4 / Числ. мет лабораторный практикум ч1-45-56

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 Решение систем

линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

1. Общие сведения

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Ре-

шение многих задач вычислительной математики приводит к необходимости определения корней СЛАУ большого порядка. В таких случаях решение системы обычно выполняется численно.

Вдальнейшем предполагается, что число уравнений совпадает

счислом неизвестных. Система m линейными уравнениями с m неизвестными имеет вид

где xi — неизвестные, aij — известные коэффициенты, fi — правые части уравнений, а i, j = 1, 2, …, m.

В матричной форме систему можно записать в виде

где A — матрица коэффициентов, x — столбец неизвестных и f — столбец свободных членов.

45

Если определитель матрицы A не равен нулю, то система (4.1) имеет единственное решение.

Метод Гаусса. Для определения значений неизвестных часто используется метод Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных из системы. Одна из реализаций метода Гаусса получила название схемы единственного деления. В рамках этой схемы производится последовательное исключение неизвестных, которое приводит к уменьшению порядка системы. Например,

2.Умножая на ai1 преобразованную первою строку и вычитая результат из i-го уравнения для i = 2, …, m, имеем (4.4):

46

Получение системы с верхней треугольной матрицей составляет прямой ход метода Гаусса. Расчетные формулы прямого хода приведены в (4.6).

Коэффициенты cij и правые части yi, i = 1, 2, …, m, j = i + 1, i + 2, …, m, сохраняются и используются при выполнении обратного хода.

Обратный ход заключается в нахождении неизвестных x1, x2, …, xm из полученной системы. Определение неизвестных начинается с xm. Расчетные формулы обратного хода (4.7):

j i 1

После выполнения обратного хода матрица системы становится единичной, т. е. элементы ее главной диагонали равны 1, а остальные элементы равны нулю.

Метод Гаусса с выбором главного элемента [3]. При решении СЛАУ методом Гаусса может оказаться, что в процессе исключения переменных на главной диагонали матрицы появляются нулевые или близкие к нулю элементы, хотя система имеет единственное решение. В этих случаях обычный метод Гаусса может оказаться непригодным. Избежать указанных трудностей позволяет метод Гаусса с выбором главного элемента.

Основная идея метода состоит в том, чтобы на очередном шаге исключать не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю.

Существует несколько вариантов выбора главного элемента:

•в качестве главного выбирается наибольший по модулю элемент столбца;

47

•в качестве главного выбирается наибольший по модулю элемент строки;

•главный элемент выбирается по всей матрице.

Для перемещения выбранного элемента на главную диагональ может потребоваться перестановка строк и столбцов.

Компактная схема Гаусса. При решении системы уравнений по схеме единственного деления для записи промежуточных результатов часто используется табличное представление данных, называемое компактной схемой Гаусса. Порядок заполнения схемы рассматривается на примере решения системы из пяти уравнений с пятью неизвестными.

Пусть исходная система уравнений имеет вид:

Все результаты вычислений записываются в табл. 4.1. Порядок заполнения таблицы.

Прямой ход.

1.Записать коэффициенты системы в пяти строках и шести столбцах раздела I табл. 4.1. Столбец 6 содержит свободные члены. Столбцы 7 и Σ используются для контроля правильности вычислений.

2.Записать в столбец Σ суммы коэффициентов, находящихся в соответствующей строке, включая свободный член. В разделе I суммы вычисляются следующим образом:

5

i fi aij , i = 1, 2, 3, 4, 5.

j 1

Вразделе I в столбец 7 записываются копии сумм столбца Σ. 3. Разделить все числа, стоящие в первой строке раздела, вклю-

чая значение из столбца 7, на a11 и результаты записать в шестой (выделенной) строке раздела I.

4. Вычислить сумму коэффициентов шестой строки

48

5

6 1 с1 j y6

j 2

исделать проверку, сравнив сумму Σ6 и с17. Эти значения не должны отличаться более чем на единицу последнего разряда.

49

6.Сделать проверку. Элементы ai(71) и i(1) (i = 2, 3, 4, 5) в каждой строке не должны отличаться более чем на единицу последнего разряда.

7.Разделить все элементы первой строки раздела II на a(1)22, результаты записать в пятой строке раздела II и сделать проверку, как в пункте 4.

8. По формулам (4.5) вычислить коэффициенты aij(2) , f j(2) и ai(72) (i = 3, 4, 5; j = 3, 4, 5), а результаты записать в первые три строки раздела III и сделать проверку, как в пункте 6.

9.Разделить элементы первой строки раздела III на a(2)33, результаты записать в четвертой строке раздела III и сделать проверку, как в пункте 4.

10.Вычислить aij(3), f j(3) и ai(73) (i = 4, 5; j = 4, 5) Результаты записать в разделе IV и сделать проверку, как в пункте 6.

11.Разделить элементы первой строки раздела IV на a(3)44, результаты записать в третьей строке раздела IV и сделать проверку, как в пункте 4.

12.Вычислить a55(4), f5(4) и ai(74), а результаты записать в разделе V.

13.Сделать проверку, как в пункте 6.

Обратный ход.

1.В разделе VI записать единицы, как это указано в табл. 4.1.

2.Вычислить x5 f5(4) a55(4).

3.Для вычисления значений x4, x3, x2, x1 применяются формулы (4.6) и используются строки разделов IV, III, II и I содержащие единицы (выделенные строки), начиная с последней. Аналогично проводится обратный ход в контрольной системе, содержащей столбец 7. Значения в столбцах 7 и 6 должны различаться на 1 с точностью до единицы последнего разряда.

2.Задания

1.Для указанной в варианте задания системы линейных алгебраических уравнений вычислить значения неизвестных, используя метод Гаусса. При необходимости следует выполнять выбор главного элемента в столбце. Вычисления выполнять с четырьмя знаками после запятой.

2.Оформить полученное решение в виде табл. 4.1.

50

3. Проверить правильность решения, подставив значения неизвестных в исходную систему.

3. Пример выполнения задания

Решить систему линейных алгебраических уравнений:

51

4. Варианты заданий

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

52

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

53

Вариант 11

Вариант 12

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15

54