Добавил:

Pug_Chomp Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Челябинский Государственный Университет

Предмет:

Численные методы математического моделирования

Файл:

6 / Числ. мет лабораторный практикум ч1-71-76

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2026

Размер:

1.19 Mб

Скачать

☆

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 Метод прогонки

1. Общие сведения

Метод прогонки. Метод прогонки является модификацией метода Гаусса, предназначенной для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. В таких случаях ненулевые элементы расположены только на главной и двух соседних диагоналях матрицы системы.

Развернутый вид системы из N + 1 уравнения с N + 1 неизвестными y0, y1, …, yN приведен в (6.1).

y0	1 y1	0	0	...	0	0	0	1
a1 y0	c1 y1	b1 y2	0	...	0	0	0	f1
0	a2 y1	c2 y2	b2 y3	...	0	0	0	f2	, (6.1)
									, (6.1)
...	...	...	...	... ...		...	...	...
0	0	0	0	...	aN 1 yN 2	cN 1 yN 1	bN 1 yN	f N 1
	0	0	0	...	0	2 yN 1	yN	2
0	0	0	0	...	0	2 yN 1	yN	2

где aj, bj, cj (j = 1, 2, …, N – 1), λ1, λ2 — известные коэффициенты, а fj (j = 1, 2, …, N – 1), μ1 и μ2 — свободные члены уравнений.

Первое и последнее уравнения связывают по два неизвестных, а в остальных уравнениях связаны три неизвестных. Учитывая это обстоятельство, систему (6.1) можно записать в компактной форме

(6.2)

aj yj 1 cj yj bj yj 1 f j ,j = 1, 2, …, N – 1,
y0 1 y1 1 ,	(6.2)
yN 2 yN 1 2 .

Решение (6.2) выполняется методом Гаусса с учетом специального вида матрицы системы и состоит из прямого и обратного хода. Результаты решения размещаются в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Решение СЛАУ методом прогонки

αj

βj

y0 1 y1

–c1

1 1

y1 2 y2 2

–c

a1 1 f1

c a

c1 1a1

3 3

…

N – 1

aN – 1

–cN – 1

bN – 1

fN – 1

N 1

bN 2

N 1

aN 2 N 2 fN 2

yN 1 N yN N

cN 2 N 2aN 2

bN 1

aN 1 N 1 fN 1

2 N 2

cN 1 N 1aN 1

1 2 N

В прямом ходе по формулам (6.3) вычисляются вспомогательные коэффициенты αj и βj (j = 1, 2, …, N – 1), называемые коэффициентами прогонки [1].

1 1 , 1 1 ,

j 1 c j j j a j ,

j 1	a j j f j	, для j = 1, …, N – 1.	(6.3)
	c j j a j

В обратном ходе неизвестные, входящие в систему уравнений, определяются по формулам (6.4), начиная с yN.

yN	2 N 2	,yj j 1 yj 1 j 1 , j = N – 1, N – 2, …, 0. (6.4)

	1 2 N

2.Задания

1.Методом прогонки решить систему уравнений (6.2) для значений коэффициентов, указанных в варианте задания. Принять значение N равным 30.

2.Оформить полученное решение в виде табл. 6.1.

3.Построить и включить в отчет график зависимости yj от j.

3.Пример выполнения задания

1, b

1, c

(2 p

), p

10/(14,5 j)2

0,1

1 1, 2 0, 2 1.

Таблица 6.2

Пример решения СЛАУ методом прогонки

j	aj	cj	bj	fj	αj	βj	yj
0							2,4717
1	1	2,0549	1	0,1	1	1	1,4717
2	1	2,0640	1	0,1414	0,9480	0,8532	0,6525
3	1	2,0756	1	0,1732	0,8960	0,6378	0,0164
4	1	2,0907	1	0,2	0,8478	0,3938	–0,4452

Окончание табл. 6.2

j	aj	cj	bj	fj	αj	βj	yj
5	1	2,1108	1	0,2236	0,8045	0,1560	–0,7472
6	1	2,1384	1	0,2449	0,7655	–0,0518	–0,9084
7	1	2,1778	1	0,2646	0,7284	–0,2161	–0,9504
8	1	2,2367	1	0,2828	0,6900	–0,3317	–0,8968
9	1	2,3306	1	0,3	0,6465	–0,3973	–0,7725
10	1	2,4938	1	0,3162	0,5938	–0,4141	–0,6037
11	1	2,8163	1	0,3317	0,5263	–0,3844	–0,4167
12	1	3,6000	1	0,3464	0,4367	–0,3127	–0,2383
13	1	6,4444	1	0,3606	0,3161	–0,2084	–0,0947
14	1	42,000	1	0,3742	0,1632	–0,0928	–0,0115
15	1	42,000	1	0,3873	0,0239	–0,0112	–0,0122
16	1	6,4444	1	0,4	0,0238	–0,0095	–0,1131
17	1	3,6000	1	0,4123	0,1557	–0,0638	–0,3169
18	1	2,8163	1	0,4243	0,2903	–0,1382	–0,6154
19	1	2,4938	1	0,4359	0,3959	–0,2227	–0,9919
20	1	2,3306	1	0,4472	0,4767	–0,3139	–1,4224
21	1	2,2367	1	0,4583	0,5394	–0,4105	–1,8758
22	1	2,1778	1	0,4690	0,5892	–0,5119	–2,3150
23	1	2,1384	1	0,4796	0,6295	–0,6175	–2,6967
24	1	2,1108	1	0,4899	0,6627	–0,7270	–2,9721
25	1	2,0907	1	0,5	0,6906	–0,8404	–3,0869
26	1	2,0756	1	0,5099	0,7142	–0,9573	–2,9816
27	1	2,0640	1	0,5196	0,7345	–1,0777	–2,5920
28	1	2,0549	1	0,5292	0,7522	–1,2015	–1,8486
29	1	2,0476	1	0,5385	0,7676	–1,3285	–0,6774
30					0,7813	–1,4587	1

3,0
3,0				Зависимость yj от j
				Зависимость yj от j
2,0
2,0
1,0
1,0
0,0
0,0
0	5				10	15		20		25			30
j
y
-1,0
-1,0
-2,0
-2,0
-3,0
-3,0													j
													j
-4,0
-4,0				График зависимости y от j
				График зависимости y от j
		4. Варианты заданий
Во всех вариантах заданий aj 1, bj 1,								cj	(2 pj ). Формулы
для вычисления pj, fj и значения λ1, μ1, λ2, μ2 приведены в табл. 6.3.
				Варианты заданий							Таблица 6.3
				Варианты заданий

Вариант		pj					fj		λ1	μ1		λ2			μ2
1									0	0		0		1
1		6 j 2					j2e j		0	0		0		1
2							je 0,1 j		1	1		0		–1,5
2			j				je 0,1 j		1	1		0		–1,5
3							j		1	–1		0		–0,2
		j
		j	j

4		exp( 0,1j)					j		1	1		0		0
5							j		1	2		0		–20
5		j exp( 0,1j)					j		1	2		0		–20

Вариант	pj			fj				λ1	μ1	λ2	μ2
6	cos(0,01j)			10sin(0,01j)				1	0	0	1

7	0,1je 0,1 j			j				1	2	0	0
8	e 0,1 j		0,1					1	–2	0	0
8	e 0,1 j		0,1				j	1	–2	0	0

9	sin(0,02 j)		0,1					1	–1	0	2
9	sin(0,02 j)		0,1				j	1	–1	0	2

10	0,1/sin(0,05j)		0,1					1	0	0	0
10	0,1/sin(0,05j)		0,1				j	1	0	0	0

11	3/ j							1	1	0	0
				0,2
				0,2			j

12	1/(14,5 j)2		0,1					1	1	0	0
12	1/(14,5 j)2		0,1				j	1	1	0	0

13	tg(0,03j)			0,1j				1	2	0	0

14	sin(0,02 j)			0,01j2				1	1	0	0

15	sin(0,02 j)		0,1					5	5	1	1
15	sin(0,02 j)		0,1				j	5	5	1	1

16	1/ j					0 , 1		1	1	0	0
16	1/ j					0 , 1	j	1	1	0	0

17				j				0	1	1,5	1
17		j		j				0	1	1,5	1

18								0	–1	1	0
	j
	j	j			j

19	exp( 0,1j)		1/		j			1	1	1	–1

20	jexp( 0,1j)							0,01	–0,08	0,1	0,1
20	jexp( 0,1j)			0,1/ j				0,01	–0,08	0,1	0,1

21	0,01j			10sin(0,01j)				1	2	0	3

22	0,1jexp( 0,1j)		1/		j 2			1	2	0	1
23	0,1exp( 0,1j)		1					1	2	0	1
24	sin(0,02j)		0,2					1	1	0	–4
24	sin(0,02j)		0,2				j	1	1	0	–4

25	0,1/sin(0,05j)		1/					1	0	1	1
25	0,1/sin(0,05j)		1/				j	1	0	1	1