лабы / 00_лаба_3_4_цос_отчёт
.pdfМинистерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Московский технический университет связи и информатики
___________________________________________________________________
Факультет
«Радио и телевидение»
Кафедра
«Радиотехнических систем (РТС)»
Лабораторная работа №4 по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»
«Синтез цифровых БИХ-фильтров методом билинейного Z-преобразования с внесением предыскажений»
Выполнил |
|
|
Студент группы БРВ2201 |
_________________________ |
|
Проверил |
|
|
Ассистент кафедры РТС |
_________________________ |
Варламов В.О. |
Москва 2024
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целями лабораторной работы являются: изучение метода билинейного Z-преобразования с внесением предыскажений на примере синтеза цифровых ФВЧ Баттерворта и Чебышёва по аналоговым фильтрам прототипам; моделирование синтезированного цифрового фильтра в среде «Спектр-2».
2. РАСЧЁНАЯ ЧАСТЬ
2.1. Исходные данные
j |
-1 – мнимая единица; |
|
|
|||
Nbr Вариант: IV |
|
|
– номер бригады; |
|||
Fd 104 +2 102 Nbr |
|
=1.08 104 |
– частота дискретизации; |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
F1 1.5 103 +30 Nbr |
=1.62 103 |
– граничная частота ПП; |
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
Fs 2800+40 Nbr |
=2.96 103 |
|
– граничная частота ПЗ; |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
αmax 0.4455 |
|
– максимально допустимое затухание в ПП (дБ); |
||||
αmin 40 |
|
– минимально допустимое затухание в ПЗ (дБ). |
||||
Nbr |
=9 |
|
– последняя цифра в зачётке; |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
Nbr |
=3 |
|
– предпоследняя цифра в зачётке; |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
Filter=“Чебышёва, ФНЧ” |
– тип требуемого фильтра. |
|||||
2.2.Синтез требуемого фильтра
2.2.1.Нормирование частот
Ω1 2 π F1 =1 – нормированная граничная частот ПП; 2 π F1
Ωs 2 π Fs =1.827 – нормированная граничная частота ПЗ; 2 π F1
2.2.2. Определение порядка фильтра
ε 
100.1 αmax -1=0.329 – коэффициент неравномерности
|
|
ослабления в ПП; |
||||
|
|
100.1 αmin -1 |
|
|
|
|
acosh |
ε2 |
|
|
– рассчитанный порядок |
||
n ceil |
|
|
=6 |
|||
|
требуемого ФНЧ. |
|||||
|
acosh Ωs |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
2.2.3. Расчёт корней знаменателя квадрата модуля АЧХ
k 0,1 2 n-1 – диапазон номеров корней;
Формула для расчёт корней знаменателя:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
asinh |
|
|
|
2 k-1 |
|
asinh |
|
ε |
|
|
2 k-1 |
|
|||||
rk |
sinh |
|
ε |
|
|
+j cosh |
|
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
sin |
2 n |
π |
n |
|
|
|
cos |
2 n |
π |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
-0.08+1.011i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0.08+1.011i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0.219+0.74i
0.3+0.271i
0.3-0.271i
0.219-0.74i
r= |
0.08 |
-1.011i |
– значения корней знаменателя. |
|
|
-0.08 |
-1.011i |
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.219-0.74i |
|||
|
-0.3 |
-0.271i |
|
|
-0.3 |
+0.271i |
|
||
|
|
|
|
|
|
-0.219+0.74i |
|||
Необходимо выбрать корни с отрицательной вещественной частью (из соображений устойчивости):
|
-0.08+1.011i |
|
|
|
|
-0.08-1.011i |
|
|
|
|
-0.219-0.74i |
|
|
|
r= |
|
– необходимые корни. |
||
|
-0.3 |
-0.271i |
|
|
-0.3 |
+0.271i |
|
|
|
|
-0.219+0.74i |
|
|
|
|
|
|
||
2.2.4. Аналитическое выражение операторной передаточной функции (ОПФ)
K 2n-11 ε =0.0951 – коэффициент усиления;
H(p) |
K |
|
– ОПФ. |
|
p-r |
||
p-r p-r p-r p-r p-r |
|
||
0 1 |
2 3 4 5 |
||
ОПФ с разбитем на удобные для вычисления множители:
H(p) K |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||
p2 |
-p r +r +r r |
|
p2 |
-p r +r +r r |
||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
0 1 |
2 |
5 2 5 |
||||
|
p2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-p r +r +r r |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
4 3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первое звено ФНЧ в ОФ: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
H1 |
(p) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
p2 |
-p Re(r) +Re(r) +Re r r |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
float,4 |
1.0 |
|
H1 |
(p) H1 |
(p)――→ |
||
p2 +0.1605 p+1.029 |
||||
|
|
|
второе звено ФНЧ в ОФ:
H2 |
(p) |
|
|
|
1 |
|
p |
2 -p Re(r) +Re(r) +Re r r |
|||||
|
|
|
|
2 |
5 2 5 |
|
|
|
|
float,4 |
|
1.0 |
|
H2 |
(p) H2 |
(p)――→ |
|
|||
p2 +0.4385 p+0.5961 |
||||||
|
|
|
|
|||
третье звено ФНЧ в ОФ:
H3 |
(p) |
|
|
|
1 |
|
p |
2 -p Re(r) +Re(r) +Re r r |
|||||
|
|
|
|
3 |
4 3 4 |
|
|
|
|
float,4 |
|
1.0 |
|
H3 |
(p) H3 |
(p)――→ |
|
|||
p2 +0.599 p+0.1631 |
||||||
|
|
|
|
|||
Однако надо помнить, в итоге общий коэффициент усиления высчитывается отдельно.
2.2.5. Переход от передаточной функции аналогового ФНЧ к передаточной функции цифрового ФНЧ с внесением предыскажений
ω1 2 π F1=10.179 103 |
– круговая граничная частота ПП; |
||||
Td 1 =92.593 10-6 |
|
– период дискретизации; |
|||
Fd |
|
|
|
|
|
ω1 Td |
|
1.963 |
– коэффициент преобразования |
||
Konst cot |
2 |
= |
|||
|
|
|
Константинидиса; |
||
ρ(z) Konst 1 |
-z-1 |
– оператор преобразования Константинидиса. |
|||
|
1 |
+z-1 |
|
|
|
Необходимо подставить оператор преобразования Константинидиса в ОПФ каждого звена. Тогда выражения ОПФ каждого звена в Z-области будут иметь вид:
Первое звено ФНЧ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
coeffs 1.029 |
– коэффициенты |
|||||||
coeffs1 denom H1(p) ―→ |
0.1605 |
знаменателя ОПФ первого |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1.0 |
|
звена; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.018 |
– общее усиление и |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
коэффициенты |
|
coeffs1 preobr coeffs1,K,Konst = |
-1.087 |
|
преобразованной ОПФ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
первого звена; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0.879 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
H1(z) |
|
|
1+z-1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+coeffs1 |
z-1+coeffs1 |
z-2 |
|
|
|
|||||||
coeffs1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
collect,z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
float,4 |
|
z |
2 |
+2.0 z+1.0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
H1(z)――→ |
|
|
|
|
– итоговая форма ПФ первого |
||||||||
|
|
z2 -1.087 z+0.8787 |
|
звена ФНЧ. |
|||||||||
Второе звено ФНЧ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
coeffs 0.5961 |
– коэффициенты |
|||||||
coeffs2 denom H2(p) ―→ |
0.4385 |
знаменателя ОПФ второго |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1.0 |
|
звена; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.188 |
– общее усиление и |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
коэффициенты |
|
coeffs2 preobr coeffs2,1,Konst = |
-1.227 |
|
преобразованной ОПФ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
второго звена; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.676 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
H2(z) |
|
|
1+z-1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+coeffs2 |
z-1+coeffs2 |
z-2 |
|
|
|
|||||||
coeffs2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
collect,z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
float,4 |
|
z |
2 |
+2.0 z+1.0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
H2(z)――→ |
|
|
|
|
– итоговая форма ПФ второго |
||||||||
|
|
z2 -1.227 z+0.6758 |
|
звена ФНЧ. |
|||||||||
Третье звено ФНЧ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
coeffs 0.1631 |
– коэффициенты |
||||||
coeffs3 denom H3(p) ―→ |
0.599 |
знаменателя ОПФ третьего |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.0 |
|
звена; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.193 |
– общее усиление и |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
коэффициенты |
coeffs3 preobr coeffs3,1,Konst = |
-1.421 |
|
преобразованной ОПФ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
третьего звена; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.547 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H3(z) |
|
|
|
|
|
1+z-1 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+coeffs3 |
z-1+coeffs3 |
z-2 |
|
|
||||||||
coeffs3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
collect,z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
float,4 |
|
z |
2 |
+2.0 z+1.0 |
|
|
|
|
|
|||||
H3(z)――→ |
|
|
|
– итоговая форма ПФ третьего |
||||||||||
|
|
|
z2 -1.421 z+0.547 |
|
|
звена ФНЧ. |
||||||||
Общее усиление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
K coeffs1 |
coeffs2 |
|
coeffs3 |
=664.1124 10-6 |
|
|||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2.5.1 – Коэффициенты звеньев ФНЧ Чебышёва
№ b0 b1 b2 a0 |
a1 |
a2 |
1 1 2 1 1 -1.087 0.879
2 1 2 1 1 -1.227 0.676
3 1 2 1 1 -1.421 0.547
3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Моделирование производилось в программе «Спектр-2». Смоделированная схема представлена ниже, на рисунке 3.1.
Рисунок 3.1 – Исследуемая схема ФНЧ Чебышёва 6-ого порядка
График АЧХ фильтра в линейном масштабе, с нанесёнными необходимыми значениями, представлен ниже, на рисунке 3.2.
Рисунок 3.2 – АЧХ ФНЧ
Из графика АЧХ видно, что граничные частоты фильтра совпали. Также по графику можно проверить, что в ПП и ПЗ достигнуто необходимое ослабление:
aпп_граф -20 log(0.23287÷0.24486,10)=0.43609 |
– ослабление в ПП; |
aпз_граф -20 log(0.0017123÷0.24486,10)=43.107 |
– ослабление в ПЗ. |
Из расчётов видно, что полученные коэффициенты близки к необходимым.
График АЧХ фильтра в логарифмическом масштабе, с нанесёнными необходимыми значениями, представлен ниже, на рисунке 3.3.
Рисунок 3.3 – АЧХ ФНЧ в логарифмическом масштабе
4.ВЫВОДЫ
Врезультате выполнения лабораторной работы был смоделирован фильтр нижних частот с характеристикой Чебышёва.
Таже, по результатам лабораторной работы было установлено, что моделирование ЦФ базируется на моделировании аналоговых фильтров. При построении ЦФ на базе аналоговых осуществляется переход из частотной области (операторной) в Z-область с помощью соответствующего преобразования. Однако, при применении преобразования с предыскажениями удаётся предотвратить искажения граничной частоты полосы пропускания.