Добавил:

Pug_Chomp Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Челябинский Государственный Университет

Предмет:

Численные методы математического моделирования

Файл:

а14 / Числ_мет_лабораторный_практикум_ч2_64_77

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2026

Размер:

425.68 Кб

Скачать

☆

Лабораторная работа № 14

Вычисление определенных интегралов

1. Общие сведения

Определенные интегралы

При решении прикладных задач часто возникает необходимость вычисления

значения определенного интеграла
I = b	f (x)dx ,	(14.1)
a

где a и b – пределы интегрирования, а f(x) – подынтегральная функция. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и известна ее первообразная F(x) , то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле НьютонаЛейбница

I = b	f (x)dx = F (b) − F (a).	(14.2)
a

Во многих случаях первообразная функция не может быть найдена с помощью элементарных средств, поэтому вычисление определенного интеграла оказывается затруднительным или даже практически невыполнимым. В связи с этим большое значение имеют приближенные численные методы вычисления определенных интегралов. Наиболее широко на практике используют приближенные равенства вида

b	n
f (x)dx Ai f (xi ) ,		(14.3)
a	i=0

которые называют квадратурными формулами. Здесь хi (i=0,1, …, n) некоторые точки отрезка [a,b], называемые узлами квадратурной формулы (узлы интегрирования), а Ai – числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы, и n>0 – целое число, указывающее количество узлов интегрирования.

Существует много способов построения квадратурных формул, различающихся методами выбора координат узлов интегрирования и критериями, позволяющими выполнить вычисление весов интегрирования.

Формула трапеций и формула Симпсона

В том случае, когда узлы интегрирования распределены равномерно на [a,b], а веса квадратурной формулы определяются на основании замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом Лагранжа, полученные квадратурные формулы называются формулами Ньютона-Котеса. Для этих формул веса Ai можно записать в виде

Ai = (b − a)Hi ,	(14.4)
где Hi – коэффициенты Котеса

		1 (−1)n−i n	q[n+1]
Hi	=			dq	,	(14.5)
Hi	=			dq	,	(14.5)
		n i!(n − i)! (q − i)
		0
а квадратурные формулы имеют вид
b			n
f (x)dx (b − a) Hi f (xi ) .						(14.6)
a			i=0

Узлы интегрирования в формулах Ньютона-Котеса выбираются так, чтобы x0=a и xn=b, т.е. первый и последний узлы совпадали с концами отрезка интегрирования.

Частными случаями формул Ньютона-Котеса являются формула трапеций для n=1, которая имеет вид

f (x)dx

(b − a)

(f (a) + f (b)),

(14.7)

и формула Симпсона при n=2

(b − a)

+ b

f (x)dx

f (a) +

4 f (

) + f (b) .

(14.8)

Оценка остаточного члена квадратурных формул для формул трапеций R1 и

Симпсона R2 соответственно имеет вид

(b − a)3

f ( 1 )

(b − a)5

f 4 ( 2 )

(14.9)

Здесь ξ1 и ξ2 – некоторые точки, принадлежащие отрезку [a,b].

Формула Гаусса

В том случае, когда веса квадратурной формулы, а также положение узлов интегрирования определяются исходя из требования, что формула должна быть точной для всех алгебраических многочленов, степени не выше N≤2n–1, где n – число узлов интегрирования, получаются квадратурные формулы, называемые формулами Гаусса. Параметры квадратурной формулы определяются для стандартного отрезка интегрирования [–1,1] и квадратурная формула для этого случая записывается в виде

1	n
f (t)dt Ai f (ti ) .		(14.10)
−1	i=1

Для произвольного отрезка [a,b] координаты могут быть пересчитаны с помощью преобразования

x	=	b + a	+			b − a					t			.																									(14.11)
x	=		+								t		i	.																									(14.11)
i	2							2					i
	2							2
В этом случае квадратурная формула принимает вид
b				b − a					1						b + a								b − a					b − a				n	b + a		b − a
	f (x)dx =											f								+					t dt							A f (		+		t	)	.
	f (x)dx =											f								+					t dt							A f (		+		t	)		(14.12)
																																i				i			(14.12)
a							2			−1					2							2								2		i=1	2		2
Квадратурная формула Гаусса при n=2 для отрезка [–1,1] имеет вид
1										1											1
										1											1
	f (x)dx				f			−									+	f						,															(14.13)


−1												3										3

т.е. A1=A2=1, t1 = −1											3 , t2							= 1				3 .
Квадратурная формула Гаусса при n=3 для отрезка [–1,1] имеет вид
1				5												3			8							5			3
1
	f (x)dx								−									+			f (0)+																		(14.14)
	f (x)dx			9			f		−					5				+	9		f (0)+				9		f	5			.								(14.14)
−1				9										5					9						9			5
−1

т.е. A1 = A3 = 95 , A2 = 89 , t1 = −t3 = 53 , t2 = 0 .

Оценка остаточного члена квадратурной формулы Гаусса для произвольного

значения n имеет вид

(b − a)2n+1 (n!)4 f

(2n) ( )

[a, b] .

(14.15)

[(2n)!]3 (2n +

Составные формулы

Для повышения точности интегрирования используются составные формулы,

которые строятся путем разбиения исходного промежутка интегрирования на m равных

частичных отрезков [x0,x1], [x1,x2], …, [xm-1,xm]. Затем к каждому отрезку [xk,xk+1]

применяется простая квадратурная формула. Координаты концов частичных отрезков

xk=a+kh, k=0, 1, 2, …, m, h=(b – a)/m.

Составная квадратурная формула может быть записана в следующем виде:

m−1 xk +1

m−1 n

f (x)dx = f (x)dx Ai

f (xi )

(14.16)

k =0 x

k =0 i=0

Веса и координаты узлов интегрирования определяются для каждого частичного

отрезка.

Практическая оценка погрешности вычисления интеграла. Правило Рунге

Если зависимость величины остаточного члена квадратурной формулы от длины

отрезка интегрирования имеет степенной характер и может быть представлена в виде

R M (b − a)k , то оценку

величины

остаточного

члена

можно

выполнить, используя

правило Рунге. Для этого выполняется приближенное вычисление интеграла с помощью

составных формул, используя два различных значения шага интегрирования h=(b – a)/m и

h=(b – a)/2m.

Затем

полученные результаты сравниваются, что

позволяет

оценить

значение остаточного члена. Оценка остаточного члена для приближенного значения

интеграла имеет вид:

I2 − I1 , .

(14.17)

(2k −1)

Здесь I2 – значение интеграла, полученное для разбиения [a,b] на 2m отрезков. R2 – оценка

остаточного члена для значения I2. I1 – значение интеграла, полученное для разбиения

[a,b] на m отрезков.

Результаты вычислений интегралов размещаются в табл. 14.1, 14.2, 14.3.

Таблица 14.1

Вычисление интегралов методом трапеций и методом Симпсона

f (xi )

f (xi ) + f (xi +1)

xi +1 2

f (xi +1 2 )

fi + 4 fi +1 2 + fi +1

f (x0 )

f (x0 ) + f (x1)

x1 2

f (x1 2 )

f0 + 4 f1 2 + f1

f (x1)

f (x1) + f (x2 )

x1+1 2

f (x1+1 2 )

f0 + 4 f1+1 2 + f1

f (x2 )

f (x2 ) + f (x3 )

x2+1 2

f (x2+1 2 )

f2 + 4 f2+1 2 + f3

…

m-1

xm−1

f (xm−1)

f (xm−1) + f (xm )

x m−1 2

f (xm−1 2 )

fm−1 + 4 fm−1 2 + fm

f (xm )

Метод

h m−1

Метод

h m −1

трапеций

f (xi ) + f (xi +1)

Симпсона

fi + 4 fi +1 2 + fi +1

2 i =1

6 i =0

xi +1 2 = (xi + xi +1 ) 2 , fi = f (xi ) , fi +1 2 = f

(xi +1 2 ), fi +1 = f (xi +1)

Таблица 14.2

Вычисление интегралов методом Гаусса для n=2

xi+1 + xi

xi+1 − xi

t x2

xi+1 + xi

xi+1 − xi

1 i

xi1

xi2

f (xi1 )

f (xi2 )

f (xik )

k =1

x01

x02

f (x01 )

f (x02 )

f (x0k )

k =1

x11

x12

f (x11)

f (x12 )

f (x1k )

k =1

x12

x22

f (x12 )

f (x22 )

f (x2k )

k =1

…

m-1

xm−1

x1m −1

xm2 −1

f (x1m−1 )

f (xm2 −1)

f (xmk −1 )

k =1

(b − a)

m −1 2

f (xik )

i =1 k =1

Таблица 14.3

Вычисление интегралов методом Гаусса для n=3

+ x

− x

+ x

− x

+ x

− x

i +1

t1 , xi

t2 ,

)

f (xi

Ai f (xi

k =1

)

f (x0 )

f (x0

f (x0 )

Ai f (x0

k =1

f (x1 )

f (x1

)

f (x1

)

Ai f (x1

)

k =1

)

f (x2 )

f (x2

f (x2 )

Ai f (x2

k =1

…

m-1

xm−1

xm −1

f (xm−1)

Ai f (xm−1)

k =1

(b − a) m −1 3

Ai f (xi

)

i =1 k =1

2. Задания

1. C помощью составных формул для двух разбиений отрезка интегрирования с m=10 и m=20 вычислить приближенное значение интеграла, указанное в варианте задания, с использованием квадратурных формул трапеций, Симпсона и Гаусса для n=2 и n=3.

2. Оформить результаты расчетов в виде таблиц 14.1, 14.2 и 14.3, адаптированных к условиям задачи.

3.Оценить значения остаточного члена квадратурной формулы, используя правило Рунге.

3. Пример выполнения задания

Задание

1.C помощью составных формул для двух разбиений отрезка интегрирования с m=10 и m=20 вычислить приближенное значение интеграла

6	1
	1	dx

	(1+ x2 )
−6

с использованием квадратурных формул трапеций, Симпсона и Гаусса для n=2 и n=3.

2.Оформить результаты расчетов в виде таблиц 14.1, 14.2 и 14.3, адаптированных к условиям задачи.

3.Оценить значения остаточного члена квадратурной формулы, используя правило Рунге.

						Таблица 14.4
Вычисление интеграла методом трапеций и методом Симпсона m=10
	xi +1 2 = (xi + xi +1 ) 2 , fi = f (xi ) , fi +1 2 = f (xi +1 2 ), fi +1 = f (xi +1)
i	xi	f (xi )	fi + fi+1	xi +1 2	f (xi +1 2 )	fi + 4 fi +1 2 + fi +1
0	-6,0	0,027027	0,068624	-5,4	0,033156	0,201250
1	-4,8	0,041597	0,113231	-4,2	0,053648	0,327823
2	-3,6	0,071633	0,219562	-3	0,1	0,619562
3	-2,4	0,147929	0,557765	-1,8	0,235849	1,501161
4	-1,2	0,409836	1,409836	-0,6	0,735294	4,351013
5	0,0	1,000000	1,409836	0,6	0,735294	4,351013
6	1,2	0,409836	0,557765	1,8	0,235849	1,501161
7	2,4	0,147929	0,219562	3	0,1	0,619562
8	3,6	0,071633	0,113231	4,2	0,053648	0,327823
9	4,8	0,041597	0,068624	5,4	0,033156	0,201250
10	6,0	0,027027
		Метод			Метод
		трапеций	2,842822		Симпсона	2,800324
						Таблица 14.5
		Вычисление интеграла методом Гаусса для n=2

		x1	=	xi+1 + xi	+	xi+1 − xi	t x2			=	xi+1 + xi	+	xi+1 − xi	t
		x1	=		+		t x2			=		+		t	2
		i	2		2			1	i	2		2			2
			2		2					2		2

															2
i	xi		xi1			xi2				f (xi1 )			f (xi2 )		f (xik )
															k =1
0	-6	-5,746410			-5,053590				0,029393			0,037681			0,067074
1	-4,8	-4,546410			-3,853590				0,046147			0,063091			0,109238
2	-3,6	-3,346410			-2,653590				0,081978			0,124354			0,206332
3	-2,4	-2,146410			-1,453590				0,178346			0,321241			0,499587
4	-1,2	-0,946410			-0,253590				0,527512			0,939578			1,467090
5	0	0,253590			0,946410				0,939578			0,527512			1,467090
6	1,2	1,453590			2,146410				0,321241			0,178346			0,499587
7	2,4	2,653590			3,346410				0,124354			0,081978			0,206332
8	3,6	3,853590			4,546410				0,063091			0,046147			0,109238
9	4,8	5,053590			5,746410				0,037681			0,029393			0,067074
10	6
															2,819185

Таблица 14.6

Вычисление интеграла методом Гаусса для n=3

	~			x		+ x		x		− x						x	+ x				x	− x							x			+ x			x		− x
				x		+ x		x		− x		~		2		x	+ x				x	− x		~		3			x		+1	+ x			x		− x
					i +1	i			i +1	i		~				i +1			i		i +1		i	~						i	+1	i				i +1		i
	1
		xi =					+				t1 ,		xi		=					+				t2 , xi			=							+					t3
		xi =	2				+	2			t1 ,		xi		=	2				+	2			t2 , xi			=				2			+		2			t3
			2					2								2					2										2					2

			~1							~2				~3							~1			~2									~3					3		~k
i	xi		~1							~2				~3							~1			~2				)					~3			)				~k	)
i	xi				xi					xi					xi					f (xi )					f (xi			)				f (xi				)		Ai f (xi			)
																																						k =1
0	-6		-5,864758						-5,4			-4,93524						0,028252						0,033156								0,039437							0,067078
1	-4,8		-4,664758						-4,2			-3,73524						0,043937						0,053648								0,066881							0,109252
2	-3,6		-3,464758							-3		-2,53524						0,076896									0,1					0,134636							0,206407
3	-2,4		-2,264758						-1,8			-1,33524						0,163155						0,235849								0,359341							0,499919
4	-1,2		-1,064758						-0,6			-0,13524						0,468667						0,735294								0,982038							1,459542
5	0		0,135242							0,6		1,064758						0,982038						0,735294								0,468667							1,459542
6	1,2		1,335242							1,8		2,264758						0,359341						0,235849								0,163155							0,499919
7	2,4		2,535242							3		3,464758						0,134636									0,1					0,076896							0,206407
8	3,6		3,735242							4,2		4,664758						0,066881						0,053648								0,043937							0,109252
9	4,8		4,935242							5,4		5,864758						0,039437						0,033156								0,028252							0,067078
10	6
																																							2,810638
																																						Таблица 14.7
		Вычисление интегралов методом трапеций и методом Симпсона m=20
					xi +1 2 = (xi + xi +1 ) 2 , fi = f (xi ) , fi +1 2 = f																			(xi +1 2 ), fi +1 = f (xi +1)

		i				xi			f (xi )						fi + fi+1						xi +1 2				f (xi +1 2 )							fi + 4 fi +1 2 + fi +1
		0				-6		0,027027					0,060184								-5,7			0,029860									0,179622
		1			-5,4			0,033156					0,074754								-5,1			0,037023									0,222847
		2			-4,8			0,041597					0,095245								-4,5			0,047059									0,283481
		3			-4,2			0,053648					0,125281								-3,9			0,061690									0,372043
		4			-3,6			0,071633					0,171633								-3,3			0,084104									0,508050
		5				-3				0,1			0,247929								-2,7			0,120627									0,730438
		6			-2,4			0,147929					0,383778								-2,1			0,184843									1,123150
		7			-1,8			0,235849					0,645685								-1,5			0,307692									1,876454
		8			-1,2			0,409836							1,14513						-0,9			0,552486									3,355075
		9			-0,6			0,735294					1,735294								-0,3			0,917431									5,405019
		10				0					1		1,735294								0,3			0,917431									5,405019
		11				0,6		0,735294							1,14513						0,9			0,552486									3,355075
		12				1,2		0,409836					0,645685								1,5			0,307692									1,876454
		13				1,8		0,235849					0,383778								2,1			0,184843									1,123150
		14				2,4		0,147929					0,247929								2,7			0,120627									0,730438
		15				3				0,1			0,171633								3,3			0,084104									0,508050
		16				3,6		0,071633					0,125281								3,9			0,061690									0,372043
		17				4,2		0,053648					0,095245								4,5			0,047059									0,283481
		18				4,8		0,041597					0,074754								5,1			0,037023									0,222847
		19				5,4		0,033156					0,060184								5,7			0,029860									0,179622
		20				6		0,027027
									Метод																Метод
								трапеций					2,810948												Симпсона								2,811236

														Таблица 14.8
		Вычисление интеграла методом Гаусса для n=2, m=20

													2
	i	xi		xi1			xi2		f (xi1 )			f (xi2 )	f (xik )
													k =1
	0	-6	-5,87321				-5,52679		0,028173			0,031700	0,059874
	1	-5,4	-5,27321				-4,92679		0,034714			0,039567	0,074282
	2	-4,8	-4,67321				-4,32679		0,043785			0,050707	0,094492
	3	-4,2	-4,07321				-3,72679		0,056847			0,067164	0,124011
	4	-3,6	-3,47321				-3,12679		0,076551			0,092792	0,169343
	5	-3	-2,87321				-2,52679		0,108046			0,135415	0,243461
	6	-2,4	-2,27321				-1,92679		0,162141			0,212200	0,374341
	7	-1,8	-1,67321				-1,32679		0,263185			0,362268	0,625453
	8	-1,2	-1,07321				-0,72679		0,464734			0,654351	1,119085
	9	-0,6	-0,47321				-0,12679		0,817045			0,984177	1,801222
	10	0	0,126795				0,473205		0,984177			0,817045	1,801222
	11	0,6	0,726795				1,073205		0,654351			0,464734	1,119085
	12	1,2	1,326795				1,673205		0,362268			0,263185	0,625453
	13	1,8	1,926795				2,273205		0,212200			0,162141	0,374341
	14	2,4	2,526795				2,873205		0,135415			0,108046	0,243461
	15	3	3,126795				3,473205		0,092792			0,076551	0,169343
	16	3,6	3,726795				4,073205		0,067164			0,056847	0,124011
	17	4,2	4,326795				4,673205		0,050707			0,043785	0,094492
	18	4,8	4,926795				5,273205		0,039567			0,034714	0,074282
	19	5,4	5,526795				5,873205		0,031700			0,028173	0,059874
	20	6
													2,8113383
														Таблица 14.9
		Вычисление интеграла методом Гаусса для n=3, m=20

		~1		~2	~3			~1		~2		~3	3	~k
i	xi	~1		~2	~3			~1		~2	)	~3		~k	)
i	xi	xi		xi		xi		f (xi )		f (xi	)	f (xi )	Ai f (xi		)
													k =1

0	-6	-5,932379		-5,7	-5,467621			0,027630		0,029860		0,032368	0,059874
1	-5,4	-5,332379		-5,1	-4,867621			0,033974		0,037023		0,040496	0,074282
2	-4,8	-4,732379		-4,5	-4,267621			0,042743		0,047059		0,052049	0,094493
3	-4,2	-4,132379		-3,9	-3,667621			0,055320		0,061690		0,069197	0,124012
4	-3,6	-3,532379		-3,3	-3,067621			0,074197		0,084104		0,096059	0,169346
5	-3	-2,932379		-2,7	-2,467621			0,104179		0,120627		0,141061	0,243469
6	-2,4	-2,332379		-2,1	-1,867621			0,155280		0,184843		0,222816	0,374358
7	-1,8	-1,732379		-1,5	-1,267621			0,249929		0,307692		0,383603	0,625466
8	-1,2	-1,132379		-0,9	-0,667621			0,438158		0,552486		0,691698	1,118797
9	-0,6	-0,532379		-0,3	-0,067621			0,779164		0,917431		0,995448	1,801390
10	0	0,067621		0,3	0,532379			0,995448		0,917431		0,779164	1,801390
11	0,6	0,667621		0,9	1,132379			0,691698		0,552486		0,438158	1,118797
12	1,2	1,267621		1,5	1,732379			0,383603		0,307692		0,249929	0,625466
13	1,8	1,867621		2,1	2,332379			0,222816		0,184843		0,155280	0,374358
14	2,4	2,467621		2,7	2,932379			0,141061		0,120627		0,104179	0,243469
15	3	3,067621		3,3	3,532379			0,096059		0,084104		0,074197	0,169346
16	3,6	3,667621		3,9	4,132379			0,069197		0,061690		0,055320	0,124012
17	4,2	4,267621		4,5	4,732379			0,052049		0,047059		0,042743	0,094493
18	4,8	4,867621		5,1	5,332379			0,040496		0,037023		0,033974	0,074282
19	5,4	5,467621		5,7	5,932379			0,032368		0,029860		0,027630	0,059874
20	6
													2,811291

Оценка абсолютной погрешности вычисления интеграла, полученного для m=20. Метод трапеций Δ=0,005.

Метод Симпсона Δ=0,0004. Метод Гаусса для n=2 Δ=0,0003. Метод Гаусса для n=3 Δ=0,000005.

4. Варианты заданий

5dx

1.−5 1+ x2

3.	6	x2 exp(−x)dx =1,2092
	0
5.	1	x ln(1 + x)dx =0,2500
	0
	1			dx
7.				dx

		1− x + x2
	0
	5	x2 +1
9.								dx
9.		x4 +1						dx
	0
	9
	9		x2 −1						dx
11.
11.				x	4
	1			x
	1
	6	1+ x						dx
13.
13.		1+ x				2
	−1	1+ x
	−1
	20 ln(1+ x)dx
15.
15.				1+ x
	0			1+ x
	0
	10			x2			dx
17.	ln
17.	ln		4
	2		4
	2

10x2 − 2

19.1 x(1+ x)2 dx

21.	5	(x2 + x +1) exp(−x)dx
	0
23.	5		x	dx
23.	5	3		dx
	0	1 + x
	0
	6	x2 dx				dx
25.

		1 + x			3
	0	1 + x

2.	6	x3 exp(−x)dx
	0
4.	5		x2				dx


		1+ x			3
	0	1+ x
6.	4	x ln(x2 +1)dx
	0
	1
	1			x
8.				x				dx

		1− x + x					2
	0	1− x + x
	0
10. 7			dx					=0,3398

		1 + 4x				2
	0	1 + 4x

12. 6 e x −1dx

10ln xdx

14.1 x(1+ ln x)

3	3		2		1
16. x		+ 2x		+		dx
16. x		+ 2x		+	x	dx
1					x

6x2 dx

18.0 1+ x3

20.	4	x2 2x dx
	0
22.	5	dx
		1+ x3
	0
	4
24.			xdx	dx
			3
	0	1 + x

Соседние файлы в папке а14

#
09.06.202628.31 Кб0лаб 14 ЧМ.xlsx
#
09.06.2026350.85 Кб0лаб14 ЧМ.docx
#
31.05.2026425.68 Кб0Числ_мет_лабораторный_практикум_ч2_64_77.pdf