ПР / ПР1_Хакова_ЮМ_ИСТ-223

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ,

СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

(СПбГУТ)

Факультет Информационных технологий и программной инженерии

Кафедра Систем обработки данных

Направление: 09.03.02 Информационные системы и технологии

Профиль: Прикладные информационные системы и технологии

Практическое задание №1

«Понятие степени принадлежности и булевой алгебры»

по дисциплине

«ИИСиТ»

Выполнил:

студент группы ИСТ-223

Хакова Ю. М. «____» _________ 2026 г.

Принял:

ст. пр. каф. ИУС

Козлова О.А. «____» _________ 2026 г.

1.Понятие степени принадлежности (определение и применение)

В классической математике и логике принято считать, что элемент либо принадлежит множеству, либо не принадлежит ему. Такая модель получила название «чётких» (классических) множеств. Однако реальный мир гораздо сложнее формальных математических конструкций. Многие понятия не имеют строгих границ: «высокий человек», «тёплая погода», «молодой возраст», «высокий уровень риска». Подобные категории нельзя описать только двумя значениями — 0 или 1.

Для решения этой проблемы в 1965 году американский учёный Лотфи Заде предложил теорию нечётких множеств (fuzzy sets). Центральным элементом этой теории стало понятие степени принадлежности, позволяющее количественно описывать размытые границы понятий. Данная концепция стала основой нечёткой логики и получила широкое применение в системах управления, искусственном интеллекте и анализе данных.

В теории классических множеств принадлежность элемента множеству задаётся характеристической функцией:

Таким образом, элемент либо полностью принадлежит множеству, либо полностью не принадлежит.

Например:

• Множество чётных чисел: число 4 принадлежит (1), число 5 не принадлежит (0).

• Множество совершеннолетних: человек 18 лет принадлежит (1), человек 17 лет — нет (0).

Однако в реальной жизни возникают ситуации, где граница не является чёткой. Например, если рассматривать множество «высоких людей», трудно определить точный рост, начиная с которого человек считается высоким. Рост 180 см может восприниматься как «довольно высокий», но не максимально высокий.

Согласно теории Лотфи Заде, нечёткое множество определяется с помощью функции принадлежности.

Формальное определение

Пусть X — универсальное множество. Нечёткое множество A задаётся функцией:

,

где:

• — степень принадлежности элемента x множеству A,

• значение функции лежит в интервале от 0 до 1.

Если:

• — элемент не принадлежит множеству,

• — элемент полностью принадлежит множеству,

• — элемент принадлежит частично.

Таким образом, степень принадлежности показывает меру соответствия элемента рассматриваемому понятию.

Примеры степени принадлежности

Пример 1: Множество «высоких людей»

Пусть универсум — это рост человека в сантиметрах от 150 до 200.

Можно задать функцию принадлежности следующим образом:

• 160 см → 0,2

• 170 см → 0,5

• 180 см → 0,8

• 190 см → 1

Это означает, что человек ростом 170 см «наполовину высокий», а 190 см — полностью соответствует понятию «высокий».

Пример 2: Температура воздуха

Рассмотрим нечёткое множество «тёплая погода».

Если температура 20°C:

Следовательно, 20°C — это «тепло» примерно на 67%.

Операции над нечёткими множествами

Степень принадлежности позволяет выполнять операции, аналогичные классическим множествам.

1. Пересечение (логическое И)

2. Объединение (логическое ИЛИ)

3. Дополнение (логическое НЕ)

Пример

Пусть:

• степень «тёплой погоды» = 0,6

• степень «солнечной погоды» = 0,8

Тогда:

• «тёплая И солнечная» = min(0,6; 0,8) = 0,6

• «тёплая ИЛИ солнечная» = max(0,6; 0,8) = 0,8

Применение степени принадлежности

1. Системы управления

Нечёткая логика используется в бытовой технике:

• стиральные машины,

• кондиционеры,

• системы автоматического торможения.

Например, вместо жёсткого правила «если температура > 25°, включить охлаждение» система использует степень принадлежности к понятию «жарко».

2. Искусственный интеллект

В экспертных системах степень принадлежности применяется для:

• оценки риска,

• анализа сложных ситуаций,

• обработки естественного языка.

3. Экономика

Используется при:

• многокритериальном выборе,

• оценке инвестиционной привлекательности,

• анализе неопределённости рынка.

4. Медицина

Применяется при:

• диагностике заболеваний,

• оценке тяжести симптомов,

• анализе медицинских показателей.

2.Булева алгебра

Булевая алгебра — это раздел математической логики, изучающий операции над логическими высказываниями, принимающими два значения: истина (1) и ложь (0). Основы данной теории были заложены английским математиком Джордж Буль в середине XIX века. В своей работе «Исследование законов мышления» (1854) он предложил алгебраическую систему описания логических рассуждений, которая впоследствии стала фундаментом цифровой электроники и информатики.

Актуальность булевой алгебры обусловлена тем, что она лежит в основе работы компьютеров, микропроцессоров, программного обеспечения и систем автоматического управления. Любая вычислительная техника оперирует двоичными сигналами, что напрямую связано с логическими операциями, описанными Булем.

Основными логическими операциями булевой алгебры являются:

1. Конъюнкция (AND, логическое И) — результат равен 1 только тогда, когда оба операнда равны 1.

2. Дизъюнкция (OR, логическое ИЛИ) — результат равен 1, если хотя бы один операнд равен 1.

3. Отрицание (NOT, логическое НЕ) — меняет значение переменной на противоположное.

Законы булевой алгебры

1. Коммутативность

A ∧ B = B ∧ A

A ∨ B = B ∨ A

2. Ассоциативность

(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C)

3. Дистрибутивность

A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

4. Закон двойного отрицания

¬(¬A) = A

5. Законы де Моргана

¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B

¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

6. Идемпотентность

A ∧ A = A

Важным инструментом булевой алгебры являются нормальные формы представления логических функций:

• Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)

• Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)

СДНФ представляет функцию как дизъюнкцию элементарных конъюнкций, а СКНФ — как конъюнкцию элементарных дизъюнкций. Эти формы используются при автоматическом синтезе логических схем и в алгоритмах обработки логических выражений.