new-painted-numerical-method-ideas2 (1)
.pdf
Обновлено (дополнено) 16 августа 2025 г.
Численные методы решения дифференциальных уравнений,
предлагаемые в графическом виде как начальные идеи для их дальнейшего развития в дипломных работах и в диссертациях.
Глава 1. Графическое предложение метода
численного решения дифференциальных уравнений.
2007 год публикации в интернете.
Эти графические эскизы были сформулированы А.Ю. Виноградовым до окончания МГТУ им. Н.Э.Баумана – до 1993 года. После чего были выложены в интернет в апреле
2007 года.
Предположим, что дано дифференциальное уравнение y/(x)=a(x)y(x)+f(x) с
начальными условиями y(0)=y0.
Или дано аналогичное матричное дифференциальное уравнение с начальными условиями.
Пусть решение надо найти не аналитически, а численно.
Есть множество методов разных авторов как это можно сделать численно.
Простейший и самый ошибочный метод таков: из дифференциального уравнения на основе начальных условий высчитывается значение производной в начальной точке y/(0)=a(0)y(0)+f(0), а потом делается шаг до x1 в предположении, что искомая функция на участке от 0 до x1 моделируется отрезком прямой линии и так далее шаг за шагом.
Геометрически это выглядит вот так, как известно:
Разные авторы разных численных методов использовали разные приемы получения формул численного интегрирования с идеей уменьшения ошибочности результатов вычислений.
Далее предлагаются простейшие эскизы с геометрическими идеями уменьшения ошибочности результатов численного интегрирования, что, конечно же, может быть сформулировано не только графически, но и формулами для выполнения приближенных вычислений:
Этот был геометрический вариант метода, который можно назвать методом
«предотвращения разноса» решения.
Глава 2. Продолжение идей и их использование для дипломов и диссертаций. 2024 год публикации в интернете.
Возможны и другие геометрические варианты. Например, сформулированный ниже в виде картинок метод «вязания» решения - сформулированный сегодня 12 ноября 2024 г.
Почему я сформулировал продолжение картинок-идей: потому что на одном из научных порталов я только вчера увидел интерес к своей публикации на эти темы материала
2013 года (материал я выложил в интернет повторно неделю-другую назад) и интерес был замечен со стороны двух аспирантов (как было указано, двух PhD students).
И уже выкладывавшиеся графические идеи и новые картинки – это вполне достойный материал для использования в дипломных работах для решения
дифференциальных уравнений, если перевести графические идеи в буквенные формулы и посчитать задачу в сравнении с известными методами типа методов Рунге-Кутты.
А если переложить эти графические идеи не только в скалярные формулы типа формул Рунге-Кутты, а ещё и в матричные формулы, то есть если развить графические выводы до обогащения ими теории матриц, то это хорошие материалы и для диссертаций,
если их вывести и применить к решению задачи в сравнении с известными методами.
Очевидно, что возможны и другие геометрические идеи для численного решения дифференциальных уравнений, в том числе и вариации уже приведенных идей.
к.ф.-м.н. Алексей Юрьевич Виноградов
12 ноября 2024 г.
AlexeiVinogradov@yandex.ru
vk.com/vinogradov.moscow
Продолжение. От 16-го августа 2025 года:
1)Приближенное значение, например, как на 2-ом рисунке, может искаться в треугольнике ABD не только в виде середины отрезка BD. Точка E может быть получена ещё одним способом - если искать точку E как пересечение
биссектрисы угла BAD со стороной BD.
2)На 3-ем рисунке приближенно точку G в треугольнике BAF можно искать не только как середину отрезка BF, но можно и при помощи 1) биссектрисы угла
BAF треугольника BAF или 2) при помощи биссектрисы угла BEF треугольника
BEF.
3)Или можно использовать перпендикуляры. Например, можно посмотреть на 2-
ой рисунок (рисунок, где есть треугольник ABD) и можно опустить
перпендикуляр на сторону AB из угла D и пересечение этого перпендикуляра с этой стороной AB и будет приближенное решение; или можно рассмотреть середину самого этого перпендикуляра как приближенное решение.
4)Если посмотреть на 2-ой рисунок (рисунок, где есть треугольник BAD), то решение можно искать ещё и как пересечение линии AC с координатной линией x=x1.
5)И т.п.