2 |
5 |
|
-1/8 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
1/24 |
|
|
4 |
3 |
|
1/8 |
|
-1/70 |
|
|
|
-1/2 |
|
-7/120 |
|
471/40320 |
6 |
2 |
|
-1/6 |
|
57/720 |
|
|
|
-1 |
|
10/24 |
|
|
7 |
1 |
|
3/2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cтроится таблица 12.8, содержащая сомножители вида x–xi для i=0, 1, ..., k-1. Первая строка таблицы предназначена для вычисления слагаемого f(x0).
Таблица 12.8
Вычисление элементов формулы Ньютона
k |
x |
x–2 |
x–4 |
x–6 |
x–7 |
Разности |
i |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
-1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
x–2 |
|
… |
|
-1/8 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
x–2 |
x–4 |
|
|
1/24 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x |
x–2 |
x–4 |
x–6 |
… |
-1/70 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
x |
x–2 |
x–4 |
x–6 |
x–7 |
471/40320 |
|
|
|
|
|
|
|
Для получения многочлена Ньютона необходимо вычислить сумму произ-
ведений элементов строк табл. 12.4.
P (x) 6 |
|
1 |
x |
1 |
x(x 2) |
1 |
x(x 2)(x 4) |
1 |
x(x 2)(x 4)(x 6) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
2 |
|
8 |
|
24 |
|
70 |
|
|
||
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
471 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x(x 2)(x 4)(x 6)(x 7) |
|
|
|
|||||||
40320 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
Таблица 12.6
Значение интерполяционного многочлена Ньютона в узлах таблицы
xi |
0 |
2 |
4 |
6 |
7 |
8 |
f(xi) |
6 |
5 |
3 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
P5(xi) |
6 |
5 |
3 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Значения многочлена в точках x=1 и x=5,6.
P5(1)=7,0156,
P5(5,6)= 2,4193.
Таким образом, полученные значения полностью совпадают с вычис-
ленными ранее по формуле Лагранжа, что и должно происходить в силу единственности интерполяционного многочлена. Раскрыв скобки и приве-
дя подобные легко убедиться, что многочлен Ньютона представляется в виде
P (x) |
157 |
x |
5 |
|
635 |
x |
4 |
|
41 |
x |
3 |
|
3469 |
x |
2 |
|
3943 |
x 6. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
13440 |
|
|
|
2688 |
|
|
|
24 |
|
|
|
672 |
|
|
|
840 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иполностью совпадает с многочленом Лагранжа.
4.Варианты заданий
Таблица 12.7
Таблица значений аргументов и функций
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1,5 |
5,23 |
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
0 |
? |
? |
xi |
-2 |
-1 |
0 |
2 |
4 |
5 |
-1,5 |
3 |
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
3 |
4 |
6 |
5 |
2 |
-1 |
? |
? |
xi |
-3 |
-1 |
0 |
2 |
3 |
5 |
-2 |
3,11 |
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
2 |
4 |
6 |
7 |
2 |
-3 |
? |
? |
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2 |
5,43 |
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
? |
? |
xi |
0 |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2 |
4,12 |
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
2 |
3 |
4 |
3 |
2 |
0 |
? |
? |
xi |
0 |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2 |
5,16 |
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
1 |
2 |
5 |
3 |
2 |
1 |
? |
? |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5,17 |
3,5 |
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
2 |
3 |
5 |
3 |
2 |
2 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
-1 |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
5,33 |
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
2 |
3 |
4 |
3 |
2 |
1 |
? |
? |
xi |
0 |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2 |
0,17 |
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
-1 |
0 |
4 |
3 |
2 |
-1 |
? |
? |
xi |
2 |
3 |
5 |
7 |
8 |
9 |
4 |
8,14 |
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
0 |
1 |
4 |
3 |
0 |
-3 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
-1 |
0 |
2 |
4 |
5 |
6 |
1 |
4,13 |
Вариант 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
0 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
-2 |
-1 |
0 |
2 |
4 |
5 |
1 |
3,24 |
Вариант 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
2 |
4 |
7 |
5 |
1 |
-1 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
-3 |
-1 |
0 |
2 |
3 |
5 |
-2 |
2,15 |
Вариант 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
1 |
3 |
5 |
7 |
2 |
-3 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2 |
4,17 |
Вариант 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2 |
5,13 |
Вариант 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
5 |
3 |
2 |
3 |
4 |
6 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
3 |
5 |
7 |
8 |
2 |
7,24 |
Вариант 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
1 |
2 |
5 |
3 |
2 |
3 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
6 |
1,5 |
Вариант 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
2 |
3 |
5 |
3 |
2 |
-1 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
xi |
-2 |
-1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
4,33 |
Вариант 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
2 |
3 |
4 |
3 |
2 |
1 |
? |
? |
xi |
0 |
1 |
3 |
5 |
6 |
7 |
2 |
5,16 |
Вариант 19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
-2 |
0 |
4 |
3 |
2 |
1 |
? |
? |
xi |
2 |
3 |
5 |
7 |
8 |
9 |
4 |
8,25 |
Вариант 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
2 |
1 |
0 |
-2 |
1 |
4 |
? |
? |
xi |
-1 |
0 |
1 |
4 |
5 |
6 |
3 |
5,55 |
Вариант 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
2 |
3 |
5 |
4 |
1 |
0 |
? |
? |
xi |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
3,5 |
6,74 |
Вариант 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
2 |
4 |
7 |
5 |
1 |
-1 |
? |
? |
xi |
-3 |
-1 |
0 |
3 |
5 |
7 |
-2 |
6,35 |
Вариант 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
1 |
3 |
5 |
7 |
2 |
-3 |
? |
? |
xi |
0 |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2 |
4,15 |
Вариант 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
2 |
1 |
1 |
2 |
3 |
6 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2 |
5,65 |
Вариант 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
5 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
? |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54