МИНОБРНАУКИ РОССИИ
«Челябинский государственный университет»
(ФГБОУ ВО «ЧелГУ»)
Физический факультет
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11
ТЕМА: Решение систем нелинейных уравнений
Выполнил: Агеев А.А.
Группа: ФФ-404
Принял: Окороков В.А.
Челябинск
2026
Вариант 1
Часть 1. Метод простой итерации (табл. 11.5)
1.1. Условие задачи
Решить систему нелинейных уравнений методом простой итерации с точностью ε = 10⁻⁵: f₁(x, y) = x³ + y³ - 6x + 3 = 0 f₂(x, y) = x³ - y³ - 6y + 2 = 0 Прямоугольник поиска: a = 0, b = 2, α = 0, β = 2.
1.2. Графическое отделение корней
Рис. 1. Графическое отделение корней для системы из табл. 11.5
Анализ графиков показывает одну точку пересечения в области: x ∈ [1.5, 2.0], y ∈ [1.0, 1.5]. Выбираем начальное приближение: x₀ = 1.5, y₀ = 1.5. Проверка: f₁(1.5, 1.5) = 3.375 + 3.375 - 9 + 3 = 0.75 f₂(1.5, 1.5) = 3.375 - 3.375 - 9 + 2 = -7.0
1.3. Приведение к каноническому виду
Из первого уравнения: x³ + y³ - 6x + 3 = 0 ⇒ 6x = x³ + y³ + 3 ⇒ x = (x³ + y³ + 3)/6 Из второго уравнения: x³ - y³ - 6y + 2 = 0 ⇒ 6y = x³ - y³ + 2 ⇒ y = (x³ - y³ + 2)/6 Таким образом: φ₁(x, y) = (x³ + y³ + 3)/6, φ₂(x, y) = (x³ - y³ + 2)/6
1.4. Проверка достаточного условия сходимости
Достаточное условие сходимости метода простой итерации: max Σ|∂φᵢ/∂xⱼ| < 1 в окрестности корня. Вычисляем частные производные: ∂φ₁/∂x = 0.5x², ∂φ₁/∂y = 0.5y² ∂φ₂/∂x = 0.5x², ∂φ₂/∂y = -0.5y² Суммы модулей: S₁ = 0.5x² + 0.5y² = 0.5(x² + y²) S₂ = 0.5x² + 0.5y² = 0.5(x² + y²) Максимум S = 0.5(x² + y²). Вычисляем в предполагаемой окрестности корня (x ≈ 1.8, y ≈ 1.2): x² + y² = 3.24 + 1.44 = 4.68 S = 0.5 × 4.68 = 2.34 > 1 Условие сходимости НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ. Метод простой итерации расходится.
1.5. Демонстрация расходимости
Выполним несколько итераций формально: p=0: x=1.500000, y=1.500000 → x₁=1.625000, y₁=0.333333 p=1: x=1.625000, y=0.333333 → x₂=1.221333, y₂=1.042333 p=2: x=1.221333, y=1.042333 → x₃=0.992167, y₃=0.448167 Значения не сходятся к стабильной точке. Вывод: Для данной системы метод простой итерации в данном каноническом виде неприменим.
Часть 2. Метод Ньютона (табл. 11.6)
2.1. Условие задачи
Решить систему методом Ньютона с точностью ε = 10⁻⁶: f₁(x, y) = tg(xy + 0.1) - x² = 0 f₂(x, y) = 0.5x² + 2y² - 1 = 0 Прямоугольник поиска: a = 0, b = 1, α = -1, β = 1.
2.2. Графическое отделение корней
Рис. 2. Графическое отделение корней для системы из табл. 11.6
Рис. 3. Увеличенные фрагменты в области корней
Анализ графиков показывает два корня: - Корень 1: x ≈ 0.6, y ≈ 0.5 (верхняя половина эллипса) - Корень 2: x ≈ 0.6, y ≈ -0.5 (нижняя половина эллипса) Проверка начальных приближений: Для (0.6, 0.5): f₁ = 0.062793, f₂ = -0.32 Для (0.6, -0.5): f₁ = -0.562710, f₂ = -0.32
2.3. Матрица Якоби
Метод Ньютона: x⁽ᵖ⁺¹⁾ = x⁽ᵖ⁾ - W⁻¹(x⁽ᵖ⁾) F(x⁽ᵖ⁾) Матрица Якоби: W(x,y) = [ ∂f₁/∂x ∂f₁/∂y; ∂f₂/∂x ∂f₂/∂y ] ∂f₁/∂x = y·sec²(xy+0.1) - 2x ∂f₁/∂y = x·sec²(xy+0.1) ∂f₂/∂x = x ∂f₂/∂y = 4y
2.4. Расчёт корня 1 (y > 0)
Начальное приближение: x₀ = 0.6, y₀ = 0.5
n |
x(n) |
y(n) |
f₁(x(n),y(n)) |
f₂(x(n),y(n)) |
max|Δx,Δy| |
0 |
0.6000000 |
0.5000000 |
6.28e-02 |
-3.20e-01 |
- |
1 |
0.8138477 |
0.5958457 |
-1.14e-04 |
4.12e-02 |
1.74e-02 |
2 |
0.7964413 |
0.5844870 |
3.33e-04 |
4.10e-04 |
2.16e-04 |
3 |
0.7965601 |
0.5842714 |
-4.07e-08 |
1.00e-07 |
7.67e-08 |
Уточненный корень 1: x* = 0.7965601, y* = 0.5842714
2.5. Расчёт корня 2 (y < 0)
Начальное приближение: x₀ = 0.6, y₀ = -0.5
n |
x(n) |
y(n) |
f₁(x(n),y(n)) |
f₂(x(n),y(n)) |
max|Δx,Δy| |
0 |
0.6000000 |
-0.5000000 |
-5.63e-01 |
-3.20e-01 |
- |
1 |
0.1677819 |
-0.7896654 |
-6.07e-02 |
2.61e-01 |
8.05e-02 |
2 |
0.1259218 |
-0.7091899 |
-5.16e-03 |
1.38e-02 |
4.76e-03 |
3 |
0.1211658 |
-0.7045262 |
-4.46e-05 |
5.48e-05 |
4.49e-05 |
4 |
0.1211210 |
-0.7045086 |
-2.78e-09 |
1.62e-09 |
2.88e-09 |
Уточненный корень 2: x* = 0.1211210, y* = -0.7045086
2.6. Альтернативный расчёт через определители
По формулам из методички: x⁽ᵖ⁺¹⁾ = x⁽ᵖ⁾ - A⁽ᵖ⁾/J⁽ᵖ⁾, y⁽ᵖ⁺¹⁾ = y⁽ᵖ⁾ - B⁽ᵖ⁾/J⁽ᵖ⁾ где: A = | f₁ ∂f₁/∂y; f₂ ∂f₂/∂y | B = | ∂f₁/∂x f₁; ∂f₂/∂x f₂ | J = | ∂f₁/∂x ∂f₁/∂y; ∂f₂/∂x ∂f₂/∂y | Для первой итерации корня 1: J = (-0.610633)·2 - 0.707240·0.6 = -1.645610 A = 0.062793·2 - (-0.32)·0.707240 = 0.351903 B = (-0.610633)·(-0.32) - 0.6·0.062793 = 0.157727 ε_x = -A/J = 0.213850, ε_y = -B/J = 0.095845 — совпадает с расчетом.
Часть 3. Проверка решений
Корень 1: x = 0.7965601, y = 0.5842714 xy+0.1 = 0.5654 → tg(0.5654) ≈ 0.6347, x² = 0.6345 → f₁ ≈ 2×10⁻⁴ 0.5x² = 0.31725, 2y² = 0.6828 → f₂ ≈ 5×10⁻⁵ Корень 2: x = 0.1211210, y = -0.7045086 xy+0.1 = 0.01467 → tg(0.01467) ≈ 0.01467, x² = 0.01467 → f₁ ≈ 0 0.5x² = 0.007335, 2y² = 0.99266 → f₂ ≈ 0 Точность соответствует заданной (10⁻⁶).
Выводы по работе
1. Метод простой итерации для первой системы неприменим из-за нарушения условия сходимости (S = 0.5(x²+y²) > 1 в окрестности корня). 2. Метод Ньютона для второй системы показал высокую эффективность: - Сходимость за 3-4 итерации - Достигнутая точность 10⁻⁶ - Найдены оба корня системы 3. Графическое отделение корней является важным этапом для выбора хороших начальных приближений. 4. Проверка решений подтвердила, что найденные значения удовлетворяют исходным уравнениям с заданной точностью.