Добавил:

Pug_Chomp Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Челябинский Государственный Университет

Предмет:

Численные методы математического моделирования

Файл:

а13 / Числ_мет_лабораторный_практикум_ч2_56_63

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2026

Размер:

689.64 Кб

Скачать

☆

Лабораторная работа № 13

Наилучшее приближение

1. Общие сведения

Наилучшее приближение

Если табличные значения функции y0=f(x0), y1=f(x1), …, yn=f(xn) для различ-

ных значений аргумента: x0<x1<…<xn получены из эксперимента и содержат случайные погрешности, то требование выполнения условий интерполяции может оказаться нецелесообразным, поскольку вид интерполирующей функции будет сильно искажен.

В таких случаях применяются другие критерии, позволяющие выполнить приближение функции в некотором смысле наилучшим образом. Часто исполь-

зуется требование минимизации суммы квадратов уклонений аппроксимирую-

щей функции от экспериментальных значений (метод наименьших квадратов).

Наиболее просто задача построения наилучшего приближения методом наименьших квадратов решается тогда, когда аппроксимирующая функция

Φm(x) является обобщенным многочленом (13.1).

	m	(x)
	m

a		(x) a (x) ... a	m		m	(x)
0	0	1 1	m		m

m a j j (x) j 0

(13.1)

где j – базисные функции, а параметры aj для j=0, 1, …, m следует выбирать из условия минимизации суммы квадратов уклонений обобщенного многочлена от табличных значений функции yi=f(xi) i=0,1, …, n. Таким образом, задача по-

строения наилучшего приближения сводится к поиску минимума функции s(a0 , a1 ,..., am , y0 , y1 ,..., yn ) , равной упомянутой сумме квадратов (13.2) [4].

s(a0 , a1 ,..., am , y0 , y1 ,..., yn ) m (xi )

i 0

2	n	m			2
yi			j	(xi		(13.2)
yi	a j		j	(xi	) yi .	(13.2)
	i 0	j 0

Приравнивая к нулю частные производные функции s по параметрам aj

(13.3)

sak


		a
		a
		k

n	m					2
n	m
		a		(x ) y
		j	j	i	i
i 0	j 0

	n			m
2			(x )		a		(x )
		k	i		j	j	i

	i 0			j 0

y
y	i

(13.3)

k=0,1, …, m

получим следующую систему из m+1 линейного алгебраического уравнения для m+1 неизвестного параметра aj (13.4)

m		n				n
	a		(x )		(x )	y		(x ),
		j k	i	j	i	i	k	i
j 0		i 0				i 0

k=0,1, …, m.

(13.4)

Данная система называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Если в качестве базисных функций используются алгебраические многочлены степени m<n, то φk(x)=xk и φj(x)=x j и нормальная система принима-

ет вид (13.5)

m	n		n
j i			i i
a	x	k j	k	,
a	x		y x	,
j 0	i 0		i 0

k=0,1, …, m.

(13.5)

В случае m=1 получаем многочлен 1-й степени P1(x)=a0+a1x, а неизвестные коэффициенты a0 и a1 определяются из системы(13.6)

				n			n
				n			n
a	(n 1) a				x		y	,	k 0,
0			1	i			i
				i 0			i 0
	n		n				n
	n		n				n
a	x a			x	2		y x ,		k 1.
a	x a			x			y x ,		k 1.
0	i	1	i			i		i
	i 0		i 0				i 0

(13.6)

В случае m=2 имеем многочлен 2-й степени P2(x)=a0+a1x+a2x2 и нормаль-

ная система для определения a0, a1 и a2 принимает вид (13.7)

(n 1) a

x a

k 0,

1 i

i 0

x a

y x

k 1,

i 0

k 2.

y x

i 0

(13.7)

В случае m=3 аппроксимация выполняется многочленом 3-й степени

P3(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3 и нормальная система для определения a0, a1, a2 и a3

имеет вид (13.8)

1 i

3 i

(n 1) a

x a

k 0,

i 0

0 i

1 i

2 i

3 i

x a

y x

k 1,

i 0

y x

k 2,

i 0

y x

k 3.

i 0

(13.8)

Определение параметров аппроксимирующего многочлена требует вычисления значений коэффициентов и свободных членов для нормальной системы уравнений. Результаты вычислений оформляются в виде табл. 13.1. Столбцы xi

и yi содержат значения исходной функции и соответствующих аргументов.

Остальные столбцы заполняются так, чтобы суммы их элементов давали значения коэффициентов нормальной системы, которые записываются в последней строке таблицы.

Таблица 13.1 Вычисление коэффициентов и свободных членов нормальной системы уравне-

ний

№

…

y x

…

y x

п/п

…

y x

…

y x

…

y x

1 1

…

y2 x2

…

y2 x2

…

n-1

…

n 1

…

y x

…

n n

…

i 0

2.Задания

1.По заданным в варианте задания табличным значениям xi и f(xi) (i=0, 1, …, 10), используя метод наименьших квадратов, построить многочлены наилучшего приближения 1-й, 2-й и 3-й степеней.

2.Вычислить значения полученных многочленов для указанных в варианте задания значений аргументов.

3.Построить графики аппроксимирующих многочленов 1-й, 2-й и 3-й степе-

ней, и указать на этих графиках точки, соответствующие табличным значе-

ниям функции.

3.Пример выполнения задания

Пример.

1.Для функции, заданной в таблице 13.2, используя метод наименьших квад-

ратов, построить многочлены наилучшего приближения 1-й, 2-й и 3-й сте-

пеней.

2.C помощью полученных многочленов вычислить значения функции f(x) для указанных в таблице значений аргументов.

3.Построить графики аппроксимирующих многочленов и указать на этих гра-

фиках точки, соответствующие табличным значениям функции.

Таблица 13.2

Таблица функции f(x)

xi	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	4	8
f(xi)	3	2	1	0	2	4	6	7	6	5	-1	?	?

Заполняется таблица 13.1, адаптированная для условий, указанных в зада-

нии (см. табл. 13.3), и вычисляются суммы элементов столбцов.

Таблица 13.3

Вычисление коэффициентов нормальной системы уравнений

№	x		2	3	4	x	5	6	y		y	x		y x	2	y x	3
		i	xi	xi	xi		i	xi		i			i				i
											i			i i		i

0	1		1	1	1		1	1	3			3			3		3
	2		4	8	16		32	64	2			4			8	16
1
	3		9	27	81	243		729	1			3			9	27
2
	4		16	64	256	1024		4096	0			0			0		0
3
	5		25	125	625	3125		15625	2		10			50		250
4
	6		36	216	1296	7776		46656	4		24			144		864
5
	7		49	343	2401	16807		117649	6		42			294		2058
6
	8		64	512	4096	32768		262144	7		56			448		3584
7
	9		81	729	6561	59049		531441	6		54			486		4374
8
	10		100	1000	10000	100000		1000000	5		50			500		5000
9
	11		121	1331	14641	161051		1771561	-1		-11			-121		-1331
10

	66		506	4356	39974	381876		3749966	35		235			1821		14845

Составляются нормальные системы уравнений для значений m=1, m=2 и m=3 и определяются значения параметров многочлена.

Нормальная система уравнений для m=1


11∙a0	+ 66∙a1	=35		a0=1,81818
66∙a0 +506∙a1		=235		a1=0,22727
	Нормальная система уравнений для m=2
11∙a0	+ 66∙a1		+	506∙a2	= 35	a0=-0,87879
66∙a0	+ 506∙a1		+ 4356∙a2		= 235	a1=1,472028
506∙a0	+ 4356∙a1		+39974∙a2		=1821	a2=–0,10373

		Нормальная система уравнений для m=3
11∙a0	+	66∙a1	+ 506∙a2	+	4356∙a3	=	35	a0=8,984848
66∙a0	+	506∙a1	+ 4356∙a2	+ 39974∙a3		=	235	a1=-6,67541
506∙a0	+ 4356∙a1		+ 39974∙a2	+	381876∙a3	=	1821	a2=1,522145
4356∙a0	+ 39974∙a1		+381876∙a2	+3749966∙a3		= 14845		a3=-0,09033

Вычисляется значения многочленов в точках, указанных в варианте зада-

ния.

xi	4	8

f(xi)	0	7

P1(xi)	2,727273	3,636364

P2(xi)	3,34965	4,258741

P3(xi)	0,856643	6,751748

Графики многочленов и исходные данные изображены на рис 13.1.
y=f(x)
8
7
6
5
4							f(x)
4
							m=1
3							m=2
2							m=3
2
1
0							x
0	2	4	6	8	10	12	x
-1
-2
Рисунок 13.1. Графики многочленов наилучшего приближения

4. Варианты заданий

Таблица 13.4

Таблица функций

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

xi	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	2	10
Вариант 1
f(xi)	3	2	1	0	2	4	6	7	6	5	-1	?	?
xi	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0	7
Вариант 2
f(xi)	2	0	-1	0	2	4	6	7	6	5	-1	?	?
xi	-2	-1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	-1	8
Вариант 3
f(xi)	2	0	-1	0	2	8	9	10	8	5	4	?	?
xi	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	-2	6
Вариант 4
f(xi)	6	0	0	3	7	8	9	9	8	5	4	?	?
xi	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	-0,3	0,5
Вариант 5
f(xi)	6	4	2	0	7	8	6	5	2	0	-1	?	?
xi	-0,5	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	-0,4	0,4
Вариант 6
f(xi)	6	4	3	1	0	1	2	3	2	0	-1	?	?
xi	-0,5	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	-0,5	0,3
Вариант 7
f(xi)	5	4	3	1	-1	0	2	5	2	0	-1	?	?
xi	-0,7	-0,6	-0,5	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1	0	0,1	0,2	0,3	-0,6	0,1
Вариант 8
f(xi)	6	3	1	0	-1	0	2	5	2	0	-1	?	?
xi	-0,8	-0,7	-0,6	-0,5	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1	0	0,1	0,2	-0,7	0,1
Вариант 9
f(xi)	7	3	0	-1	0	1	2	5	2	0	-1	?	?
xi	-0,9	-0,8	-0,7	-0,6	-0,5	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1	0	0,1	-0,6	0,1
Вариант 10
f(xi)	8	3	0	-2	0	1	2	3	2	0	-1	?	?
xi	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	8
Вариант 11
f(xi)	7	2	-1	-2	0	1	3	4	5	2	-1	?	?
xi	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	2	10
Вариант 12
f(xi)	7	5	3	-2	0	1	3	4	5	2	-1	?	?
xi	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	3	11
Вариант 13
f(xi)	2	0	-3	-5	0	1	3	4	7	9	-1	?	?
xi	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	5	10
Вариант 14
f(xi)	1	0	-3	-5	-7	-6	3	4	7	9	-1	?	?

xi	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	4	12
Вариант 15
f(xi)	2	0	-4	-5	-9	-6	-3	4	7	9	-1	?	?
xi	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	6	10
Вариант 16
f(xi)	1	0	-3	-4	-6	-5	-3	4	7	9	-1	?	?
xi	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	7	15
Вариант 17
f(xi)	2	1	0	-3	-6	-5	-3	4	7	8	-1	?	?
xi	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	0,5	4,5
Вариант 18
f(xi)	3	2	0	-2	-6	-5	-3	4	7	8	-1	?	?
xi	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	1,5	4,5
Вариант 19
f(xi)	1	0	-1	-3	-6	-5	-3	4	8	7	-1	?	?
xi	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1	0,1	0,8
Вариант 20
f(xi)	7	6	5	4	3	4	5	6	5	4	-1	?	?
xi	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1	0,2	0,8
Вариант 21
f(xi)	6	5	4	3	2	3	5	6	5	4	1	?	?
xi	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1	0,2	0,9
Вариант 22
f(xi)	8	6	4	2	1	3	5	7	5	4	1	?	?
xi	1	1,2	1,4	1,6	1,8	2	2,2	2,4	2,6	2,8	3	1,4	2,8
Вариант 23
f(xi)	9	7	5	3	1	3	6	7	6	4	1	?	?
xi	2	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9	3	2,3	2,9
Вариант 24
f(xi)	10	8	6	4	1	4	7	8	6	4	1	?	?
xi	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	1,4	1,6	1,8	2	0,2	1,6
Вариант 25
f(xi)	6	5	4	2	0	4	9	7	6	4	1	?	?

Соседние файлы в папке а13

#
09.06.202614.83 Кб0лаб 13 ЧМ.xlsx
#
09.06.202639.06 Кб0лаб13 ЧМ.docx
#
31.05.2026689.64 Кб0Числ_мет_лабораторный_практикум_ч2_56_63.pdf