Лаб 2 / ДЗ

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

(МТУСИ)

Кафедра "Радиотехнические системы"

Практикум по дисциплине

Цифровая обработка сигналов

Лабораторная работа №2

"Исследование характеристик линейных дискретных систем"

Выполнил

Проверил

Старший преподаватель Чертова О. Г.

Москва, 2025

Цель работы

Изучить математическое описание линейных дискретных систем (ЛДС) и овладеть программными средствами их моделирования и анализа в среде «Спектр-2».

Исходные данные:

Переменная	Назначение	Значение
	Номер бригады
	Коэффициенты числителя передаточной функции
	Коэффициенты знаменателя передаточной функции
	Длина ИХ	10
	Длина воздействия	4
	Частота дискретизации

Таблица 1 – Исходные данные

Домашний расчёт

Формирование основных характеристик линейной дискретной системы

Зададим линейную дискретную систему (ЛДС) её передаточной (системной) функцией H(z) и разностным уравнением. Порядок ЛДС в нашем случае M=N=2 (ЛДС второго порядка).

Определение устойчивости ЛДС

Одним из критериев устойчивости является нахождение полюсов передаточной (системной) функции внутри единичной окружности с центром в начале координат z-плоскости.

Умножим числитель и знаменатель на z² и получим H(z) в дробно-рациональной форме (в форме отношения полиномов от z):

Приравняем к нулю полином знаменателя и найдём его корни:

Модуль полюсов равен:

Положительный аргумент:

Аналогично найдём нули, их модуль и положительный аргумент:

Модуль полюсов меньше единицы, следовательно, ЛДС устойчива.

Вычисление импульсной характеристики по разностному уравнению

Длина импульсной характеристики (ИХ) по условию равна десяти отсчётам (n=0,1,2,...,9).

Далее в расчётах отсчёты воздействия будут опускаться, так как они равны нулю.

Вычисление импульсной характеристики по общей формуле

Модуль полюсов и положительный аргумент одного из полюсов:

Вычислим импульсную характеристику для ЛДС второго порядка по общей формуле, полученной из передаточной функции с помощью обратного z-преобразования:

Как видно из расчёта, отсчёты ИХ, рассчитанные двумя методами, совпадают

Вычисление реакции ЛДС по формуле свёртки

В качестве воздействия x(n) примем прямоугольный импульс длины, согласно условиям, N_x=4:

Формула свёртки, по которой будет определяться реакция ЛДС, представляет собой следующее выражение:

Общая длина выходного сигнала дискретной системы определяется как:

,

где N - длина импульсной характеристики системы h(n), N_x -длина входного сигнала x(n).

Далее слагаемые с нулевыми множителями будут опущены

Вычисление реакции ЛДС по разностному уравнению

Последние три значения отсчётов реакции ЛДС, рассчитанные двумя способами расходятся из-за усечения импульсной характеристики, которая используется в формуле свертки.

Экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ

АЧХ и ФЧХ ЛДС второго порядка имеют вид:

Экспресс анализ АЧХ и ФЧХ осуществляется в положительной области основного диапазона частот, т.е. в области , где – угловая частота дискретизации, рад/с. Произведение вида называется нормированной частотой.

Для оценки АЧХ звена второго порядка построим её график по пяти точкам:

:

:

:

:

:

На рисунках 1 и 2 приведены эскизные кривые АЧХ (нормированная) и ФЧХ, построенные по рассчитанным пяти точкам.

Рисунок 1 – оценка АЧХ ЛДС второго порядка

Рисунок 2 – оценка ФЧХ ЛДС второго порядка

Рисунок 3 – Расчётная АЧХ ЛДС второго порядка

Рисунок 4 – Расчётная ФЧХ ЛДС второго порядка

Из рисунков видно, что экспресс-анализ позволяет оценить общий характер АЧХ и ФЧХ ЛДС.