лабы / 00_лаба_2_3_цос_отчёт
.pdfМинистерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Московский технический университет связи и информатики
___________________________________________________________________
Факультет
«Радио и телевидение»
Кафедра
«Радиотехнических систем (РТС)»
Лабораторная работа №3 по дисциплине «Цифровая обработка сигналов» «Синтез цифровых БИХ-фильтров методом билинейного Z-преобразования»
Выполнил |
|
|
Студент группы БРВ2201 |
_________________________ |
|
Проверил |
|
|
Ассистент кафедры РТС |
_________________________ |
Варламов В.О. |
Москва 2024
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целями лабораторной работы являются: изучение метода билинейного Z-преобразования на примере синтеза цифровых ФНЧ и ФВЧ по аналоговым прототипам Чебышёва и Баттерворта; моделирование синтезированного цифрового фильтра в среде «Спектр-2».
2. РАСЧЁНАЯ ЧАСТЬ
2.1. Исходные данные
j 
-1 – мнимая единица;
Nbr Вариант: IV |
|
|
– номер бригады; |
||
Fd 104 +2 102 Nbr |
|
=10800 |
– частота дискретизации; |
||
|
|
|
0 |
|
|
F1 1.5 103 +30 Nbr |
=1620 |
– граничная частота ПП; |
|||
|
|
|
|
0 |
|
Fs 2800+40 Nbr |
=2960 |
– граничная частота ПЗ; |
|||
|
|
0 |
|
|
|
αmax 0.4455 |
|
– максимально допустимое затухание в ПП (дБ); |
|||
αmin 40 |
|
– минимально допустимое затухание в ПЗ (дБ). |
|||
Nbr |
=9 |
|
– последняя цифра в зачётке; |
||
|
1 |
|
|
|
|
Nbr |
=3 |
|
– предпоследняя цифра в зачётке; |
||
|
2 |
|
|
|
|
Filter=“Чебышёва, ФНЧ” |
– тип требуемого фильтра. |
||||
2.2.Синтез требуемого фильтра
2.2.1.Нормирование частот
Ω1 2 π F1 =1 – нормированная граничная частот ПП; 2 π F1
Ωs 2 π Fs =1.827 – нормированная граничная частота ПЗ; 2 π F1
2.2.2. Определение порядка фильтра
ε 
100.1 αmax -1=0.329 – коэффициент неравномерности
|
|
ослабления в ПП; |
||||
|
|
100.1 αmin -1 |
|
|
|
|
acosh |
ε2 |
|
|
– рассчитанный порядок |
||
n ceil |
|
|
=6 |
|||
|
требуемого ФНЧ. |
|||||
|
acosh Ωs |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
2.2.3. Расчёт корней знаменателя квадрата модуля АЧХ
k 0,1 2 n-1 – диапазон номеров корней;
Формула для расчёт корней знаменателя:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
asinh |
|
|
|
2 k-1 |
|
asinh |
|
ε |
|
|
2 k-1 |
|
|||||
rk |
sinh |
|
ε |
|
|
+j cosh |
|
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
sin |
2 n |
π |
n |
|
|
|
cos |
2 n |
π |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
-0.08+1.011i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0.08+1.011i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0.219+0.74i
0.3+0.271i
0.3-0.271i
0.219-0.74i
r= |
0.08 |
-1.011i |
– значения корней знаменателя. |
|
|
-0.08 |
-1.011i |
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.219-0.74i |
|||
|
-0.3 |
-0.271i |
|
|
-0.3 |
+0.271i |
|
||
|
|
|
|
|
|
-0.219+0.74i |
|||
Необходимо выбрать корни с отрицательной вещественной частью (из соображений устойчивости):
|
-0.08+1.011i |
|
|
|
|
-0.08-1.011i |
|
|
|
|
-0.219-0.74i |
|
|
|
r= |
|
– необходимые корни. |
||
|
-0.3 |
-0.271i |
|
|
-0.3 |
+0.271i |
|
|
|
|
-0.219+0.74i |
|
|
|
|
|
|
||
2.2.4. Аналитическое выражение операторной передаточной функции (ОПФ)
K 2n-11 ε =0.0951 – коэффициент усиления;
H(p) |
|
K |
|
– ОПФ. |
|
p-r p-r |
p-r |
||
p-r p-r p-r |
|
|||
0 1 |
2 3 4 5 |
|||
ОПФ с разбитем на удобные для вычисления множители:
H(p) K |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
p2 |
-p r +r +r r |
|
p2 |
-p r +r +r r |
|||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
0 1 |
2 5 2 5 |
||||
|
p2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-p r +r +r r |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
4 3 |
4 |
|
|
|
|
|
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первое звено ФНЧ в ОФ: |
|
|
|
|
|
|
|||||
H1 |
(p) |
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
p2 |
-p Re(r) +Re(r) +Re r r |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
0 1 |
|
|
|
|
float,4 |
0.09508 |
|
H1 |
(p) H1 |
(p)――→ |
||
p2 +0.1605 p+1.029 |
||||
|
|
|
второе звено ФНЧ в ОФ:
H2 |
(p) |
|
|
|
1 |
|
p |
2 -p Re(r) +Re(r) +Re r r |
|||||
|
|
|
|
2 |
5 2 5 |
|
|
|
|
float,4 |
|
1.0 |
|
H2 |
(p) H2 |
(p)――→ |
|
|||
p2 +0.4385 p+0.5961 |
||||||
|
|
|
|
|||
третье звено ФНЧ в ОФ:
H3 |
(p) |
|
|
|
1 |
|
p |
2 -p Re(r) +Re(r) +Re r r |
|||||
|
|
|
|
3 |
4 3 4 |
|
|
|
|
float,4 |
|
1.0 |
|
H3 |
(p) H3 |
(p)――→ |
|
|||
p2 +0.599 p+0.1631 |
||||||
|
|
|
|
|||
Однако надо помнить, в итоге общий коэффициент усиления высчитывается отдельно.
2.2.5. Переход от передаточной функции аналогового ФНЧ к передаточной функции цифрового ФНЧ
Ωd 2 πFdF1 =1.061 – нормированная частота дискретизации;
Koeff 2 Ωd=2.122 |
– коэффициент преобразования; |
|
ρ(z) Koeff 1 |
-z-1 |
– оператор Z-преобразования; |
1 |
+z-1 |
|
Необходимо подставить оператор Z-преобразования в ОПФ каждого звена. Тогда выражения ОПФ каждого звена в Z-области будут иметь вид:
Первое звено ФНЧ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
coeffs 1.029 |
– коэффициенты |
|||||||
coeffs1 denom H1(p) ―→ |
0.1605 |
знаменателя ОПФ первого |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.0 |
|
|
звена; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.016 |
– общее усиление и |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
коэффициенты |
|
coeffs1 preobr coeffs1,K,Koeff = |
-1.183 |
|
преобразованной ОПФ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первого звена; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.884 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
H1(z) |
|
|
|
|
1+z-1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+coeffs1 |
z-1+coeffs1 |
z-2 |
|
|
|
|||||||||
coeffs1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
collect,z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
float,4 |
|
z |
2 |
|
+2.0 z+1.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
H1(z)――→ |
|
|
|
|
|
|
– итоговая форма ПФ первого |
||||||||
|
|
z2 -1.183 z+0.884 |
|
|
звена ФНЧ. |
||||||||||
Второе звено ФНЧ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
coeffs 0.5961 |
– коэффициенты |
|||||||
coeffs2 denom H2(p) ―→ |
0.4385 |
знаменателя ОПФ второго |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.0 |
|
|
звена; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.166 |
– общее усиление и |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
коэффициенты |
||
coeffs2 preobr coeffs2,1,Koeff = |
-1.296 |
|
преобразованной ОПФ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
второго звена; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.691 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
H2(z) |
|
|
|
|
1+z-1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+coeffs2 |
z-1+coeffs2 |
z-2 |
|
|
|
|||||||||
coeffs2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
collect,z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
float,4 |
|
z |
2 |
+2.0 z+1.0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
H2(z)――→ |
|
|
|
|
|
– итоговая форма ПФ второго |
|||||||||
|
|
z2 -1.296 z+0.6914 |
|
звена ФНЧ. |
|||||||||||
Третье звено ФНЧ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
coeffs3 denom H3 |
|
|
|
coeffs |
0.1631 |
– коэффициенты |
|||||||||||
(p) ―→ |
|
0.599 |
знаменателя ОПФ третьего |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.0 |
|
|
звена; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.168 |
– общее усиление и |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
коэффициенты |
|
coeffs3 preobr coeffs3,1,Koeff = |
-1.462 |
|
преобразованной ОПФ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
третьего звена; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.572 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H3 |
(z) |
|
|
|
|
|
1+z-1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+coeffs3 |
z-1+coeffs3 |
z-2 |
|
|
|||||||||||
|
coeffs3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
collect,z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H3 |
float,4 |
|
|
|
z |
2 |
+2.0 z+1.0 |
|
|
|
|
|
|||||
(z)――→ |
|
|
|
|
|
– итоговая форма ПФ третьего |
|||||||||||
|
|
|
|
z2 -1.462 z+0.5718 |
|
звена ФНЧ. |
|||||||||||
Общее усиление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
K coeffs1 |
coeffs2 |
|
coeffs3 |
=452.2167 10-6 |
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2.5.1 – Коэффициенты звеньев ФНЧ Чебышёва |
|||||||||||||||||
|
|
|
№ b0 |
b1 |
b2 |
|
a0 |
|
|
a1 |
|
a2 |
|||||
1 1 2 1 1 -1.1831 0.8840
2 1 2 1 1 -1.2959 0.6914
3 1 2 1 1 -1.4619 0.5718
2.2.6. Расчёт искажения частот из-за преобразования
f1 |
|
Fd Hz |
π F1 |
=1.514 kHz |
– граничная частота ПП ЦФ; |
||
π |
atan |
Fd |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
fs |
|
Fd Hz |
π Fs |
|
|
– граничная частота ПЗ ЦФ; |
|
π |
atan |
Fd |
=2.444 kHz |
||||
|
|
|
|
|
|
||
3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Моделирование производилось в программе «Спектр-2». Смоделированная схема представлена ниже, на рисунке 3.1.
Рисунок 3.1 – Исследуемая схема ФНЧ Чебышёва 6-ого порядка
Рисунок 3.2 – График импульсной характеристики исследуемого фильтра
График АЧХ фильтра в линейном масштабе, с нанесёнными необходимыми значениями, представлен ниже, на рисунке 3.3.
Рисунок 3.3 – АЧХ ФНЧ
Из графика АЧХ видно, что граничные частоты фильтра совпали. Также по графику можно проверить, что в ПП и ПЗ достигнуто необходимое ослабление:
0.230 |
|
|
=0.47757 |
– ослабление в ПП; |
||
aпп_граф -20 log |
0.243 |
,10 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
0.0019 |
|
|
=42.137 |
– ослабление в ПЗ. |
||
aпз_граф -20 log |
0.243 |
|
,10 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Из расчётов видно, что полученные коэффициенты близки к необходимым.
График АЧХ фильтра в логарифмическом масштабе, с нанесёнными необходимыми значениями, представлен ниже, на рисунке 3.4.
Рисунок 3.4 – АЧХ ФНЧ в логарифмическом масштабе
На графике более точно видна величина ослабления в полосе задержания.
4.ВЫВОДЫ
Врезультате выполнения лабораторной работы был смоделирован фильтр нижних частот с характеристикой Чебышёва.
Таже, по результатам лабораторной работы было установлено, что моделирование ЦФ базируется на моделировании аналоговых фильтров. При построении ЦФ на базе аналоговых осуществляется переход из частотной области (операторной) в Z-область с помощью соответствующего преобразования. Однако, при преобразовании возникают искажения граничных частот, которые необходимо учитывать.