Лаб 7 / Отчёт лаб 7

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

(МТУСИ)

Кафедра "Радиотехнические системы"

Практикум по дисциплине

Цифровая обработка сигналов

Лабораторная работа №7

"Дискретное преобразование Фурье. Алгоритм быстрого преобразования Кули – Тьюки"

Выполнил

Проверил

Старший преподаватель Чертова О. Г.

Москва, 2025

Цель работы

Изучение дискретного преобразования Фурье и алгоритмов быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени и по частоте

Исходные данные

Таблица 1. Исходные данные

Переменная	Назначение	Значение
	Номер бригады
	Период (длина) последовательности
	Частота дискретизации
	Период дискретизации
	Амплитуды дискретных гармоник
	Частота дискретной гармоники
	Частота дискретной гармоники
	Последовательность

Домашний расчёт

1. Расчёт дискретного преобразования Фурье по общей формуле (в классической форме)

Прямое дискретное преобразование Фурье последовательности x(n) длины N записывается в форме:

Учитывая, что k изменяется от 0 до N-1=7, рассчитаем коэффициенты ДПФ:

На этом расчёт дискретного преобразования Фурье по общей формуле окончен.

2. Расчёт коэффициентов ДПФ с помощью быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени

Результаты расчёта коэффициентов ДПФ промежуточных двухточечных последовательностей:

Теперь, вычислим коэффициенты ДПФ последовательностей x₁₀(n), x₁₁(n):

Найдём коэффициенты ДПФ исходной последовательности x(n):

Значения коэффициентов ДПФ, посчитанные по общей формуле и по алгоритму БПФ совпадают.

На этом расчёт дискретного преобразования Фурье по алгоритму быстрого преобразования Фурье окончен.

3. Расчёт коэффициентов ДПФ промежуточных последовательностей x₁₀(n) и x₂₀(n) по общей формуле.

x₁₀(n) – результат разбиения исходной временной последовательности x(n), включающий в себя только четные коэффициенты.

Последовательность совпадает с результатами промежуточных вычислений БПФ .

Последовательность x₂₀(n), включает в себя каждый второй член последовательности x₁₀(n)

Последовательность также совпадает с результатами промежуточных вычислений БПФ.

В среде "Спектр-2" соберём схему, реализующую расчёт коэффициентов ДПФ.

Рисунок 1 – Схема

Схема разделена на две части: верхняя реализует расчёт коэффициентов ДПФ для случаев одного гармонического колебания и суммы двух гармонических колебаний, нижняя – последовательности прямоугольных импульсов.

Для одного косинусоидального сигнала:

Максимальное значение модуля ДПФ – 512 мВ

Рисунок 2 – Определение максимального уровня модуля коэффициентов ДПФ

Для суммы двух гармонических сигналов:

Максимальное значение модуля ДПФ – 3,3 В (дельта-импульс)

Рисунок 3 – Определение максимального уровня модуля коэффициентов ДПФ

Проведем анализ для прямоугольного импульса:

Рисунок 4 – Определение максимального уровня модуля коэффициентов ДПФ

Модуль коэффициентов ДПФ имеет вид

Максимальное значение – 15,5 мВ

Спектр (двусторонний) имеет вид:

Рисунок 5 – спектр прямоугольного импульса

Вывод: в среде "Спектр-2" реализована схема для дискретного преобразования Фурье.

Проанализировав осциллограммы амплитудного спектра, можно сделать вывод, что эксперимент совпадает с рассчитанным преобразованием Фурье (для гармонического сигнала – Фурье-образом является дельта-импульс, а для прямоугольного сигнала – функция вида sinc²).