МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ СВЯЗИ И МАССОВЫХ

                                                   КОММУНИКАЦИЙ

                   

 

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ»

ФАКУЛЬТЕТ

«КИБЕРНЕТИКА И ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ»

КАФЕДРА

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

ОТЧЁТ ПО ДОМАШНЕЙ РАБОТЕ №2

по дисциплине «ТВиМС»

на тему: «Интервальное оценивание»

     

Выполнил
Студент группы БИК2205	_______________________
Проверил
	_______________________	Владимиров А.Л.

1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

В качестве исходных данных выступают две выборки: одна полученная из генеральной совокупности с нормальным распределением с параметрами ; вторая – из генеральной совокупности с биномиальным распределением с параметрами .

Обе выборки представлены ниже, на рисунке 1.1. Слева находится выборка из нормального распределения, справа – из биномиального.

Xi	X'j
1,30	2
1,70	1
-0,50	1
2,00	1
0,30	1
0,80	1
1,40	1
2,10	2
2,70	0
1,10	1
0,60	1
0,00	0
0,10	0
0,60	1
0,70	0
0,80	0
2,00	2
0,20	2
1,80	1
1,10	2
1,60
1,60
0,60
0,90
1,20

Рисунок 1.1 – Исходные выборки

2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПЕРВОЙ ГС

   1. ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКГО ОЖИДАНИЯ

      1. ПРИ ИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИ

Необходимо оценить математическое ожидание генеральной совокупности по выборке, при известной дисперсии генеральной совокупности. Это можно сделать по следующей формуле:

где – выборочное среднее;

– квантиль стандартного нормального распределения с доверительной вероятностью ;

– ­уровень значимости (в рамках пункта 2 уровень значимости равен 0,05);

– квадратичное отклонение генеральной совокупности;

– объём выборки.

Выборочное среднее рассчитывается по следующей формуле:

а в программе Excel с помощью функции «=СРЗНАЧ(<диапазон_значений>)».

Среднее выборочное равно: .

Квантиль стандартного нормального распределения определяется по таблице или с помощью функции «=НОРМ.СТ.ОБР(<вероятность>)».

Квадратичное отклонение генеральной совокупности равно единице.

Объём выборки равен двадцати пяти.

Итоговый доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности с уровнем значимости 0,05 равен:

то есть математическое ожидание генеральной совокупности лежит между значениями 0,6760 и 1,4600 с вероятностью 0,95.

2. ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ

Необходимо оценить математическое ожидание генеральной совокупности по выборке, при неизвестной дисперсии генеральной совокупности. Это можно сделать по следующей формуле:

где – квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы и доверительной вероятностью ;

– корень из исправленной выборочной дисперсии.

Квантиль распределения Стьюдента определяется по таблице или с помощью функции «=СТЬЮДЕНТ.ОБР(<вероятность>;<степени_свободы>)».

Корень из исправленной выборочной дисперсии рассчитывается по следующей формуле:

или с помощью функций «=КОРЕНЬ(ДИСП.В(<диапазон_значений>))». Он равен .

Итоговый доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности с уровнем значимости 0,05 равен:

то есть математическое ожидание генеральной совокупности лежит между значениями 0,7528 и 1,3832 с вероятностью 0,95.

2. ОЦЕНКА ДИСПЕРСИИ

   1. ПРИ ИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ

Необходимо оценить дисперсию генеральной совокупности по выборке, при известной дисперсии генеральной совокупности. Это можно сделать по следующей формуле:

где – исправленная выборочная дисперсия;

– квантили распределения Хи‑квадрат с указанной доверительной вероятностью и степенями свободы.

Квантили распределения Хи‑квадрат определяются по таблице или с помощью функции «=ХИ2.ОБР(<вероятность>;<степени_свободы>)».

Итоговый доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности с уровнем значимости 0,05 равен:

то есть дисперсия генеральной совокупности лежит между значениями 0,3586 и 1,1111 с вероятностью 0,95.

2. ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ

Необходимо оценить дисперсию генеральной совокупности по выборке, при неизвестной дисперсии генеральной совокупности. Это можно сделать по следующей формуле:

где – выборочная дисперсия;

– квантили распределения Хи‑квадрат с указанной доверительной вероятностью и степенями свободы.

Выборочную дисперсию можно найти по следующей формуле:

она равна 0,5644.

Квантили распределения Хи‑квадрат определяются по таблице или с помощью функции «=ХИ2.ОБР(<вероятность>;<степени_свободы>)».

Итоговый доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности с уровнем значимости 0,05 равен:

то есть дисперсия генеральной совокупности лежит между значениями 0,3471 и 1,0755 с вероятностью 0,95.

3. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ВТОРОЙ ГС

   1. ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКГО ОЖИДАНИЯ

Необходимо оценить математическое ожидание генеральной совокупности по выборке, если известно количество испытаний и количество успехов при неизвестной вероятности успеха . Это можно сделать по следующей формуле:

где – относительная частота успеха в схеме испытаний Бернулли;

– уровень значимости (в рамках пункта 3 уровень значимости равен 0,1).

Относительную частоту успеха можно найти по формуле (13):

и она равна 0,15.

Квантиль стандартного нормального распределения определяется по таблице или с помощью функции «=НОРМ.СТ.ОБР(<вероятность>)».

Итоговый доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности с уровнем значимости 0,1 равен:

то есть математическое ожидание генеральной совокупности лежит между значениями 0,3734 и 5,6266 с вероятностью 0,90.

Москва 2024