лабы / 00_лаба_5_7_цос_отчёт
.pdfМинистерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Московский технический университет связи и информатики
___________________________________________________________________
Факультет
«Радио и телевидение»
Кафедра
«Радиотехнических систем (РТС)»
Лабораторная работа №7 по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»
«Дискретное преобразование Фурье. Алгоритм быстрого преобразования Фурье Кули-Тьюки»
Выполнил |
|
|
Студент группы БРВ2201 |
_________________________ |
|
Проверил |
|
|
Ассистент кафедры РТС |
_________________________ |
Варламов В.О. |
Москва 2024
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью лабораторной работы является изучение дискретного преобразования Фурье и алгоритмов быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени и по частоте.
2.РАСЧЁТНАЯ ЧАСТЬ
2.1.Исходные данные
j |
-1 |
|
– мнимая единица; |
|
Вариант: 4 |
– номер варианта (бригады); |
|||
N 1024 |
– период (длина) последовательности; |
|||
fd 2000 |
mod Nbr,5 +1 =10000 |
– частота дискретизации, Гц; |
||
Td |
1 = |
100 10-6 |
– период дискретизации, с; |
|
|
fd |
|
|
|
A1 |
1 |
+0.01 Nbr=1.04 – амплитуда первой дискретной гармоники; |
|
A2 |
2 |
A1=2.08 |
– амплитуда второй дискретной гармоники; |
f1 fd÷8=1250 |
– частота первой дискретной гармоники; |
||
f2 fd÷16=625 |
– частота второй дискретной гармоники; |
||
xnT =[1 1 0 0 1 1 1 0] |
– исходная заданная последовательность. |
||
2.2. Расчёт дискретного преобразования Фурье по общей формуле
Прямое дискретное преобразование Фурье записывается в форме:
|
N-1 |
-j 2 π n k |
|
X'(k) ∑ x(n) e |
N |
|
n=0 |
|
Тогда для исходной последовательности выходит: |
||
Np length xn =8 |
– длина последовательности; |
|
k Np-1=7 |
– последний индекс коэффициентов ДПФ; |
|
k1T =[0 1 4 5 6] |
– индексы ненулевых слагаемых ДПФ; |
|
“e^(-j*(π/4)*0*k)”
“e^(-j*(π/4)*1*k)”
Xk= “e^(-j*(π/4)*4*k)” – ненулевые слагаемые ДПФ;
“e^(-j*(π/4)*5*k)”“e^(-j*(π/4)*6*k)”
При вычислении коэффициентов ДПФ в сумме для каждого коэффициента будут присутствовать только те слагаемые, которые указаны в матрице Xk.
Тогда матрица рассчитанных коэффициентов дискретного преобразования Фурье будет иметь следующий вид:
|
5.0000 |
|
|
|
1.0000i |
|
|
|
1.0000-2.0000i |
|
|
|
-1.0000i |
|
|
X_k= |
|
– коэффициенты ДПФ. |
|
|
1.0000 |
|
|
|
1.0000i |
|
|
|
1.0000+2.0000i |
|
|
|
-1.0000i |
|
|
|
|
|
2.3. Расчёт коэффициентов ДПФ с помощью быстрого преобразования Фурье с прореживание по времени
Пусть изначальная длина последовательности Np – произведение двух чисел: N N1 N2. Так как требуется реализовать алгоритм прореживания по времени, то N1 2, а N2 Np÷N1=4 . Тогда будет справедлива следующая индексация:
j1 0,1 N1-1= 01 k1 0,1 N1-1= 01
|
0 |
|
0 |
|||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
j2 0,1 N2-1= |
2 |
|
k2 0,1 N2-1= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|||
Далее производится переход к двумерному массиву по следующему правилу:
x' j1,j2 x |
X' k1,k2 X k2+N2 k1 |
|
j1 +N1 j2 |
Тогда переиндексированные двумерные массивы примут вид: |
||||||||||
|
xn |
xn |
|
xn |
|
xn |
|
|
1 1 0 1 |
|
x' |
|
0 |
4 |
xn |
2 |
xn |
6 |
– переиндексированный массив |
||
xn |
xn |
|
|
|
|
= 1 1 0 0 |
||||
|
|
1 |
5 |
|
3 |
|
7 |
|
|
значений исходной |
|
|
|
|
|
|
|
|
последовательности; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(0) X(1) X(2) X(3) |
– переиндексированный массив |
||||||||
X' X |
(4) X(5) X |
(6) X(7) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициентов ДПФ. |
Тогда каждое из значений каждого элемента первой строки массива X' будет вычисляться с помощью всей первой строки массива x'. Аналогично и для второй строки. Дополнительно вводится оператор
поворота ω(kj,N) e |
-j 2 π kj |
|
|
|
|||||
N |
. В рамках лабораторной работы оператор |
||||||||
|
|
|
|
|
|
-j 2 π kj |
|
|
|
поворота равен: ω8(kj) e |
8 . |
|
|
|
|||||
Тогда коэффициенты ДПФ с учётом прореживания по времени будут |
|||||||||
вычисляться по следующим формулам: |
|
|
|
||||||
lhalf Np÷2=4 |
|
|
– половина длины исходной последовательности ; |
||||||
kd1 0,1 lhalf-1 |
|
|
– диапазон индексов верхних строк; |
|
|||||
Формула для расчёта коэффициентов ДПФ для верхней строки: |
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
XFFT1 |
|
∑xn |
|
ω8 2 kd1 j +ω8 kd1 ∑xn |
|
ω8 2 kd1 |
j |
||
|
kd1 |
j=0 |
2 |
j |
|
j=0 |
2 |
j+1 |
|
Формула для расчёта коэффициентов ДПФ для нижней строки:
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
XFFT1 |
kd1 |
+lhalf |
∑xn |
2 j |
ω8 2 kd1 j -ω8 kd1 ∑xn |
2 j+1 |
ω8 |
2 kd1 |
j |
|
j=0 |
j=0 |
|
|
|
Итоговые значения коэффициентов ДПФ, рассчитанные с помощью БПФ методом Кули-Тьюки:
XFFT1T = 5.000 1.000i 1.000-2.000i -1.000i 1.000 1.000i 1.000+2.000i -1.000i
X_kT = 5.000 1.000i 1.000-2.000i -1.000i 1.000 1.000i 1.000+2.000i -1.000i
3.ЭКПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
3.1.Анализ схемы с двумя синусоидальными генераторами
Исследуемая схема представлена ниже, на рисунке 3.1.1. В ней используются два генератора гармонического сигнала, настроенных согласно исходному варианту: первый генератор настроен на частоту
f1=1.25 103 с амплитудой A1=1.04 ,а второй – f2=625 с амплитудой
A2=2.08 .
Рисунок 3.1.1 – Исследуемая схема
С этой схемы были получены два графика: с одной гармоникой и с двумя. Графики представлены ниже, на рисунках 3.1.2 и 3.1.3.
Рисунок 3.1.2 – Осциллограмма выходного сигнала с одной гармоникой
Рисунок 3.1.3 – Осциллограмма выходного сигнала с двумя гармоникой
3.2. Анализ схемы с генератором прямоугольных импульсов
Исследуемая схема представлена ниже, на рисунке 3.2.1. В ней используются генератор прямоугольных импульсов. Графики осциллограммы входного сигнала и спектрограммы выходного (рисунки 3.2.2 и 3.2.3 соответственно). Из графиков видно, что осциллограмма входного сигнала совпадает со спектрограммой выходного сигнала.
Рисунок 3.2.1 – Исследуемая схема с генератором прямоугольных импульсов
Рисунок 3.2.2. – Осциллограмма входного сигнала исследуемой схемы
Рисунок 3.2.3 – Спектрограмма выходного сигнала исследуемой схемы
4.ВЫВОДЫ
Врезультате выполнения лабораторной работы был изучен алгоритм вычисления дискретного преобразования Фурье, а также алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени.
Врамках лабораторной работы было установлено, что ДПФ выполняется схожим с НПФ образом, однако выполняется над отсчётами
иявляется операцией суммирования произведений. Это делает ДПФ матричной операцией умножения матрицы на вектор.
Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) выполняет те же самые вычисления, что и ДПФ, однако в меньшее количество шагов и вычислений (у БПФ – логарифмическая сложность, а у ДПФ – степенная).