5 / Числ. мет лабораторный практикум ч1-57-70

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 Вычисление определителя

и обратной матрицы методом Гаусса

1. Общие сведения

Вычисление определителя. Известно, что определитель матрицы A равен произведению ведущих элементов в соответствующей схеме Гаусса (5.1):

Таким образом, для вычисления определителя detА достаточно выполнить прямой ход метода Гаусса для однородной системы линейных уравнений (СЛАУ) (5.2) [3]

и затем найти произведение ведущих элементов. Схема метода Гаусса в этом случае аналогична схеме прямого хода для решения СЛАУ за исключением обработки столбца свободных членов. Контрольные соотношения схемы в основном сохраняются.

Для записи промежуточных результатов целесообразно применять компактную схему метода Гаусса, модифицированную с учетом отсутствия столбца свободных членов. Пример заполнения схемы для матрицы A размером 6×6 (5.3) приведен в табл. 5.1.

57

Порядок заполнения схемы.

Прямой ход.

При выполнении прямого хода необходимо:

1.В раздел I схемы разместить элементы исходной матрицы A в столбцах j = 1, 2, …, 6 и строках i = 1, 2, …, 6. Если веду-

щий элемент a11 близок или равен нулю, то следует выбрать главный элемент в столбце и поменять местами строки.

2.Вычислить элементы Σi (i = 1, 2, …, 6) столбца Σ, просуммировав все коэффициенты для каждой строки, т. е. i 6 aij . Скопировать значения сумм в контрольный столбец 7. j 1

3.Все элементы первой строки, включая элемент столбца 7,

разделить на a11 и поместить результат в выделенную строку раздела I.

4.Выполнить проверку. Значение суммы элементов выделенной строки

6

7 1 c1 j

j 2

должно совпадать с17.

5. Следуя схеме Гаусса, обнулить элементы первого столбца исходной матрицы для i = 2, 3, …, 6, а результаты записать в соответствующих строках раздела II. Над элементами столбца 7 выполняются те же операции, что и остальными элементами строки.

6. Выполнить проверку, вычислив суммы i(1) (i = 2, 3, …, 6) эле-

ментов aij(1) (j = 2, 3, …, 6, i = 2, 3, …, 6) каждой полученной строки и сравнив их с полученными значениями элементов

ai(71) (i = 2, 3, …, 6) столбца 7.

58

7.Повторить действия, перечисленные в пунктах 3, 4, 5, 6 для разделов II, III, IV и V, учитывая уменьшение порядка системы.

8.Вычислить определитель det A a11a22(1)...a66(5) , перемножив ведущие (подчеркнутые) элементы таблицы.

Таблица 5.1

Компактная схема Гаусса для вычисления определителя

59

Вычисление обратной матрицы. Обратной к матрице A на-

зывают такую матрицу А-1, для которой справедливо соотношение

(5.4).

где E — единичная матрица (5.5).

Квадратная матрица A называется неособенной или невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу. Пусть дана неособенная квадратная матрица A (5.6).

используется соотношение (5.4).

Умножая матрицу A на A-1 и приравнивая каждый элемент произведения соответствующему элементу матрицы E, получаем систему из m2 уравнений с m2 неизвестными xij (i, j = 1,2, …, m). Эта система распадается на m систем уравнений с m неизвестными, которые имеют одну и ту же матрицу системы A и отличаются

60

только свободными членами. Столбцы свободных членов совпадают со столбцами единичной матрицы E.

Решение всех полученных систем можно объединить в одной схеме, рассматривая одновременно m столбцов свободных членов. Все результаты вычислений размещаются в одной таблице [1]. В табл. 5.2 показана схема вычислений для матрицы шестого порядка.

Прямой ход

В прямом ходе исходная матрица преобразуется к треугольной форме. Для этого следует:

1.В раздел I схемы (см. табл. 5.2) разместить элементы ис - ходной матрицы A, заполнив столбцы j = 1, 2, …, 6 и строки i = 1, 2, …, 6. В столбцы j = 7, 8, …, 12 для тех же строк записать элементы единичной матрицы.

2.Вычислить элементы Σi (i = 1, 2, …, 6) столбца Σ путем сум-

12

мирования всех элементов каждой строки, т. е. i aij .

j 1

Таблица 5.2

Компактная схема Гаусса для вычисления обратной матрицы

61

Окончание табл. 5.2

3.Скопировать значения сумм в столбец 13.

4.Все элементы первой строки, включая элемент столбца 13, разделить на a11 и поместить в выделенную строку раздела I.

5.Выполнить проверку. Значение суммы элементов выделенной строки 7 должно совпадать элементом с1,13.

6.Следуя схеме Гаусса, обнулить элементы первого столбца исходной матрицы для i = 2, 3, …, 6, а результаты записать в соответствующих строках раздела II. Над элементами столбца 13 выполняются те же операции, что и c остальными элементами строки.

7.Выполнить проверку, вычислив суммы элементов i каждой полученной строки и сравнив их с элементами ai(,113) (i = 2, 3, …, 6) столбца 13.

8.Повторить действия, перечисленные в пунктах 3, 4, 5, 6 для разделов II, III, IV и V.

9.Разделить на элемент a(5)66 строку 6 из раздела VI. Полученная строка является последней строкой обратной матрицы, которая размещается в строке 6 раздела VII.

62

Врезультате выполнения прямого хода матрицаAпреобразуется

кверхней треугольной форме. На главной диагонали преобразованной матрицы размещаются единицы.

Обратный ход

В обратном ходе матрица A преобразуется к единичной, а на месте единичной матрицы получается обратная матрица A-1, строки которой расположены в обратном порядке. В вычислениях участвуют выделенные строки, полученные ранее в прямом ходе. Действия выполняются над столбцами с 1 по 13 табл. 5.2. В столбце Σ размещаются контрольные суммы.

Обратный ход предусматривает выполнение следующих действий:

1.Строка 6 раздела VII умножается на с(4)56 и вычитается из выделенной строки раздела V. Таким образом, обнуляется элемент, находящийся вне главной диагонали. Результат записывается в строке 5 раздела VII.

2.Строка 6 раздела VII умножается на с(3)46, а строка 5 раздела VII умножается на с(3)45. Полученные строки вычитаются из выделенной строки раздела IV. В результате обнуляются элементы выделенной строки раздела IV, находящиеся вне главной диагонали. Результат записывается в строке 4 раздела VII.

3.Аналогично, используя строки 6, 5 и 4 раздела VII, обнуляются элементы выделенной строки раздела III, а результат размещается в строке 3 раздела VII.

4.С помощью строк 6, 5, 4 и 3 раздела VII выполняется преобразование выделенной строки раздела II, а результат размещается в строку 2 раздела VII.

5.С помощью строк 6, 5, 4, 3 и 2 раздела VII обнуляются элементы выделенной строки раздела I, а результат записывается в строку 1 раздела VII.

6.Строки обратной матрицы упорядочиваются в соответствии с их нумерацией в разделе VII.

63

2.Задания

1.Для указанной в варианте задания матрицы вычислить определитель и построить обратную матрицу. Вычисления выполнять

счетырьмя знаками после запятой.

2.Оформить полученные решения в виде табл. 5.1 и 5.2.

3.Проверить правильность вычисления обратной матрицы, вычислив произведение исходной и обратной матриц.

3.Пример выполнения задания

Вычислить определитель, а также обратную матрицу для следующей матрицы:

Таблица 5.3

Компактная схема Гаусса для вычисления определителя

64