лабы / лаба 3 / ulsu41

Тогда:

S(x)e(x) = !e(x) x2t+s e(x):

Данное выражение называют ключевым уравнением, которому можно придать иной вид:

Заметим, что e(x) = (x) (x), где (x) это многочлен неизвестных локаторов ошибок,(x) многочлен известных локаторов стираний:

ts

YY

e(x) = (1 Xix) (1 Xt+ix) = (x) (x):

i=1 i=1

Введем в рассмотрение многочлен Se(x) = S(x) (x) модифицированный синдромный многочлен. Тогда ключевое уравнение (7) примет вид:

относительно неизвестных многочленов a(x); b(x) 2 F [x] с условием:

Из (8) и (9) следует, что сравнение (10) с условием (11) имеет решение.

Теорема 3. 1. Многочлены a(x) и b(x) являются решением сравнения (10) с условием (11) тогда и только тогда, когда для некоторого многочлена (x) 2 F [x] выполнены равенства a(x) = (x) (x), b(x) = (x)!e(x).

2.Многочлены (x) и !e(x) являются единственным решением сравнения (10) с условием

(11)и условием взаимной простоты.

Доказательство. 1. Если a(x) = (x) (x), b(x) = (x)!e(x), то:

a(x)Se(x) (x) (x)Se(x) (x)!e(x) b(x) (mod x2t+s):

Обратно, пусть a(x) и b(x) некоторое решение сравнения (10) с условием (11). Рассмотрим два сравнения:

b(x) (x) a(x) (x)Se(x) !e(x)a(x) (mod x2t+s):

e

2. Пусть a(x) и b(x) некоторое решение сравнения (10) с условием (11), причем a(x) и b(x) взаимно просты. Из пункта 1 следует, что для некоторого многочлена (x) выполнено

где константа 2 F задается так, чтобы удовлетворялось условие a(0) = 1 (в теореме 4 приводится обоснование того, что vj(0) 6= 0, поэтому такая константа существует). В этом

случае:

b(x) rj(x) vj(x)Se(x) a(x)Se(x) (mod x2t+s); deg b(x) = deg rj(x) t + s 1;

deg a(x) = deg vj(x) = deg x2t+s deg rj 1(x) 2t + s t s = t:

Поэтому такой алгоритм приводит к решению a(x) и b(x) сравнения (10) с условием (11).

Теорема 4. Пусть vj(x) и rj(x) многочлены из обобщенного алгоритма Евклида с условием (13). Тогда найдется такая ненулевая константа 2 F , для которой (x) = vj(x),

!e(x) = rj(x).

Доказательство. Для многочленов vj(x) и rj(x), а также для многочленов (x) и !e(x) выполнены равенства:

Из свойства взаимной простоты многочленов uj(x) и vj(x) следует, что vj(x) j (x), поэтому для некоторого многочлена (x) выполнено (x) = (x)vj(x). Подставим это равенство в (16):

e(x)x2t+s + (x)vj(x)Se(x) = !e(x):

Теперь домножим равенство (15) на (x):

(x)uj(x)x2t+s + (x)vj(x)Se(x) = (x)rj(x):

Учитывая степени многочленов !(x), (x) и rj(x), из последних двух равенств следует равенство !(x) = (x)rj(x).

Алгоритм 3 (декодирование кодов РС на основе алгоритма Сугиямы на случай ошибок и стираний).

Вход: принятый вектор v, в котором s стираний и не более t ошибок. Выход: исходный кодовый вектор u, если d 2t + s + 1.

1.Определяется t = [(d s 1)=2], где [ ] целая часть числа. В векторе v все стирания за-

меняются нулями, получая тем самым вектор ve. Находятся компоненты S0; S1; : : : ; S2t+s 1 синдромного вектора: Si = ve( i+1), i = 0; 1; : : : ; 2t + s 1. Если они все равны нулю, то возвращается вектор ve и процедура окончена.

Вычисляются значения локаторов стираний Xt+1 = it+1 ; : : : ; Xt+s = it+s на основе известных позиций стираний it+1; : : : ; it+s. Вычисляются коэффициенты модифицированного синдромного многочлена Se(x).

2.Пусть r 1(x) = x2t+s, r0(x) = Se(x), v 1(x) = 0, v0(x) = 1. С помощью обобщенного алгоритма Евклида производится последовательность вычислений (i 1):

ri 2(x) = ri 1(x)qi 1(x) + ri(x); vi(x) = vi 2(x) vi 1(x)qi 1(x):

Процесс прекращается, как только для некоторого rj(x) будет выполнено:

l = deg (x).

3.Отыскиваются l корней многочлена (x) последовательной подстановкой в него ненулевых элементов поля F . При этом локаторы ошибок это величины, обратные корням многочлена (x).

4.Определяется множество M = f1; : : : ; lg [ ft + 1; : : : ; t + sg. По формулам Форни:

где !e(x) (x)Se(x) (mod x2t+s); находятся значения ошибок Yj, j 2 M. У вектора ve из ij-го символа, Xj = ij , вычитается значение Yj, j 2 M. При этом получается кодовый вектор u.

Пример 3. Рассмотрим поле GF (32) на основе многочлена x2 + 2x + 2 с примитивным элементом :

Рассмотрим [8; 4]-код РС над GF (32) с кодовым расстоянием d = 5. Данный код может исправлять либо любые две ошибки и менее, либо любую ошибку и одновременно два и менее стираний, либо четыре и менее стираний. Рассмотрим случай одной ошибки и двух и менее стираний.

Пусть принят вектор:

v = 0; 2; ; 1; ; 1; 0; 0 :

1. Как мы видим, произошло одно стирание символа. Известный локатор стирания X2 =2, поэтому (x) = 1 2x. Заменив * на 0, получим:

Определим s = 1, t = [(d s 1)=2] = 1. Вычисляем компоненты синдромного вектора:

S0 = ve( ) = 3 + 3 + 5 + 5 = 6;

S1 = ve( 2) = 4 + 6 + + 2 = 7;

S2 = ve( 3) = 5 + + 5 + 7 = 4;

S3 = ve( 4) = 6 + 4 + + 4 = 0:

Так как t + s = 2, deg r1(x) = 2, deg r2(x) < 2, то после второго шага останавливаемся. Тогда:

3.Локатор ошибки равен X1 = 4.

4.По формулам (18) для локаторов X1 = 4 и X2 = 2 находим значения ошибок Y1 = 3, Y2 = 7. Таким образом,

Предположим, что кодовый вектор u получен на основе информационного вектора i с помощью дискретного преобразования Фурье. Тогда информационные символы из кодового

многочлена:

u(x) = 2x + 3x2 + x3 + 6x4 + x5

получаются следующим образом:

u(1) = 2 + 3 + 1 + 6 + 1 = 5;

u( 1) = u( 7) = + + 5 + 2 + 3 = 7; u( 2) = u( 6) = 1 + 7 + 2 + 6 + 6 = 4; u( 3) = u( 5) = 7 + 5 + 7 + 2 + = 4;

i = 5; 7; 4; 4 = ; 3; 1; 1 :

4Декодирование кодов РС на основе алгоритма Питерсона-Горенстейна-Цирлера и алгоритма Берлекэмпа-Месси

Продолжим рассмотрение сравнения (8). Пусть d 2t + s + 1,

Se(x) = Se0 + Se1x + : : : + Se2t+2s 1x2t+2s 1 =

= S(x) (x) = (S0 + S1x + : : : + S2t+s 1x2t+s 1)( 0 + 1x + : : : + sxs);

где 0 = 1, i = ( 1)i i(Xt+1; : : : ; Xt+s) элементарный симметрический многочлен от

Xt+1; : : : ; Xt+s, i = 1; : : : ; s.

Обозначим матрицу этой системы через M(t; s). Выясним, в каком случае эта система разрешима.

Лемма 1. Для любого j = 0; 1; : : : ; 2t 2 выполнено равенство:

ts

XY

Ses+j = YkXkj+1 (Xk Xt+i): k=1 i=1

Доказательство. Пусть, как и ранее, i = ( 1)i i(Xt+1; : : : ; Xt+s) элементарный симметрический многочлен от Xt+1; : : : ; Xt+s. Обозначим i = i(Xt+1; : : : ; Xt+s). Учитывая опре-

ts

XY

Теорема 5. Пусть произошло s стираний. Матрица M(t; s) невырождена тогда и только тогда, когда произошло t ошибок.

Доказательство. Обозначим через A; B; C следующие квадратные матрицы порядка t:

Покажем, что M(t; s) = ABCAT . По лемме 1 элемент матрицы M(t; s) с индексами i и j равен:

где ij символ Кронекера, найдем элемент с соответствующими индексами матрицы ABCAT :

3. Корнями многочлена локаторов ошибок:

(x) = 1 + 14x + 3x2

являются x1 = 1, x2 = 12, поэтому X1 = 1, X2 = 3.

4. После того, как все локаторы ошибок известны, можно воспользоваться формулой Форни для кодов РС:

Находим значения ошибок: Y1 = 8; Y2 = 3; Y3 = 5, Y4 = 8; Y5 = 6, Y6 = 12. Таким образом:

e = 8; 0; 0; 3; 0; 0; 0; 5; 0; 8; 6; 0; 12; 0; 0 ;

u = 9; 7; 0; ; 12; 5; 2; 5; 3; 8; 6; ; 12; 7; 4 :

Замечание 1. Если второй шаг алгоритма 4 заменить тем, что на вход алгоритма Берлекэмпа-Месси подается последовательность Ses, Ses+1,. . . , Ses+2t 1, то на выходе данного алгоритма получается многочлен (x). Этим самым получим новый алгоритм декодирования кодов РС на основе алгоритма Берлекэмпа-Месси на случай ошибок и стираний.

Список литературы

[1]Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. Перевод с англ.: И.И. Грушко, В.М. Блиновский. Под редакцией: К.Ш. Зигангирова. М.: Мир, 1986. 576 с.

[2]Gao S. A new algorithm for decoding Reed Solomon codes // Communications, Information and Network Security / V. Bhargava, H. V. Poor, V. Tarokh, and S. Yoon, Eds. Norwell, MA: Kluwer, 2003. Vol. 712. P. 55–68.

[3]W. Cary Hu man, Vera Pless. Fundamentals of Error-Correcting Codes. Cambridge University Press, 2003. 646 p.

[4]Рацеев С.М. Об алгоритмах декодирования кодов Гоппы // Челяб. физ.-матем. журн. 2020. Т. 5, № 3. С. 327–341.

[5]Рацеев С.М., Череватенко О.И. О простом алгоритме декодировании кодов БЧХ, кодов Рида-Соломона и кодов Гоппы // Вестник СибГУТИ. 2020. № 3. С. 3–14.

[6]Рацеев С.М., Череватенко О.И. Об алгоритмах декодирования обобщенных кодов РидаСоломона // Системы и средства информатики. 2020. Т. 30, № 4. С. 83–94.