Лабораторная работа № 10
Методы решения нелинейных уравнений с большой скоростью
сходимости
1. Общие сведения
Методы с большой скоростью сходимости
Рассмотренные в предыдущей работе простейшие методы решения нели-
нейных уравнений позволяют вычислить значение корня уравнения с любой требуемой абсолютной погрешностью. Главным недостатком этих методов яв-
ляется большое число итераций, требующихся для получения заданной точно-
сти. На практике часто применяются более сложные методы, позволяющие су-
щественно ускорить вычисления. К таким методам можно отнести метод Нью-
тона, метод секущих и метод хорд, которые также требуют предварительного применения процедуры отделения корней.
В дальнейшем будем предполагать, что для нелинейного уравнения вида f(x)=0, (10.1)
где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или беско-
нечном интервале a<х<b, известны частичные отрезки, каждый из которых со-
держит ровно один корень.
Метод Ньютона
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b], причем суще-
ствуют непрерывные производные f'(x) и f"(x) при a≤x≤b. Тогда, найдя какое-
нибудь n-е приближенное значение корня xn, можно уточнить его, применяя формулу Ньютона (10.2)
xn 1 |
xn |
|
f (xn ) |
(10.2) |
|
f (xn ) |
|||||
|
|
|
|
Процесс итераций сходится при выполнении следующих условий [4]: 1. f(a)f(b)<0;
16
2.производные f'(x) и f"(x) отличны от нуля и сохраняют определен-
ные знаки при a≤x≤b;
3.начальное приближение x0, принадлежит отрезку [a,b] и удовлетво-
ряет неравенству f(x0)f"(x0)>0.
Результаты вычислений отдельно для каждого корня уравнения следует расположить в табл. 10.1
Таблица 10.1
Уточнение корня методом Ньютона
n |
xn |
f(xn) |
f'(xn) |
– f(xn)/f'(xn) |
ε |
|
|
|
|
|
|
0 |
x0 |
f(x0) |
f'(x0) |
– f(x0)/f'(x0) |
|
1 |
x1 |
f(x1) |
f'(x1) |
– f(x1)/f'(x1) |
|x1-x0| |
2 |
x2 |
f(x2) |
f'(x2) |
– f(x2)/f'(x2) |
|x2-x1| |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
k |
xk |
f(xk) |
f'(xk) |
– f(xk)/f'(xk) |
|xk-xk-1| |
|
|
|
|
|
|
Метод секущих
Метод Ньютона демонстрирует высокую скорость сходимости, однако при выполнении итераций требуется вычисление производной функции f'(x). Если вычисление производной по каким-либо причинам нежелательно, то можно ис-
пользовать методы, требующие вычисления только значений функции, однако сохраняющие относительно высокую скорость сходимости. Одним из таких ме-
тодов является метод секущих. В методе секущих итерационная формула обычно записывается в виде [3] (10.3)
x |
n 1 |
x |
n |
|
|
|
|
f (x |
n |
)(x |
n |
x |
n 1 |
) |
|||
|
|
|
|
|
|||||
f (x |
n |
) f (x |
n 1 |
) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
,
(10.3)
а для начала вычислений требуется знать два приближения x0 и x1, которые вы-
бираются аналогично тому, как это делалось в методе Ньютона.
Результаты вычислений отдельно для каждого корня уравнения следует расположить в табл. 10.2.
17
Уточнение корня методом секущих
|
|
|
|
|
|
f (x )(x |
|
|
x |
|
|
|
) |
||||||
n |
xn |
f(xn) |
f(xn)–f(xn-1) |
xn–xn-1 |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
f (x |
|
) f (x |
|
|
|
) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
n 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
x0 |
f(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x )(x |
|
|
x |
) |
|
||||||||
1 |
x1 |
f(x1) |
f(x1)–f(x0) |
x1–x0 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
f (x ) f (x |
) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x )(x |
|
|
x ) |
|
|||||||||
2 |
x2 |
f(x2) |
f(x2)–f(x1) |
x2–x1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f (x |
|
) f (x ) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
f (x )(x |
|
|
x |
|
|
|
) |
||||||
k |
xk |
f(xk) |
f(xk)–f(xk-1) |
xk–xk-1 |
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
k 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
f (x |
|
) f (x |
|
|
|
) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
k 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 10.2
ε
|x1–x0|
|x2–x1|
…
|xk–xk-1|
Метод хорд
Сходными характеристиками с методом секущих обладает метод хорд.
Пусть требуется найти корень ξ уравнения f(x)=0 на заданном отрезке [а,b] та-
ком, что f(a)f(b)<0. Приближенное значение корня x1 определятся, как точка пе-
ресечения хорды, соединяющей концы кривой A с координатами [a, f(a)] и B с
координатами [b, f(b)], с осью x. Очевидно, что a<x1<b.
В зависимости от свойств функции далее рассматриваются отрезки [а,x1]
или [x1,b] и т.д. и строится последовательность приближений x1, x2, …, xn.
Легко убедиться [4], что при применении данной методики один из концов хорды (A или B) не изменяется в процессе вычислений. Это обстоятельство следует учитывать при выводе и применении расчетных формул. Конец A оста-
ется неподвижным [4], при выполнении условий f(a)f"(x)>0 или f(b)f"(x)<0.
Аналогично конец B остается неподвижным, при выполнении условий f(a)f"(x)<0 или f(b)f"(x)>0. В связи со сказанным выше, целесообразно использо-
вать две формы записи уравнения хорды, а именно (10.4)
x a |
|
y f (a) |
|
b a |
f (b) f (a) |
||
|
(10.4)
18
или (10.5)
x b |
|
y f (b) |
|
b a |
f (b) f (a) |
||
|
(10.5)
Приближенное значение корня x1 можно получить, полагая y=0 в уравне-
ниях (10.4) или (10.5). Тогда координата точки пересечения хорды с осью абс-
цисс для случая (10.4) равна
x |
a |
f (a) |
|
||
1 |
|
f (b) f (a) |
|
|
а в случае (10.5)
x |
b |
f (b) |
|
||
1 |
|
f (b) f (a) |
|
|
(b a)
(b a)
,
.
(10.6)
(10.7)
В том случае, когда конец A остается неподвижным, для построения ите-
рационной формулы используется соотношение (10.7), в котором правый конец отрезка соответствует предыдущему приближению xn, а в качестве начального приближения используется значение b (10.8).
x0 b, |
xn 1 xn |
f (xn ) |
(xn |
a), n=0, 1, 2, … |
(10.8) |
|
f (xn ) f (a) |
||||||
|
|
|
|
|
В том случае, когда конец B остается неподвижным, для построения ите-
рационной формулы используется соотношение (10.6), в котором левый конец отрезка соответствует предыдущему приближению xn, а в качестве начального приближения используется значение a (10.9).
x |
|
a, |
x |
|
x |
|
|
f (x |
n |
) |
|
(b x |
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
n 1 |
n |
f (b) f (x |
|
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0, 1, 2, …
(10.9)
Результаты вычислений отдельно для каждого корня уравнения следует расположить в табл. 10.3, если конец A остается неподвижным.
19
Таблица 10.3
Уточнение корня методом хорд при неподвижном конце A
n |
xn |
f(xn) |
f(xn) – f(a) |
xn – a |
0 |
x0=b |
f(x0) |
f(x0) – f(a) |
x0 – a |
1 |
x1 |
f(x1) |
f(x1) – f(a) |
x1 – a |
2 |
x2 |
f(x2) |
f(x2) – f(a) |
x2 – a |
… |
… |
… |
… |
… |
k |
xk |
f(xk) |
f(xk) – f(a) |
xk – a |
|
|
|
|
|
f (xn )(xn a) f (xn ) f (a)
f (x0 )(x0 a) f (x0 ) f (a)
f (x1 )(x1 a) f (x1 ) f (a)
f (x2 )(x2 a1 ) f (x2 ) f (a)
…
|
f (x )(x |
a) |
|
k |
k |
|
|
|
|
||
|
f (x |
) f (a) |
|
|
k |
|
|
ε
|x1 – x0|
|x2 – x1|
…
|xk – xk-1|
Если конец B остается неподвижным, то результаты вычислений отдельно для каждого корня уравнения следует расположить в табл. 10.4.
Таблица 10.4
Уточнение корня методом хорд при неподвижном конце B
n |
xn |
f(xn) |
f(b) – f(xn) |
b – xn |
0 |
x0=а |
f(x0) |
f(b) – f(x0) |
b – x0 |
1 |
x1 |
f(x1) |
f(b) – f(x1) |
b – x1 |
2 |
x2 |
f(x2) |
f(b) – f(x2) |
b – x2 |
… |
… |
… |
… |
… |
k |
xk |
f(xk) |
f(b) – f(xk) |
b – xk |
|
|
|
|
|
f (xn )(b xn ) f (b) f (xn )
f (x0 )(b x0 ) f (b) f (x0 )
f (x1 )(b x1 ) f (b) f (x1 )
f (x2 )(b x2 ) (b xff )()
2
…
f (xk )(b xk ) f (b) f (xk )
ε
x0=а
|x1 – x0|
|x2 – x1|
…
|xk – xk-1|
20
2.Задания
1.Для указанного в варианте задания нелинейного уравнения на заданном отрезке [a,b] выполнить отделение корней. Оформить результаты в виде табл. 9.1.
2.Построить график функции f(x) и убедиться в правильности отделения корней.
3.Выбрать начальное приближение для значения корня.
4.Проверить выполнение условий сходимости для метода Ньютона в окрестностях каждого корня.
5.Используя метод Ньютона, вычислить значения всех найденных корней с максимальной абсолютной погрешностью 110-6.
6.Проверить правильность решения, подставив значения корней в исходное уравнение.
7.Оформить результаты вычислений в виде табл. 10.1.
8.Используя метод секущих, вычислить значение каждого найденного корня с максимальной абсолютной погрешностью 110-6.
9.Оформить полученные результаты итераций в виде табл. 10.2
10.Проверить правильность решения, подставив значения корней в исходное уравнение.
11.Используя метод хорд, вычислить значение каждого найденного корня с максимальной абсолютной погрешностью 110-6.
12.Оформить полученные результаты итераций в виде табл. 10.3 или 10.4. 13.Проверить правильность решения, подставив значения корней в исходное
уравнение.
14.Вычисления выполнять с 7 десятичными знаками.
3. Пример выполнения задания
На отрезке [0,1] вычислить корни нелинейного уравнения
cosx–x=0 |
(10.10) |
Отделение корней. Выполняется отделение корней. Шаг таблицы выбира-
ется равным 0,1. Результаты размещаются в табл. 10.5
Таблица 10.5
Отделение корней
x |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
|
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sign f(x) |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
– |
– |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
Из табл. 10.5 видно, что уравнение (10.10) имеет один корень на отрезке
[0,7;0,8].
На рис. 10.1 приведен график функции f(x)=cosx – x. Из графика видно, что отрезок [0,7;0,8] содержит единственный корень.
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,2 |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 10.1. График функции f(x)=cosx –x
Пример 1.Метод Ньютона.
Этот метод применяется к отрезку от 0,7 до 0,8, содержащему корень уравнения. Результаты вычислений организуются в виде таблицы 10.1.
Проверяем условия сходимости.
1.Функция на отрезке меняет знак f(0,7) ≈ 0,065, f(0,8) ≈ –0,103, f(0,7)f(0,8)<0.
2.Первая производная f'(x)=–sin x –1. В пределах отрезка отлична от нуля и не меняет знак, т.к. f'(0,7) ≈ –1,644 и f'(0,8) ≈ –1,717.
3.Вторая производная f"(x)=–cos x отлична от нуля и не меняет знак,
т.к. f"(0,7)=–0,764 и f"(0,8)=–0,697.
4.Начальное приближение x0=0,8, принадлежит отрезку [0,1] и удовле-
творяет неравенству f(x0)f"(x0)>0, т.к. f(0,8)=–0,103, а f"(0,8)=–0,697.
22
Результаты размещаем в табл. 10.6. Для проверки правильности вычисле-
ний подставляем полученное значение корня, равное 0,7390851 в исходное урав-
нение f(0,7390851)=5,6 10-8.
|
|
|
|
|
Таблица 10.6 |
|
|
Уточнение корня методом Ньютона |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
xn |
f(xn) |
f'(xn) |
– f(xn)/f'(xn) |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,8 |
-0,1032933 |
-1,7173561 |
-0,0601467 |
|
|
1 |
0,7398533 |
-0,0012858 |
-1,6741796 |
-0,0007680 |
0,06 |
|
2 |
0,7390853 |
-2,2 10-07 |
-1,6736121 |
-0,0000001 |
0,0007 |
|
3 |
0,7390851 |
-6,2 10-15 |
-1,6736120 |
-3,7 10-15 |
2 10-07 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Метод секущих.
Вычисления организуются аналогично методу Ньютона. В качестве начальных приближений выбраны x0=0,8 и x1=0,75. Результаты размещаются в табл. 10.7. Для проверки правильности вычислений подставляем полученное значение корня, равное 0,7390851 в исходное уравнение f(0,7390851)=5,6 10-8.
|
|
|
|
|
|
Таблица 10.7 |
|||
|
|
Уточнение корня методом секущих |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
xn |
f(xn) |
f(xn)‒f(xn-1) |
xn–xn-1 |
|
f (xn )(xn xn 1 ) |
|
ε |
|
f (xn ) f (xn 1 ) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,8 |
-0,1032933 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,75 |
-0,0183111 |
0,0849822 |
-0,05 |
|
-0,0107735 |
|
|
|
2 |
0,7392265 |
-0,0002366 |
0,0180746 |
-0,0107735 |
|
-0,0001410 |
0,01 |
|
|
3 |
0,7390855 |
-0,0000006 |
0,0002360 |
-0,0001410 |
|
-0,0000003 |
0,0001 |
|
|
4 |
0,7390851 |
0 |
0,0000006 |
-0,0000003 |
|
0 |
3 10-07 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Метод хорд.
Для вычислений по методу хорд следует выбрать один из вариантов рас-
четных формул (10.8) или (10.9). Для выбора определим, какой из концов кри-
вой остается неподвижным. Конец A остается неподвижным, при выполнении
23
условий f(0,7)f"(x)>0, а конец B остается неподвижным, при выполнении усло-
вий f(0,7)f"(x)<0. Поскольку вторая производная отрицательна на рассматрива-
емом отрезке, а значение f(0,7) ≈ 0,065>0, то выполняется условие неподвижно-
сти конца B. Следовательно, вычисления должны выполняться в соответствии с соотношениями (10.9), а результаты вычислений организуются в виде табл. 10.4. В качестве начального приближения выбирается x0=0,7. Для провер-
ки правильности вычислений подставляем полученное значение корня, равное
0,7390851 в исходное уравнение f(0,7390851)=5,6 10-8.
Таблица 10.6
Уточнение корня методом хорд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x )(b x |
) |
||
|
n |
|
xn |
|
|
|
|
|
|
f(xn) |
|
|
f(b) – f(xn) |
b – xn |
n |
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (b) |
f (x |
) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
0 |
|
|
|
0,7 |
|
0,0648422 |
|
-0,1681355 |
0,1 |
|
-0,03857 |
||||||||||
|
1 |
0,7385654 |
|
0,0008697 |
|
-0,1041630 |
0,0614346 |
|
-0,00051 |
|||||||||||||
|
2 |
0,7390784 |
|
0,0000113 |
|
-0,1033046 |
0,0609216 |
|
-6,7 10-06 |
|||||||||||||
|
3 |
0,7390850 |
|
0,0000001 |
|
-0,1032934 |
0,0609150 |
|
-8,7 10-08 |
|||||||||||||
|
4 |
0,7390851 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
-0,1032933 |
0,0609149 |
|
-1,1 10-09 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
Варианты заданий |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вариант |
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|||||||||
1. |
|
x |
2 |
cos |
2 |
( x) 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
|
2e x 1 1, 5x3 0 |
|
|
|
-4 |
|
-2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
|
e |
2 x |
5 |
|
|
x 3cos x 9,5 0 |
|
|
2 |
|
|
6 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
|
x |
2 |
4sin x 1 0 |
|
|
|
-3 |
|
|
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
|
2e x 1 2x3 0 |
|
|
|
|
|
-5 |
|
-1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
|
(x 1) |
2 |
0, 95e |
x |
1 0 |
|
|
0 |
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
|
2e x 0, 5 2, 5x3 0 |
|
|
|
-6 |
|
-1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
|
(x 1) |
2 |
0, 5e |
x |
2 0 |
|
|
|
-1 |
|
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε
0,04
0,0005 6,7 10-06 8,7 10-08
24
9. |
1,12x |
5 |
2, 5x |
2 |
0, 2 |
0 |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
2e |
x |
1 3x |
3 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
x |
2 |
3, 4 sin x 2 0 |
|
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
2e |
x |
|
3, 5x |
3 |
0, 5 0 |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
x |
2 |
1, 2 sin x 2,1 0 |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.0, 25ex sin x 0, 2x2 0,1 0
15.x5 3x2 1 0
16. |
5x |
3 |
2x |
2 |
15x |
6 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
x |
4 |
(x 0, 58) |
2 |
1 0 |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2x |
2 |
10x |
5 0 |
|
|||||||||||
18. |
3x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
2, 4x |
5 |
3x |
2 |
1 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
x |
2 |
1, 2 sin x 2, 5 0 |
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. |
0, 05e |
x |
sin |
2 |
x 0, 5x |
3 |
0 |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
x |
5 |
2(x |
0, 2) |
4 |
2, 5 0 |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
x |
2 |
3sin(0, 9x) 1 0 |
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
0, 3e |
x |
sin |
2 |
x |
0, 5x |
2 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. |
(x 0,1) |
2 |
e |
x |
|
sin(x 0, 3) 0, 5 0 |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
0 |
2 |
-6 |
-1 |
-3 |
1 |
-6 |
-1 |
-2 |
2 |
0 |
2 |
0 |
2 |
-2 |
0 |
-2 |
2 |
-2 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
2 |
-2 |
0 |
-3 |
0 |
-1 |
2 |
-2 |
0 |
-1 |
1 |
|
|