8 / Числ_мет_лабораторный_практикум_ч1_92_98

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8 Определение максимального собственного значения матрицы

1. Общие сведения

Собственные векторы и собственные значения. Собственным вектором матрицы A называется любой ненулевой вектор x, для которого выполняется равенство

Число λ называется собственным значением матрицы A, соответствующим собственному вектору x. Таким образом, собственные векторы матрицы A являются ненулевыми решениями приведенного выше матричного уравнения, которое принято записывать в следующей форме:

где матрица A – λE называется характеристической матрицей для матрицы A. Уравнение (8.2) является линейной однородной системой, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Определитель det(A – λE) называется характеристическим определителем, а уравнение

называется характеристическим уравнением. Решение характеристического уравнения дает возможность найти собственные значе-

92

ния матрицы, а затем определить соответствующие собственные векторы.

Задачу поиска всех собственных значений и собственных векторов матрицы принято называть полной проблемой определения собственных значений. Решение полной проблемы определения собственных значений требует выполнения громоздких вычислений и отличается большой трудоемкостью.

При решении прикладных задач часто достаточно знания только некоторых собственных значений и собственных векторов матрицы. Такую задачу принято называть частичной проблемой определения собственных значений. Частичная проблема обычно решается на основе применения итерационных методов, позволяющих вычислить максимальное собственное значение матрицы, которая обладает полной системой линейно независимых собственных векторов x(1), x(2), …, x(n). Соответствующие собственные значения обозначим λ1,

λ2, …, λn,

Для построения итерационной схемы предположим, что

1 2 ... n .

Возьмем произвольный вектор y и разложим его по собственным векторам матрицы А (8.4)

j 1

где cj — постоянные коэффициенты. Умножив обе части равенства на матрицу A, будем иметь

Последовательно умножая вектор y на матрицу A, получим Ау, А2у, …, Аmу, находим:

Выберем в n-мерном пространстве базис e1, e2, …, en, тогда вектор y(m) = A my можно представить с помощью координат в этом базисе (8.7).

93

Выполняя разложение собственных векторов матрицы по тому же базису, будем иметь (8.8)

i 1

Заменяя в (8.7) собственные векторы их разложениями по базису, получим (8.9)

j 1

Разделив вторую сумму на первую, а также предполагая с1 ≠ 0,

получим (8.12) [3].

Отсюда, переходя к пределу при m → ∞ и учитывая, что λ1 наибольшее собственное значение, получим

y(m 1)

lim i (m) 1 . (8.13)

m yi

Взяв достаточно большое значение m, можно определить наибольшее собственное значение матрицы с произвольной точностью.

Вектор (8.14) представляет собой собственный вектор матрицы, соответствующий максимальному собственному числу.

94

2.Задания

1.Итерационным методом определить наибольшее по модулю собственное значение матрицы, указанной в варианте задания, с абсолютной погрешностью ε, не превышающей 1 × 10–5.

2.Оформить полученное решение в виде табл. 8.1 для матрицы размером 3×3.

3.Вычислить собственный вектор, соответствующий полученному собственному значению.

4.Проверить правильность результатов подстановкой полученного собственного значения и координат собственного вектора в равенство (8.1).

95

3. Пример выполнения задания

Вычислить максимальное собственное значение и соответствующий собственный вектор для матрицы A с абсолютной погрешностью ≤ 1 × 10–5

Таблица 8.2

Вычисление максимального собственного значения матрицы

Собственное значение λ1 = 8,80304. Соответствующий собствен-

ный вектор x = y(8) = (43009022,2; 31804612,9; 32115712,47) или,

поскольку собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя, можно принять его максимальную координату за 1, тогда x = (1; 0,739487; 0,746720).

Для проверки подставим полученные результаты в равенство (8.2):

Равенство (8.2) выполняется с указанной в задании погрешностью.

96

4. Варианты заданий

97