семестр 2 / БИК2205_ДЗ_2
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ СВЯЗИ И МАССОВЫХ
КОММУНИКАЦИЙ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ»
ФАКУЛЬТЕТ
«КИБЕРНЕТИКА И ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ»
КАФЕДРА
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»
ОТЧЁТ ПО ДОМАШНЕЙ РАБОТЕ №2 по дисциплине «ТВиМС»
на тему: «Интервальное оценивание»
Выполнил |
|
|
Студент группы БИК2205 |
_______________________ |
|
Проверил |
|
|
|
_______________________ |
Владимиров А.Л. |
Москва 2024
1ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Вкачестве исходных данных выступают две выборки: одна полученная из генеральной совокупности с нормальным распределением с параметрами
( = 1, σ2 = 1); вторая – из генеральной совокупности с биномиальным распределением с параметрами ( = 20, = 0,4).
Обе выборки представлены ниже, на рисунке 1.1. Слева находится выборка из нормального распределения, справа – из биномиального.
Xi |
X'j |
|
|
1,30 |
2 |
1,70 |
1 |
-0,50 |
1 |
2,00 |
1 |
|
|
0,30 |
1 |
0,80 |
1 |
1,40 |
1 |
2,10 |
2 |
2,70 |
0 |
|
|
1,10 |
1 |
0,60 |
1 |
0,00 |
0 |
0,10 |
0 |
0,60 |
1 |
0,70 |
0 |
0,80 |
0 |
2,00 |
2 |
0,20 |
2 |
1,80 |
1 |
|
|
1,10 |
2 |
|
|
1,60 |
|
|
|
1,60 |
|
|
|
0,60 |
|
|
|
0,90 |
|
|
|
1,20 |
|
|
|
Рисунок 1.1 – Исходные выборки
1
2ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПЕРВОЙ ГС
2.1ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКГО ОЖИДАНИЯ
2.1.1 ПРИ ИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИ
Необходимо оценить математическое ожидание генеральной совокупности по выборке, при известной дисперсии генеральной совокупности.
Это можно сделать по следующей формуле:
|
|
|
|
1 < < 2 |
|
− |
α |
σ |
|
< < |
|
+ |
α |
σ |
|
, |
(1) |
||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1−2 √ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1−2 √ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
– выборочное среднее; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
α – квантиль стандартного нормального распределения ( = 0, σ2 = 1) с |
||||||||||||||||||||
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
доверительной вероятностью 1 − |
α |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α – уровень значимости (в рамках пункта 2 уровень значимости равен 0,05);
σ – квадратичное отклонение генеральной совокупности;
– объём выборки.
Выборочное среднее рассчитывается по следующей формуле:
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
∑ , |
(2) |
||
|
|||||
|
|||||
|
|
|
|
|
=1
а в программе Excel с помощью функции «=СРЗНАЧ(<диапазон_значений>)».
Среднее выборочное равно: = 1,07.
Квантиль стандартного нормального распределения 1−α2 определяется по таблице или с помощью функции «=НОРМ.СТ.ОБР(<вероятность>)».
Квадратичное отклонение генеральной совокупности σ = √σ2 = 1 равно единице.
2
Объём выборки = 25 равен двадцати пяти.
Итоговый доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности с уровнем значимости 0,05 равен:
1 < < 2 0,6760 < < 1,4600, |
(3) |
то есть математическое ожидание генеральной совокупности лежит между значениями 0,6760 и 1,4600 с вероятностью 0,95.
2.1.2 ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ
Необходимо оценить математическое ожидание генеральной совокупности по выборке, при неизвестной дисперсии генеральной
совокупности. Это можно сделать по следующей формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
(4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
< < 2 |
− |
α |
|
|
|
|
< < + |
α |
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
√ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1−2 |
|
|
|
|
1−2 |
|
√ |
|
|||||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где 1− |
α |
|
– квантиль распределения Стьюдента с − 1 степенями свободы и |
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
доверительной вероятностью 1 − α2;
– корень из исправленной выборочной дисперсии.
Квантиль распределения Стьюдента −1 определяется по таблице или с
1−α2
помощью функции «=СТЬЮДЕНТ.ОБР(<вероятность>;<степени_свободы>)».
Корень из исправленной выборочной дисперсии рассчитывается по следующей формуле:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= √ 2 = √ |
∑( − |
|
)2 |
, |
(5) |
||||
|
|
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|||
=1
или с помощью функций «=КОРЕНЬ(ДИСП.В(<диапазон_значений>))». Он равен = 0,763609848.
3
Итоговый доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности с уровнем значимости 0,05 равен:
1 < < 2 0,7528 < < 1,3832, |
(6) |
то есть математическое ожидание генеральной совокупности лежит между значениями 0,7528 и 1,3832 с вероятностью 0,95.
2.2ОЦЕНКА ДИСПЕРСИИ
2.2.1ПРИ ИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ
Необходимо оценить дисперсию генеральной совокупности по выборке,
при известной дисперсии генеральной совокупности. Это можно сделать по следующей формуле:
< σ2 |
< |
( − 1) 2 |
< σ2 |
< |
( − 1) 2 |
, |
(7) |
|
|
||||||
1 |
2 |
χ2( α−1) |
|
|
χ2α( −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1−2 |
|
|
2 |
|
|
где 2 – исправленная выборочная дисперсия; |
|
|
|
|
|||
χ2( α−1), χ2α( −1) – квантили распределения Хи-квадрат с указанной доверительной |
||||||||||||||
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вероятностью и − 1 степенями свободы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Квантили |
распределения Хи-квадрат |
|
2( −1) |
|
2( −1) |
определяются по |
||||||
|
|
|
|
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||
таблице |
или |
с |
|
|
помощью |
функции |
||||||||
«=ХИ2.ОБР(<вероятность>;<степени_свободы>)». |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Итоговый доверительный интервал для дисперсии генеральной |
||||||||||||
совокупности с уровнем значимости 0,05 равен: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
< 2 |
< 0,3586 < 2 < 1,1111, |
(8) |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть дисперсия генеральной совокупности лежит между значениями 0,3586 и 1,1111 с вероятностью 0,95.
4
2.2.2 ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ
Необходимо оценить дисперсию генеральной совокупности по выборке,
при неизвестной дисперсии генеральной совокупности. Это можно сделать по следующей формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
< 2 |
< |
|
|
|
|
0 |
|
< 2 |
< |
0 |
|
, |
(9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
где |
2 – выборочная дисперсия; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
2 |
– квантили распределения Хи-квадрат с указанной доверительной |
|||||||||||||||||||||||
|
, |
||||||||||||||||||||||||||
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вероятностью и степенями свободы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Выборочную дисперсию 2 |
можно найти по следующей формуле: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
|
∑( − )2 |
, |
|
|
|
(10) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
она равна 0,5644. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Квантили распределения Хи-квадрат |
2 |
|
|
2 |
определяются по таблице или с |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
помощью функции «=ХИ2.ОБР(<вероятность>;<степени_свободы>)». |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Итоговый доверительный интервал для дисперсии генеральной |
|||||||||||||||||||||||
совокупности с уровнем значимости 0,05 равен: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
< 2 |
< |
0,3471 < 2 |
< 1,0755, |
(11) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть дисперсия генеральной совокупности лежит между значениями 0,3471 и 1,0755 с вероятностью 0,95.
5
3ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ВТОРОЙ ГС
3.1ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКГО ОЖИДАНИЯ
Необходимо оценить математическое ожидание генеральной совокупности по выборке, если известно количество испытаний = 20 и количество успехов
= 3 при неизвестной вероятности успеха . Это можно сделать по следующей формуле:
< < (ν − α √ |
ν(1 − ν) |
) < < (ν + α √ |
ν(1 − ν) |
) , (12) |
||
|
|
|||||
|
|
|||||
1 |
2 |
1−2 |
|
1−2 |
|
|
|
|
|
||||
где ν – относительная частота успеха в схеме испытаний Бернулли;
α – уровень значимости (в рамках пункта 3 уровень значимости равен 0,1).
Относительную частоту успеха ν можно найти по формуле (13):
ν = |
|
, |
(13) |
|
и она равна 0,15.
Квантиль стандартного нормального распределения 1−2 определяется по таблице или с помощью функции «=НОРМ.СТ.ОБР(<вероятность>)».
Итоговый доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности с уровнем значимости 0,1 равен:
1 < < 2 0,3734 < < 5,6266, |
(14) |
то есть математическое ожидание генеральной совокупности лежит между значениями 0,3734 и 5,6266 с вероятностью 0,90.
6