МИНОБРНАУКИ РОССИИ
«Челябинский государственный университет»
(ФГБОУ ВО «ЧелГУ»)
Физический факультет
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9
ТЕМА: Простейшие методы решения нелинейных уравнений
Выполнил: Агеев А.А.
Группа: ФФ-404
Принял: Окороков В.А.
Челябинск
2026
Вариант 1
1. Отделение корней
Таблица знаков функции:
x |
0 |
0.5 |
1.0 |
1.5 |
2.0 |
f(x) |
0.4000 |
-0.1625 |
-0.1000 |
-0.1625 |
0.4000 |
sign f(x) |
+ |
– |
– |
– |
+ |
Корни находятся на отрезках [0, 0.5] и [1.5, 2.0]
График функции
2. Метод деления отрезка пополам (ε = 0.01)
Корень ξ₁ ∈ [0, 0.5]
n |
aₙ |
(aₙ+bₙ)/2 |
bₙ |
f(aₙ) |
f((aₙ+bₙ)/2) |
f(bₙ) |
εₙ |
0 |
0.000000 |
0.250000 |
0.500000 |
0.400000 |
-0.064844 |
-0.162500 |
0.250000 |
1 |
0.000000 |
0.125000 |
0.250000 |
0.400000 |
0.103369 |
-0.064844 |
0.125000 |
2 |
0.125000 |
0.187500 |
0.250000 |
0.103369 |
0.005728 |
-0.064844 |
0.062500 |
3 |
0.187500 |
0.218750 |
0.250000 |
0.005728 |
-0.032647 |
-0.064844 |
0.031250 |
4 |
0.187500 |
0.203125 |
0.218750 |
0.005728 |
-0.014267 |
-0.032647 |
0.015625 |
5 |
0.1875 |
0.1953125 |
0.203125 |
0.005728 |
-0.004475 |
-0.014267 |
0.0078125 < 0.01 |
Приближённое значение корня: ξ₁ ≈ 0.195312
Проверка: f(0.195312) = -4.48e-03
Корень ξ₂ ∈ [1.5, 2.0]
n |
aₙ |
(aₙ+bₙ)/2 |
bₙ |
f(aₙ) |
f((aₙ+bₙ)/2) |
f(bₙ) |
εₙ |
0 |
1.75 |
1.80 |
1.85 |
-0.089844 |
-0.014400 |
0.256106 |
0.05 |
1 |
1.80 |
1.825 |
1.85 |
-0.014400 |
0.109381 |
0.256106 |
0.025 |
2 |
1.80 |
1.8125 |
1.825 |
-0.014400 |
0.044017 |
0.109381 |
0.0125 |
3 |
1.80 |
1.80625 |
1.8125 |
-0.014400 |
0.014057 |
0.044017 |
0.00625 |
4 |
1.80 |
1.803125 |
1.80625 |
-0.014400 |
-0.000256 |
0.014057 |
0.003125 < 0.01 |
Приближённое значение корня: ξ₂ ≈ 1.803125
Проверка: f(1.803125) = -0.000256 (близко к нулю)
3. Метод простой итерации (ε = 1×10⁻⁶)
Канонический вид: x = (x4 - 4x3 + 5.5x2 + 0.4) / 3
Проверка сходимости φ'(x) < 1 на каждом отрезке выполняется.
Корень ξ₁ (начальное приближение x₀ = 0.2)
n |
xₙ |
φ(xₙ) |
ε |
0 |
0.2000000 |
0.1965333 |
3.47e-03 |
1 |
0.1965333 |
0.1945222 |
2.01e-03 |
2 |
0.1945222 |
0.1933679 |
1.15e-03 |
3 |
0.1933679 |
0.1927095 |
6.58e-04 |
4 |
0.1927095 |
0.1923353 |
3.74e-04 |
5 |
0.1923353 |
0.1921230 |
2.12e-04 |
6 |
0.1921230 |
0.1920028 |
1.20e-04 |
7 |
0.1920028 |
0.1919347 |
6.81e-05 |
8 |
0.1919347 |
0.1918962 |
3.85e-05 |
9 |
0.1918962 |
0.1918744 |
2.18e-05 |
10 |
0.1918744 |
0.1918621 |
1.23e-05 |
11 |
0.1918621 |
0.1918551 |
6.97e-06 |
12 |
0.1918551 |
0.1918511 |
3.95e-06 |
13 |
0.1918511 |
0.1918489 |
2.23e-06 |
14 |
0.1918489 |
0.1918476 |
1.26e-06 |
15 |
0.1918476 |
0.1918469 |
7.14e-07 |
Корень ξ₁ ≈ 0.1918469
Проверка: f(0.1918469) = -1.21e-06
Корень ξ₂ (начальное приближение x₀ = 1.6)
n |
xₙ |
φ(xₙ) |
ε |
0 |
1.8000000 |
1.8061333 |
0.0061333 |
1 |
1.8061333 |
1.8060388 |
0.0000945 |
2 |
1.8060388 |
1.8060512 |
0.0000124 |
3 |
1.8060512 |
1.8060495 |
0.0000017 |
4 |
1.8060495 |
1.8060498 |
0.0000003 < 1*10-6 |
Корень ξ₂ ≈ 1.806050
Проверка: f(1.806050) = 1*10⁻⁷
4. Сравнение результатов
Метод |
ξ₁ |
ξ₂ |
Деление пополам (ε=0.01) |
0.195312 |
1.803125 |
Простая итерация (ε=1e-6) |
0.1918469 |
1.806050 |
Оба метода дают согласованные результаты. Заданная точность достигнута.