

11. Классификация распределений (типы случайных величин). Дискретный и абсолютно- непрерывный типы распределений. Способы задания. Смеси, разложение распределения на дискретное и непрерывную части. Абсолютно непрерывные распределения, плотность распределения и ее свойства. Примеры.

NEW 13. Преобразование плотности при монотонном отображении. Линейные преобразования. Преобразование Смирнова. Примеры.

14. Случайные векторы. Совместные распределения случайных величин. Распределения и функции распределения. Свойства функции распределения*. Пример вычисления. Одномерные распределения.

15. Случайные векторы дискретного и непрерывного типа. Абсолютно-непрерывные случайные векторы. Способы задания. Плотности. Свойства плотности.

16. Понятие независимости случайных величин. Независимость в терминах функций распределения и плотностей. Линейные преобразования абсолютно-непрерывных случайных векторов*.

17. Условные распределения. Абсолютно непрерывный и дискретный случаи. Примеры вычисления. Вычисление распределений сумм с использованием условных распределений. Формула полной вероятности. Формула свертки.

18. Числовые характеристики случайных величин. Мат. ожидание, дисперсия (вероятностный смысл), моменты, квантили (медиана, квартили).

Дисперсия — это средний квадрат отклонения случайной величины X от её математического ожидания.

19. Свойства мат. ожидания и примеры вычисления мат. ожиданий. Примеры распределений с несуществующим мат. ожиданием.

интеграл расходится!

20. Дисперсия и ее свойства. Примеры вычисления дисперсии.

21. Числовые характеристики случайных векторов. Вектор мат. ожиданий. Ковариация и коэффициент корреляции. Матрица ковариации. Свойства.

22. Условные числовые характеристики. Условные мат. ожидания и их свойства*. Примеры вычисления.

23. Неравенства для моментов (часть 1). Неравенства Гельдера, Минковского и Йенсена. Неравенство Коши-Буняковского как простое следствие неравенства Гельдера.

24. Неравенства для математических ожиданий (часть 2) (в т.ч. неравенства Ляпунова, Маркова и Чебышева)

25. Распределение последовательности случайных величин, конечномерные распределения. Законы больших чисел. Теорема Маркова как следствие неравенства Чебышева. Законы больших чисел в форме Чебышева. Закон больших чисел в форме Хинчина*. Закон больших чисел в форме Бернулли (для схемы Бернулли).

Распределение последовательности случайных величин - расписывать как распределение случайного вектора.

26. Виды сходимости в теории вероятностей. Сходимость по вероятности, с вероятностью 1, в среднем порядка d. Сходимость по распределению (слабая сходимость). Связь между различными видами сходимости. Формулировка усиленного закона больших чисел.

27. Суммы независимых одинаково распределенных случайных величин. Центральная предельная теорема Леви*. Интегральная теорема Муавра-Лапласа как частный случай теоремы Леви. Теорема Линдеберга*. Многомерный вариант теоремы Леви*.

ЦЕПИ МАРКОВА

28. Марковское свойство. Примеры Марковских последовательностей. Определение цепи Маркова. Однородные цепи Маркова. Уравнения Маркова.

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ СТАТИСТИКУ

30. Статистический эксперимент: схемы накопления статистической информации, параметризация, постановка задач математической статистики (задачи точечного, доверительного оценивания и проверки статистических гипотез). Подчиненные и достаточные статистики. Асимптотический подход.

31. Непараметрическое оценивание. Порядковые статистики и ранги. Выборочная функция распределения и соответствующее распределение. Теоремы Гливенко–Кантелли и Колмогорова. Понятия состоятельности и асимптотической нормальности точечных оценок. Выборочные числовые характеристики (моменты, квантили), их состоятельность и асимптотическая нормальность.

32. Непараметрическое оценивание плотности распределения: гистограмма, полигон, ядерная оценка плотности.

33. Точечное оценивание вещественного параметра. Примеры параметрических семейств распределений. Выборка из нормального распределения, распределения хи-квадрат, Стьюдента. Распределения Фишера – Снедекора. Лемма Фишера и следствие из нее.

34. Точечное оценивание вещественного параметра. Функция правдоподобия и метод максимального правдоподобия. Регулярный эксперимент, неравенство Рао–Крамера. Асимптотическая нормальность оценок максимального правдоподобия в регулярном случае.

Метод MLE выбирает оценку параметра θ так, чтобы наблюденные данные были наиболее вероятны. Проще говоря: MLE — та ценность θ, при которой функция правдоподобия достигает максимума, то есть наблюдение наилучшим образом объясняется параметром.

Неравенство Рао-Крамера:

36. Асимптотические доверительные интервалы. Построение асимптотических доверительных интервалов на базе оценок максимального правдоподобия. Доверительное оценивание многомерного параметра, доверительные параллелипипеды и эллипсоиды. Совместные доверительные интервалы.