МИНОБРНАУКИ РОССИИ
«Челябинский государственный университет»
(ФГБОУ ВО «ЧелГУ»)
Физический факультет
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
ТЕМА: Методы решения нелинейных уравнений с большой скоростью
сходимости
Выполнил: Агеев А.А.
Группа: ФФ-404
Принял: Окороков В.А.
Челябинск
2026
Вариант 1
1. Отделение корней
0.0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
1.0 |
|
-1.0000 (–) |
-0.9900 (–) |
-0.9000 (–) |
-0.2600 (–) |
0.0600 (+) |
0.2500 (+) |
0.2600 (+) |
0.1450 (+) |
-0.0150 (–) |
-0.0945 (–) |
0.0000 (0) |
|
Смена знака на отрезках [0.3, 0.4] и [0.7, 0.8], а также точный корень x = 1.0.
2. График функции
Корень 1: отрезок [0.3, 0.4]
Проверка условий сходимости метода Ньютона
f(0.3) = -0.26 < 0, f(0.4) = 0.06 > 0 → корень существует.
f'(x) = 2x + π·sin(2πx) на [0.3,0.4] ≠ 0 и не меняет знак.
f''(x) = 2 + 2π²·cos(2πx)
При x₀ = 0.34: f(x₀) = -0.1204 < 0, f″(x₀) = -8.66 < 0 → f(x₀)·f″(x₀) > 0 → условие выполнено.
Метод Ньютона
n |
xn |
f(xn) |
f'(xn) |
-f/f' |
0 |
0.34000000 |
-1.16e-01 |
3.332534 |
3.50e-02 |
1 |
0.37495436 |
-5.96e-03 |
2.971987 |
2.00e-03 |
2 |
0.37695882 |
-2.41e-05 |
2.947851 |
8.19e-06 |
3 |
0.37696701 |
-4.06e-10 |
2.947752 |
1.38e-10 |
4 |
0.37696701 |
-1.11e-16 |
2.947752 |
~0 |
Корень 1 (Ньютон): x ≈ 0.37696701
Метод секущих
n |
xn |
f(xn) |
Δf |
Δx |
-f·Δx/Δf |
1 |
0.37000000 |
-2.08e-02 |
- |
- |
- |
2 |
0.37700973 |
1.26e-04 |
2.10e-02 |
0.007010 |
-4.21e-05 |
3 |
0.37696760 |
1.75e-06 |
-1.24e-04 |
-0.000042 |
-5.94e-07 |
Корень 1 (секущих): x ≈ 0.37696760
Метод хорд
Неподвижный конец A = 0.3 (f(0.3) < 0, f″(x) < 0 → произведение > 0)
n |
xn |
f(xn) |
f(xn)-f(a) |
xn-a |
-f·Δx/Δf |
0 |
0.40000000 |
6.45e-02 |
3.20e-01 |
0.100000 |
-2.02e-02 |
1 |
0.37984109 |
8.42e-03 |
2.64e-01 |
0.079841 |
-2.55e-03 |
2 |
0.37729331 |
9.61e-04 |
2.56e-01 |
0.077293 |
-2.90e-04 |
3 |
0.37700361 |
1.08e-04 |
2.56e-01 |
0.077004 |
-3.25e-05 |
4 |
0.37697111 |
1.21e-05 |
2.56e-01 |
0.076971 |
-3.64e-06 |
5 |
0.37696747 |
1.35e-06 |
2.55e-01 |
0.076967 |
-4.08e-07 |
Корень 1 (хорд): x ≈ 0.37696747
Корень 2: отрезок [0.7, 0.8]
Проверка условий сходимости метода Ньютона
f(0.7) = 0.145 > 0, f(0.8) = -0.015 < 0 → корень существует.
f'(x) на [0.7,0.8] отрицательна и не равна 0.
f''(x) на [0.7,0.8] отрицательна (cos(2πx) отрицателен).
При x₀ = 0.79: f(x₀) ≈ -0.003 < 0, f″(x₀) < 0 → f(x₀)·f″(x₀) > 0 → условие выполнено.
Метод Ньютона
n |
xn |
f(xn) |
f'(xn) |
-f/f' |
0 |
0.79000000 |
-2.45e-04 |
-1.462894 |
-1.67e-04 |
1 |
0.78983256 |
9.68e-08 |
-1.464049 |
6.61e-08 |
2 |
0.78983263 |
1.47e-14 |
-1.464048 |
~0 |
Корень 2 (Ньютон): x ≈ 0.78983263
Метод секущих
n |
xn |
f(xn) |
Δf |
Δx |
-f·Δx/Δf |
1 |
0.79000000 |
-2.45e-04 |
- |
- |
- |
2 |
0.78983621 |
-5.24e-06 |
2.40e-04 |
-0.000164 |
-3.58e-06 |
3 |
0.78983263 |
2.06e-09 |
5.24e-06 |
-0.000004 |
1.41e-09 |
Корень 2 (секущих): x ≈ 0.78983263
Метод хорд
Неподвижный конец B = 0.8 (f(0.8) < 0, f″(x) < 0 → условие выполнено)
n |
xn |
f(xn) |
f(b)-f(xn) |
b-xn |
-f·Δx/Δf |
0 |
0.70000000 |
1.45e-01 |
-1.59e-01 |
0.100000 |
9.09e-02 |
1 |
0.79087613 |
-1.52e-03 |
-1.30e-02 |
0.009124 |
-1.07e-03 |
2 |
0.78980528 |
4.00e-05 |
-1.45e-02 |
0.010195 |
2.81e-05 |
3 |
0.78983334 |
-1.04e-06 |
-1.45e-02 |
0.010167 |
-7.29e-07 |
Корень 2 (хорд): x ≈ 0.78983334
Корень 3: x = 1.0 (точный)
Проверка: f(1) = 1² − cos²(π) = 1 − (−1)² = 1 − 1 = 0
Все методы сразу сойдутся, так как значение уже является корнем.
Для демонстрации: начальное приближение x₀ = 0.99
Метод Ньютона даёт корень x = 1.00000000 за одну итерацию.
Итоговые корни
Корень 1: x₁ = 0.3769670094
Корень 2: x₂ = 0.7898326284
Корень 3: x₃ = 1.0000000000
Проверка подстановкой:
f(0.3769670094) = -1.11e-16
f(0.7898326284) = 2.63e-14
f(1) = 0